離心泵葉片型線線性擬合的實用研究

摘要：為使低比轉(zhuǎn)速離心泵葉片型線方程更適合用于工程上的研究，通過對六種低比轉(zhuǎn)速離心泵葉輪葉片型線進行測繪得出了它們的葉片型線方程，并利用線性擬合的方法對其進行了簡化。簡化后的型線方程誤差較小，直觀反映了測繪點曲率半徑和轉(zhuǎn)角的關(guān)系。這種簡化后的方程對于葉輪葉片型線形狀的優(yōu)化具有一定意義。

關(guān)鍵詞：離心泵;葉片型線方程;線性擬合

1.前言

離心泵是目前石油化工生產(chǎn)裝置中應(yīng)用最多的泵類設(shè)備，約占泵類設(shè)備總量的90%左右，其中又以低比轉(zhuǎn)速離心泵應(yīng)用最為廣泛。低比轉(zhuǎn)速離心泵一般是指比轉(zhuǎn)數(shù)n?=30～80r/min的離心泵，它與中、高比轉(zhuǎn)速離心泵相比，具有高揚程、低流量的外特性特征。因此，大量應(yīng)用于石油、化工、航天等領(lǐng)域[1，2]。

葉輪是離心泵的核心部件，葉片形狀是決定泵性能的關(guān)鍵因素之一。因此離心泵葉輪葉片型線直接影響水泵的性能。泵的性能好壞在很大程度上取決于葉輪設(shè)計是否合理，而葉片型線的確定是葉輪設(shè)計中的一個重要部分。工程上，通常因為低比轉(zhuǎn)速離心泵設(shè)計時的葉片型線方程具體形式不易獲得，不利于其葉片型線的研究，因此影響了離心泵性能的改進。基于上述原因，本文力求通過線性擬合方法得到簡化的葉片型線方程，以利于低比轉(zhuǎn)速離心泵性能的改進。

2.葉輪葉片型線基本理論

低比轉(zhuǎn)速離心泵圓柱形葉片型線是一條由進口安放角逐漸變化成出口安放角的曲線[3]。如圖1所示用極坐標(biāo)來描述這種變化比較方便，因為：

（1）

將上式微分，并引入曲線的切線

（2）

（3）

又，解出和：

圖1?葉片型線示意圖

可得????????????????????????????（4）

如圖1，作矢線的垂線，ψ+β=π/2

故???????????????????????????????（5）

為泵葉片的安放角，所以是葉片型線安放角的正切函數(shù)[4]。解微分方程（5），能推導(dǎo)出型線的數(shù)學(xué)表達式。

我們由式（5）可以看出，該種方法求解型線方程較為復(fù)雜。

3.離心泵葉輪型線線性擬合方法

3.1?葉片型線測繪

本次研究選取了六種低比轉(zhuǎn)速離心泵葉輪的水力模型作為研究對象。該六種低比轉(zhuǎn)數(shù)離心泵葉輪均采用圓柱形葉片，以一種離心泵葉輪為例，其葉輪水力模型圖如圖2所示。

圖2?低比轉(zhuǎn)數(shù)離心泵葉輪水力模型

根據(jù)所給的葉輪水力模型圖，進行測繪，可得該離心泵葉輪葉片軸向截面上數(shù)據(jù)點坐標(biāo)如表1所示。

表1?葉片型線測繪點坐標(biāo)

測繪點

1

2

3

4

5

X/mm

41.029

43.2

44.797

45.411

44.739

Y/mm

-7.163

0

7.968

16.601

25.909

測繪點

6

7

8

9

10

X/mm

43.16

39.766

34.437

26.282

15.023

Y/mm

36.307

47.502

59.792

72.429

85.642

測繪點

11

12

13

14

15

X/mm

0

-19.18

-42.89

-70.82

-87.07

Y/mm

97.5

108.32

117.62

122.51

124.22

根據(jù)所測得的坐標(biāo)點，通過描點作圖，可得葉片型線圖如圖3所示。

圖3?葉片型線

3.2?葉片型線的線性擬合

3.2.1?直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)

由圖3所示的葉片型線，根據(jù)測繪所得的直角坐標(biāo)值，對其進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)值，如表2所示。

表2?葉片型線測繪點極坐標(biāo)

測繪點

1

2

3

4

5

ρ/mm

41.7

43.2

45.5

48.4

51.7

φ/°

0.0

9.9

20.0

30.0

40.0

測繪點

6

7

8

9

10

ρ/mm

56.4

62.0

69.0

77.1

87.0

φ/°

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

測繪點

11

12

13

14

15

ρ/mm

97.5

110.0

125.2

141.5

151.7

φ/°

99.9

109.9

119.9

129.9

134.9

3.2.2?求出葉片型線方程

對葉片型線作適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，對兩個新的變量作線性回歸，然后再還原到原來的變量，即可得到葉片型線的簡化方程[5]。

對ρ、φ進行適當(dāng)轉(zhuǎn)化。假設(shè)存在如下線性關(guān)系：

（6）

對轉(zhuǎn)換后的變量進行一元線性回歸，求出系數(shù)A、B及相關(guān)系數(shù)r。相關(guān)系數(shù)r反映了變量之間線性關(guān)系的密切程度，它是用下式定義的。對于x與y之間的相關(guān)系數(shù)，定義式為

（7）

其中。顯然。當(dāng)時，稱為完全線性相關(guān);當(dāng)時，稱全無線性相關(guān);當(dāng)越接近1，線性相關(guān)越大

利用Excel的數(shù)學(xué)函數(shù)INTERCEPT和SLOPE可求得A=1.5648，B=0.0043。故方程為

（8）

上式可轉(zhuǎn)化為，即，將回歸后的值與原來測繪的ρ值進行比較（如表3所示，表中回歸計算后得到的ρ值用ρ表示）。

表3?ρ值與ρ值

數(shù)據(jù)點

1

2

3

4

5

ρ/mm

41.7

43.2

45.5

48.4

51.7

ρ/mm

36.7

40.5

44.8

49.5

54.6

數(shù)據(jù)點

6

7

8

9

10

ρ/mm

56.4

62

69

77.1

87

ρ/mm

60.3

66.6

74

81.3

89.7

數(shù)據(jù)點

11

12

13

14

15

ρ/mm

97.5

110

125.2

141.5

151.7

ρ/mm

99.1

110

120.9

133.5

140.3

將ρ與ρ值作圖進行比較如圖4所示。

圖4?ρ值與ρ值

由r>rmin以及圖4可得，型線轉(zhuǎn)化為線性回歸所得方程以及求得的型線方程滿足要求。但該方程形式較為復(fù)雜，不夠簡單。下面對方程進行簡化：

令A(yù)=lga，B=blge，則，b=B/lge。

所以上式（6）化為

（9）

上式可化為

（10）

則，。型線方程為

（11）

由上述分析可知，選取的六種水力模型的型線簡化方程如表4所示。

表4?六種水力模型葉片型線回歸方程

序號

葉片型線

回歸方程

回歸系數(shù)（截距）

回歸系數(shù)（斜率）

轉(zhuǎn)化線性相關(guān)系數(shù)

最小相關(guān)

系數(shù)

數(shù)據(jù)個數(shù)

ρ=aebφ

a

b

r

rmin

n

1

ρ=36.71?e0.0099?φ

36.7138

0.0099

0.9904

0.6410

15

2

ρ=20.60?e0.0134?φ

20.6032

0.0134

0.9988

0.7980

9

3

ρ=18.37?e0.0116?φ

18.3709

0.0116

0.9951

0.6840

13

4

ρ=29.38?e0.0099?φ

29.3773

0.0099

0.9899

0.6410

15

5

ρ=86.89?e-0.0087φ

86.8882

0.0087

0.9913

0.6410

15

6

短葉片：ρ=44.29e0.008?φ

44.2924

0.0080

0.9985

0.6610

14

長葉片：ρ=71.84e0.007?φ

71.8378

0.0070

0.9974

0.5370

22

4.結(jié)論

（1）通過采用線性回歸的方法，低比轉(zhuǎn)速離心泵葉輪葉片型線方程可以擬合為式（10）的形式，為工程上的葉片型線研究帶來了便利。

（2）與以往型線方程的求解方法比較，可以看出，該方法比較簡單易掌握，通過描點測繪，用Excel里的函數(shù)計算，即可確定出該方程的各項系數(shù)，可操作性較強，為較準(zhǔn)確的得到葉輪葉片型線方程提供了一種簡便方法。

（3）由于得到葉片型線簡化方程的原始數(shù)據(jù)較少，還需要用更多的數(shù)據(jù)來驗證該方程的可行性。

參考文獻：

[1]關(guān)醒凡.現(xiàn)代泵技術(shù)手冊[M].北京：宇航出版社，1995

[2]韓綠霞，宋懷俊.低比轉(zhuǎn)數(shù)離心泵葉輪優(yōu)化設(shè)計方法研究[J].水泵技術(shù)，2007（4）

[3]漆則軒，孫擁軍.圓柱形葉片型線的數(shù)學(xué)表達式[J].水泵技術(shù)，1996（6）：23-26

[4]董志豪，錢志峰.三種圓柱形葉片型線方程比較[J].排灌機械，1998（1）：16-18

[5]《數(shù)學(xué)手冊》編寫組.數(shù)學(xué)手冊[M].北京：高等教育出版社，1979：836-837

作者簡介：侯遠(yuǎn)濱，遼寧省錦州市人，現(xiàn)工作單位為渤海船舶職業(yè)學(xué)院，主要研究方向為機械工程、輪機工程。