加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合提高解題能力的探索

摘 要：數(shù)形結(jié)合的思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，它包含以形助數(shù)、以數(shù)解形兩個(gè)方面。它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長(zhǎng)，是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑之一。數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，反之，圖形性質(zhì)的研究可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究。數(shù)形結(jié)合的思想處處以數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀表象及深刻精確的數(shù)量表達(dá)這兩方面，給人以啟迪，為問(wèn)題的解決提供簡(jiǎn)潔明快的途徑。因此，教師要通過(guò)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)，以形解數(shù)、以數(shù)解形，數(shù)形結(jié)合應(yīng)遵循的原則以及教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;解題;能力

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2015）18-0036-02

解數(shù)學(xué)問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要環(huán)節(jié)與基本途徑。所謂解題，就是揭開“條件”與“結(jié)論”之間的內(nèi)在聯(lián)系，或是探索“已知”可以導(dǎo)出怎么樣的“未知”。

數(shù)學(xué)解題能力是指能閱讀、理解對(duì)問(wèn)題進(jìn)行陳述的材料;能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地加以表述。它是邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)。其中數(shù)學(xué)思想方法是靈魂，是聯(lián)系知識(shí)的紐帶，因此培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法是關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)思想就是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)形結(jié)合的思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，它包含以形助數(shù)、以數(shù)解形兩個(gè)方面。利用它可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長(zhǎng)，是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑之一。數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面?！皵?shù)”與“形”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系。數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，反之，圖形性質(zhì)的研究可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究。數(shù)形結(jié)合的思想處處以數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀表象及深刻精確的數(shù)量表達(dá)這兩方面，給人以啟迪，為問(wèn)題的解決提供簡(jiǎn)潔明快的途徑。它的運(yùn)用，往往展現(xiàn)出“柳暗花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結(jié)合的境地。華羅庚先生曾進(jìn)行過(guò)精辟的論述：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難人微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫離?！?/p>

下面，就如何利用“數(shù)形結(jié)合”來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)研究。

一、數(shù)形和諧對(duì)應(yīng)，凸顯結(jié)合功能

數(shù)形對(duì)應(yīng)是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，如實(shí)數(shù)與數(shù)軸、直角坐標(biāo)系中點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)、集合中的文氏圖與集合運(yùn)算、常見(jiàn)的基本函數(shù)圖象與抽象的函數(shù)性質(zhì)及圓與三角函數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)數(shù)運(yùn)算、向量的幾何意義與向量的運(yùn)算等。在學(xué)習(xí)與教學(xué)中，教師應(yīng)不斷滲透數(shù)與形的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，深化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解，使他們逐步領(lǐng)悟和掌握并應(yīng)用這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，提高自覺(jué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。構(gòu)建數(shù)形結(jié)合常用工具有：建立坐標(biāo)系，利用函數(shù)的圖像，賦予數(shù)式、方程、不等式等以幾何意義，給出圖形的代數(shù)表達(dá)式等。

二、以數(shù)巧妙解形，揭示數(shù)的細(xì)微

關(guān)于“形”的問(wèn)題，我們可想辦法將形部分或全部轉(zhuǎn)換成數(shù)，減少或者抽去“形”的推理部分，使所要解決的“形”的問(wèn)題歸結(jié)為數(shù)量關(guān)系式的問(wèn)題去研究。如常借助于方程（組）、坐標(biāo)系、向量、復(fù)數(shù)等化形為數(shù)。特別的幾何中證明或求線段（或角）的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上中研究關(guān)于數(shù)量關(guān)系的。如將線段（或角）用一個(gè)字母表示，則線段（或角）的數(shù)量關(guān)系可轉(zhuǎn)化為含字母的代數(shù)式，幾何中的有關(guān)定理可相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為恒等式或方程，從而化形為數(shù)。

例1 ? 如圖1，設(shè)AC是平行四邊形ABCD較長(zhǎng)的對(duì)角線，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，求證：AB·AE+AD·AF=AC2。

分析：首先引導(dǎo)學(xué)生想到向量的代數(shù)功能，從而讓學(xué)生將等式的證明轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算。同時(shí)提醒學(xué)生，這也是數(shù)形結(jié)合的一種方式。

證明：用向量表示相應(yīng)線段，可得：·=·（+）=·+·=·，

同理：·=·?！唷?·=·+·=（+）·==AC2?！郃B·AE+AD·AF=AC2。

例2 如圖2，已知ABCD為正方形，CE∥BD，BE=BD，求證：DE=DH。

分析：解決特殊圖形，往往從建立坐標(biāo)系開始，引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要性。

證明：建立如圖3的直角坐標(biāo)系。設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則B（-1，0）、D（0，1）、C（0，0）。又設(shè)E（a，b）、F（0，c）。

∵CE∥BD，

∴∠Ecx=∠DBC=45°，∴CE的直線方程為y=x，于是E（a，a）。

∵|BE|=|BD|=，∴=，∴E在第一象限，∴a>0，∴a=，∴|DE|==-1。

且直線BE的方程為：y=（）（x+1），即y=（2-）（x+1）?！逪在y上且在直線BE上，則可得：c=2-?！鄚DH|=1-（2-）=-1，

∴|DE|=|DH|。

例3 ? 如圖4，已知ABCD為正方形，在BC邊上任取一點(diǎn)E，連結(jié)AE，AF平分∠DAE交CD于F。求證：AE=BE+DF。

分析：巧設(shè)未知量，不失一種好的解題方法。

證明： 延長(zhǎng)CB到H，使BH=DF，連結(jié)AH，再證明△HEA是等腰三角形，則可得AE=HE=BE+DE，此題可利用三角法來(lái)證明。

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則

DF=a·tana，BE=a·tan（90°-2a）

=a·cot2a，AE=

=。

∴AE-BE=-a·cot2a=-

==a·tana，∴AE=BE+DF。

三、以形形象助數(shù)，展現(xiàn)形的直觀

“形”是“數(shù)”的形象表達(dá)，對(duì)抽象的數(shù)賦予直觀圖形的幾何意義，“數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形的性質(zhì)去解決，它往往具有直觀性，易于理解與接受。它廣泛應(yīng)用于解題過(guò)程，如在解方程和解不等式問(wèn)題中、在求函數(shù)的值域和最值問(wèn)題中、在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問(wèn)題中都有體現(xiàn)，不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

例4 ? 正數(shù)a、b、c、A、B、C滿足a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cA

證明：如圖5，構(gòu)造以k為邊長(zhǎng)的正三角形，使其三邊分別為a+A，B+b，C+c，則：S△PMN=bCsin60°，

S△QLN=cAsin60°，S△RLM=aBsin60°，S△PQR=k2sin60°。S△PNM+S△QLN+S△RLM

四、數(shù)形結(jié)合應(yīng)遵循的原則

作為重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合往往又是數(shù)學(xué)解題的一種重要策略。但運(yùn)用它分析、解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)遵循以下原則：（1）對(duì)等轉(zhuǎn)換原則：代數(shù)性質(zhì)與幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換應(yīng)該是等價(jià)的，同時(shí)注意圖形的存在性、合理性、準(zhǔn)確性、整體性以及界限性。（2）統(tǒng)一性原則：數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化，既對(duì)圖形直觀分析，又對(duì)代數(shù)進(jìn)行抽象的探索，兩方面相輔相成，發(fā)揮數(shù)與形的雙重優(yōu)越性，做到數(shù)形統(tǒng)一。（3）簡(jiǎn)單性原則：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合力求簡(jiǎn)捷快速達(dá)到解題目的。即找到解題思路后，至于用幾何法還是代數(shù)法或者兩者兼用，取決于哪種方法快速有效。

五、新課標(biāo)課程教學(xué)中注意滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

1. 研究教材，挖掘數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合能很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的解題能力。數(shù)形結(jié)合的途徑大致可以歸類為以下三種：（1）通過(guò)坐標(biāo)系，包括直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系和復(fù)平面。（2）模型的構(gòu)造，可以通過(guò)構(gòu)造幾何模型、構(gòu)造函數(shù)或圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。（3）數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，通過(guò)分析數(shù)、式與方程的幾何意義，確認(rèn)數(shù)、式與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的等價(jià)轉(zhuǎn)化。

新課標(biāo)中這種思想的滲透對(duì)發(fā)展學(xué)生的解題思路、尋找最佳解題方法有著重要的作用，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正確的分析、比較、類比、合理聯(lián)想，逐步形成正確的解題思路，能有效幫助學(xué)生對(duì)抽象概念給予形象化的合理理解，提高他們的解題能力。

2. 探索教學(xué)，滲透數(shù)形結(jié)合思想

作為重要的數(shù)學(xué)思想，“數(shù)形結(jié)合”中的“數(shù)”應(yīng)有廣義深遠(yuǎn)的意義，可以是普通意義上的數(shù)，如實(shí)數(shù)，也可以是式子，如代數(shù)式或超越式，甚至它可以是函數(shù);而“形”是以上各種“數(shù)”的幾何圖形表示。幾何是研究圖形的，我們只要把代數(shù)中的抽象問(wèn)題，想辦法用幾何圖形把它們的含義表示出來(lái)，把抽象的理解轉(zhuǎn)化為直觀的理解，把理解變?yōu)樽R(shí)圖，問(wèn)題便可以在短時(shí)間內(nèi)迎刃而解，還會(huì)使理解變得深刻。比如函數(shù)有圖像表示的方法，集合有文氏圖表示，不等式的解集可在數(shù)軸上表示等。教師教學(xué)中應(yīng)善于用鮮活的事例，滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生能夠有的放矢地多角度、多層次地思考問(wèn)題，養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣;引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方式為動(dòng)態(tài)思維方式，把數(shù)與形分別視為運(yùn)動(dòng)事物在某一瞬間的取值或某一瞬間的相對(duì)位置。運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維方式處理教材、研究問(wèn)題，能揭示前后知識(shí)的聯(lián)系與變化，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力，更好地把握事物的本質(zhì)。在教學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合的思想時(shí)，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生以下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)： 一是認(rèn)真觀察圖形，找出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。二是正確繪制圖形，準(zhǔn)確反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。三是切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性，以性識(shí)圖。

數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題并實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的模型轉(zhuǎn)化的一種基本思路和和基本方法，它能溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)與形實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化，相互補(bǔ)充、相得益彰。在解題中學(xué)會(huì)以形助數(shù)，借數(shù)解形、數(shù)形結(jié)合，直觀入微，提高形數(shù)聯(lián)想的靈活性，能有助于學(xué)生思維素質(zhì)的發(fā)展，有利于提高學(xué)生的解題能力。

“授人之魚”只供一飯之需，教人以漁則終生受用無(wú)窮?！敖倘艘詽O”而不是“授人之魚”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中更為重要，它可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)由“學(xué)到什么”轉(zhuǎn)到“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，能達(dá)到所謂的“教是為了不教”的最高境界。數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)“漁法”?；瘮?shù)為形，化形為數(shù)，數(shù)形結(jié)合，相互為用，就可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易。因此，教師要培養(yǎng)學(xué)生思維活動(dòng)的嚴(yán)密性和靈活性，從而不斷提高他們的解題能力。

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作者簡(jiǎn)介：陳靖航（1971-），女，福建莆田人，中學(xué)高級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。