兒童悟得：探索與聯(lián)結(jié)數(shù)學世界的通途？鄢

朱小平 魏光明

摘要：指向兒童悟得的數(shù)學教學力圖到達兒童內(nèi)心世界的深處，讓知識的生長與聯(lián)結(jié)樸素自然，學科素養(yǎng)的積淀與提升悄然生發(fā)。兒童悟得的設計原則包括兒童先行、悟創(chuàng)結(jié)合、整體建構(gòu)，實施策略主要有：積累圖式、多元直觀、經(jīng)由比較、漸次悟得、適度統(tǒng)整。

關鍵詞：兒童悟得；信度；通感；兒童數(shù)學

一直以來，兒童數(shù)學教學始終存在著的兩大問題未能引起大家足夠的重視和解決，一個是兒童對數(shù)學知識的信度問題，即認同、悅納的程度；另一個是對數(shù)學知識的通感問題，即透徹、貫通的程度。指向兒童悟得的數(shù)學教學力圖到達兒童內(nèi)心世界的深處，讓知識的生長與聯(lián)結(jié)自然而然，絕無突兀之感，學科素養(yǎng)的積淀與提升悄悄生發(fā)，成于無形之間。

一、兒童悟得的內(nèi)涵詮釋及價值澄清

（一）內(nèi)涵詮釋

悟得，是一種心理體驗，指通過思考內(nèi)化所學內(nèi)容成為自己知識結(jié)構(gòu)的一部分，從而使自己的認識得到改變的過程。相對于習得、知得而言，“悟得的是一種意義理解，是一種規(guī)律性的認識，是一種智慧?！盵1]

兒童悟得，指兒童在整體體驗的基礎上以悟得的方式（包括感悟、領悟、頓悟）把握知識的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，同時賦予知識以鮮活的意義，從而優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，滿足生命發(fā)展需求。

兒童悟得，首先代表著一種方式，以符合兒童感悟、領悟、頓悟的認知方式切入和展開數(shù)學學習活動；其次，它代表著一種過程，通過自悟自得（意義建構(gòu)）或共悟共得（協(xié)作交流）的認知過程推進和完成數(shù)學學習任務；最后，它還代表著一種結(jié)果，對照悟有所得、悟形悟數(shù)、得真得趣的認知評價逼近和達成數(shù)學學習目標。此外，它具有“自主性、整體性、體驗性、創(chuàng)造性、情感性”等特征。

“兒童悟得”背后的核心思想是人的主動嘗試、積極探索與自覺改變。我們認為，兒童悟得既是一種數(shù)學學習的理念和方式，同時也是一種數(shù)學教學的理念和方式，更是一種數(shù)學教育的思想和方法。

（二）價值澄清

“知識是外在于人的，是一種可以量化的‘知道，只有在‘悟的過程中，讓知識進入人的認知本體，悟有所得，才能成為素養(yǎng)?！盵2]而現(xiàn)實中因多方面因素的影響，數(shù)學課堂教學中經(jīng)常出現(xiàn)“悟而不得”“得而不悟”“淺悟淺得”等學習現(xiàn)象，使得兒童對知識的認同與聯(lián)結(jié)程度不高，不得不以增加記憶負擔的方式學習數(shù)學。但讓人永葆希望的是——兒童是天生的探索者、發(fā)現(xiàn)者和研究者，其精神世界中“悟得”的需求特別強烈。我們認為，教育的本義是幫助學生開悟、開竅，教師應當做啟悟者。對兒童自我教育和自主發(fā)展而言，進行“兒童悟得”專題研究有著強烈的現(xiàn)實意義和極高的研究價值。

第一，兒童悟得順應了兒童之為人的天賦與潛能。臺灣學者黃武雄教授在《童年與解放》一書中認為，“人與生俱來地擁有一種源于自然的原始創(chuàng)造特質(zhì)?！盵3]正因為兒童具有洞察復雜事物的特征、以無畏無休的體驗換取最真實的知識、免于偏見的限制等原始創(chuàng)造的特質(zhì)，所以他們才能無邊好奇、極富勇氣、不存偏見。

第二，兒童悟得響應了人覺醒與發(fā)展的基本準則。俗話說，“紙上得來終覺淺，心中悟出始知深?！比~圣陶認為，“自己摸索得來比向別人學更重要”；蘇格拉底曾說過，“唯有發(fā)自內(nèi)心的知識，才能夠變成人的智慧”；斯賓塞則說，“學習者從心智努力發(fā)現(xiàn)的東西，比別人告訴他的要好理解得多”；伽利略更是提醒我們，“你不能去教別人，只能幫助他自悟而已”。

第三，兒童悟得回應了教育學心理學的研究成果。心理學格式塔頓悟說代表人物韋特墨從學校實踐研究學生的頓悟?qū)W習，并強調(diào)通過整體進行思維；建構(gòu)主義理論認為，知識不是通過教師傳授得到，而是學習者通過意義建構(gòu)的方式而獲得；情境教育理論在解決兒童認識斷層上的貢獻有“對事物的認識是整體性的、情境化的，是自我建構(gòu)的，因而也是內(nèi)化的”；生本教育理論的“小立課程、大作功夫”，強調(diào)借助人的悟感，在活動中發(fā)展悟感，從而使人的認識發(fā)生遷移和頓悟，更強有力地認識事物的本體。

二、兒童悟得的設計原則

學習貴在悟，教學貴在度。高效益、有價值的兒童悟得活動，來自教師有信念、有智慧的設計與實施。

（一）兒童先行原則

兒童先行表現(xiàn)為兒童的學習先于教師的傳授，兒童想法的表達先于成人想法的表達。學習的本質(zhì)就是嘗試成功。探索新的數(shù)學知識，解決新的數(shù)學問題，不妨讓學生先嘗試著說一說，做一做。

兒童的想法和思維先于成人，成人接著兒童的想法和思維進行教學，激活了學習者的內(nèi)在潛能，同時也彰顯了教育者的存在價值——教育的目的在于使人成為他自己，在于按其所未行而行。

兒童先行原則要求我們及時關注學生全員參與的深入程度和教學反饋的覆蓋范圍，了解學生真實的學習困難和快樂，洞察錯誤背后的迷思與誤解，彰顯正確背后的智慧與風格，鼓勵學生完成從錯誤調(diào)整到正確、從單一調(diào)整到多元的認知過程。

（二）悟創(chuàng)結(jié)合原則

兒童積極主動地進行認知心理活動同化或順應的過程，是悟的表現(xiàn)；兒童創(chuàng)造性地把知識與自己建立關聯(lián)，讓知識具有個人意義，進而創(chuàng)造性地解決實際問題的過程，這是創(chuàng)的表現(xiàn)。

悟得新知識的豐富內(nèi)涵和運用智慧，往往需要同時伴有或交叉進行悟與創(chuàng)的心理活動。悟創(chuàng)結(jié)合強調(diào)的是，悟與創(chuàng)不可缺其一者或偏廢兩者，努力實現(xiàn)數(shù)學觀念的完整改造與提升，最終實現(xiàn)兒童“心靈的轉(zhuǎn)向”。

悟創(chuàng)結(jié)合原則要求我們讓學生能夠有思考和挑戰(zhàn)的機會與內(nèi)容，鼓勵并引導學生豐富或調(diào)整自己的解釋，積累或拓展自己的經(jīng)驗，改進或完善自己的方法，從而在自悟自得和共悟共得的學習情境中建立自己的數(shù)學理解，形成創(chuàng)見性的經(jīng)驗和智慧。

（三）整體建構(gòu)原則

人們認識事物的規(guī)律不是先部分后整體，而是先整體后部分，經(jīng)過幾個循環(huán)往復，最后形成對事物的清晰認識?？梢姡w建構(gòu)符合人們認識事物的一般規(guī)律。

兒童與成人均能以整體視角觀照和建構(gòu)數(shù)學，略有不同的是兒童更多時候是立足于生活經(jīng)驗的世界進行整體建構(gòu)，而成人則更多時候是立足于數(shù)學學科的世界進行整體建構(gòu)。生活世界與數(shù)學世界的聯(lián)結(jié)渾然一體，數(shù)學世界內(nèi)部眾多知識之間的聯(lián)系井然有序，離不開教師對課程資源的深度發(fā)掘與整體把握。

整體建構(gòu)原則要求我們深度發(fā)掘教材的知識內(nèi)核、整體結(jié)構(gòu)和豐富內(nèi)涵，研發(fā)有助于整體思考的學習素材和整體互動的學習場景，使兒童形成對知識的深刻理解，建構(gòu)起有生命力的、可遷移的知識，進而悟得數(shù)學課程的知識體系和學科思想。

三、兒童悟得的實施策略

（一）策略1：積累圖式

圖式是人腦中已有的知識經(jīng)驗的網(wǎng)絡，其決定著人做信息選擇時相應的內(nèi)容和傾向偏好，可引起新信息的加工。學習數(shù)學同樣需要積累一定的認知圖式加以儲存?zhèn)溆?，為后續(xù)的悟得活動奠定成功的基礎。

比如，在學習“體積單位”一課時，接著書中的內(nèi)容“容積是1立方分米的容器，正好盛水1升”，我順勢介紹了科學常識“1立方分米的凈水重1千克，1立方米的凈水重1噸”。誰知不經(jīng)意的一次介紹，在學習“體積單位之間的進率”時，竟然有了無心插柳柳成蔭的神奇效果。教材例題內(nèi)容的編排思路是讓學生判斷棱長1分米的正方體和棱長10厘米的正方體體積是否相等，并說說為什么。因為1分米=10厘米，兩個正方體棱長相等，所以二者的體積相等。然后，分別算出它們的體積分別是1立方分米、1000立方厘米。由于二者體積相等，可以用等于號將“1立方分米”和“1000立方厘米”進行連接，形成等式“1立方分米=1000立方厘米”。至于1立方米等于多少立方分米，鼓勵學生用上述同樣的方法進行推導或證明。

在切入例題學習之前，我先是與學生一起復習了長度單位“厘米、分米、米”相鄰兩個單位之間的進率是10和面積單位“平方厘米、平方分米、平方米”相鄰兩個單位之間的進率是100，接著追問體積單位“立方厘米、立方分米、立方米”相鄰兩個單位之間的進率是多少？多數(shù)孩子能推測或者知曉進率為1000。我繼續(xù)發(fā)問，“你有辦法證明‘1立方分米=1000立方厘米、1立方米=1000立方分米嗎？”不少孩子認為，“因為1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升，而1升=1000毫升，所以1立方分米=1000立方厘米。”少數(shù)孩子認為，“因為1立方分米的凈水重1千克，1立方米的凈水重1噸，而1噸=1000千克，所以1立方米=1000立方分米?！?/p>

如果說孩子們能借助升與毫升之間的關系證明“1立方分米=1000立方厘米”是我在意料之中的話，那有孩子運用科學常識“1立方分米的凈水重1千克，1立方米的凈水重1噸”證明“1立方米=1000立方分米”則是出乎我意料之外。孩子們有了用自己的知識悟得新知識的經(jīng)歷，學習熱情特別地高漲，充滿期待地開始了領悟課本例題介紹的證明方法的學習之旅。

（二）策略2：多元直觀

多元直觀指運用多元的直觀載體（包括圖形、模型、實物、動作等）或多元的方式呈現(xiàn)和使用同一種直觀載體，以匹配不同思維水平層次兒童的悟得活動的需要。僅僅知道“幾何直觀是領悟數(shù)學最有效的渠道”（阿提雅）是不夠的，如何進行幾何直觀以及除了幾何直觀之外還需要做些什么，這些話題同樣值得我們作進一步的思考！

比如，六年級數(shù)學上冊教科書第22頁的思考題（見圖1）。對于抽象思維水平較高的孩子，直接觀察題目中的示意圖即可感悟到正方體表面對應“增加56平方厘米”的部分，找到解決問題的突破口。但有相當一部分孩子需要觀察正方體變化分解圖（見圖2）才能確定圖形變化前后其上面還在，并且沒有變化，“增加56平方厘米”對應著的是新增一圈的4個相同的長方形直條，進而領會解決問題的方法“56÷4=14（平方厘米） 14÷2=7（厘米） 7-2=5（厘米） 7×7×5=245（立方厘米）”。更有一些孩子即使觀察正方體變化分解圖依然無力想象，任憑老師講解類似的題目數(shù)遍，仍然不得要領。這時倘若呈現(xiàn)實物木塊兩種（見圖3），讓其觀察和比較，才能悟得正方體表面對應“增加56平方厘米”的部分，從而取得認知活動的突破。至此，在多元直觀活動的支撐下，悟得活動向每一個兒童得以順利敞開和圓滿進行。

（三）策略3：經(jīng)由比較

認識源于比較，沒有比較就沒有認識。經(jīng)由比較，可以較好地理解知識的本質(zhì)屬性，掌握知識的聯(lián)系與區(qū)別，形成良好的認知結(jié)構(gòu)，促進思維的拔節(jié)生長。比如，教學“長方體和正方體的認識”一課時，筆者確定了本節(jié)課的核心知識為“長方體的面是長方形，相對的面完全相同，相對的棱長度相等”和“正方體是特殊的長方體”之后，設計與實施了三次認知比較活動：第一次是把長方體（盒子）與圓柱體（茶杯）、球體（彈力球）作比較，學生自行發(fā)現(xiàn)了長方體的基本特征，教師順勢介紹了“面”“棱”“頂點”等概念，并作了及時的總結(jié)，即“長方體有6個面，12條棱，8個頂點”。第二次是把長方體（盒子）與六面體（水晶紀念品）作比較（見圖4），學生認識到“有6個面，12條棱，8個頂點”是長方體的一般特征，具備長方體一般特征的立體圖形未必是長方體（正方體），“面是長方形，相對的面完全相同，相對的棱長度相等”才是長方體的本質(zhì)特征。第三次是學生親歷長方體切成正方體的過程之后，把切成的正方體與切之前的長方體進行比較，對照長方體的一般特征和本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)了正方體特征的同時，領會到“正方體是特殊的長方體”這一說法的依據(jù)所在。不難發(fā)現(xiàn)，第一次、第二次比較是求異比較，第三次比較是求同比較。三次認知比較活動，成功地將兒童的悟得進程推向思維的縱深之處，對長方體（正方體）形成較為深刻而完整的數(shù)學認識。

教師在課堂上講什么當然是重要的，然而學生真正想的是什么卻更為重要。因各種原因的影響，兒童在悟得過程中容易形成思維定勢或作出不適宜的聯(lián)想和遷移。這時，需要教師及時地了解和干預，通過變式比較防止數(shù)學誤解的產(chǎn)生。比如，學生認識梯形容易產(chǎn)生的數(shù)學誤解就有兩個，一是認為梯形中“正著的”是梯形，而“歪著的”不是梯形；二是誤以為相互平行的那組對邊，短邊是上底，長邊是下底。為此，我們除了對上底與下底的長度進行變式外，還要在梯形的身子“正”與“歪”方面進行變式，以豐富心理表象，強化圖形的本質(zhì)特征與屬性是“只有一組對邊平行的四邊形”，至于這個四邊形是不是上小下大，身子是不是端端正正的，無關緊要。再比如，六年級的學生學習“分數(shù)連乘”一課時，解決的實際問題多是變換不同問題情境的同類題目而已，學生下意識地認為快速解題的方法是直接把題目中的三個數(shù)連乘列式計算即可。鞏固練習即將結(jié)束時，筆者順勢補充一題“運動會上長跑的有42人，短跑的人數(shù)是長跑的■，跳遠的人數(shù)是長跑的■。跳遠的有多少人”，要求學生只列式不計算進行快速判斷，多數(shù)孩子掉進了分數(shù)連乘思維定勢的陷阱里。通過“吃一塹，長一智”的對比練習活動，學生經(jīng)歷犯錯與矯正，深刻地領悟到弄清楚單位“1”的數(shù)量對于正確解答分數(shù)實際問題來說至關重要。

（四）策略4：漸次悟得

有效的悟得，要遵循一定的方向、次序和層級。

1.量變引起質(zhì)變。如長方形面積計算公式的悟得路徑是“用數(shù)面積單位個數(shù)的方法求不規(guī)則圖形的面積→用數(shù)面積單位個數(shù)的方法求長方形的面積→將沒有方格背景的長方形畫滿方格，推算面積→對沒有方格背景的長方形畫部分方格，推算面積→量長和寬的長度，推算方格排數(shù)和每排個數(shù)，計算面積→直接量出長和寬的長度，用長乘寬進行計算→確認長方形面積計算公式，并用字母表示面積計算公式”。采用數(shù)、畫、部分畫、不畫的方式，學生經(jīng)歷多次面積計算活動，最終發(fā)現(xiàn)長對應著一排面積單位數(shù)，寬對應面積單位的排數(shù)，從而悟得“長×寬”即“一排面積單位個數(shù)×面積單位的排數(shù)”，成功頓悟出長方形面積計算公式。

2.歷經(jīng)反復逐步悟得。如題目一“少先隊員用紅紙做一些底是12厘米，高是20厘米的直角三角形小紅旗?，F(xiàn)有一張長80厘米，寬49厘米的長方形紅紙，最多可做多少面小紅旗？”和題目二“一張長方形紅紙，它的長是13分米，寬是8分米，一面小旗是一個等腰直角三角形，它的直角邊是4分米。用這張紅紙做三角形小旗，最多能做多少面？”由于學生需要積累和轉(zhuǎn)變的思維經(jīng)驗包括“要求直角三角形的個數(shù)可以先求出長方形的個數(shù)，然后乘2”“要求等腰直角三角形的個數(shù)可以先求出正方形的個數(shù)，然后乘2”“一排的個數(shù)×排數(shù)=長方形（正方形）的總個數(shù)”“長方形（正方形）的個數(shù)×2=小紅旗總面數(shù)”以及“方法‘長方形（正方形）一排的個數(shù)×排數(shù)×2=小紅旗總面數(shù)比‘紅紙總面積÷小紅旗面積=小紅旗的面數(shù)更為可靠”等等。其中既有通過操作或畫圖悟得的直接經(jīng)驗，又有借助傾聽和想象悟得的間接經(jīng)驗。因此，最終成功悟得此類問題的解題方法自然是充滿艱辛和煎熬，需要歷經(jīng)反復才能實現(xiàn)。

3.尊重兒童的原初想法。數(shù)學是自己思考的產(chǎn)物。通過自身思考，加之親身體驗而得來的知識，容易成為自身不可分離的部分。對兒童而言，如此建構(gòu)的知識世界才是最為真實的知識世界。在實際中，要從眾多體驗項目中優(yōu)選最貼近兒童原初想法最值得體驗的活動內(nèi)容，以提高學生對知識的認同程度。比如，對千克的認識，非常有必要讓學生多次體驗1千克、2千克、3千克物體的質(zhì)量，重視學生量感的培養(yǎng)，避免學生認識了噸之后出現(xiàn)笑話“電熨斗大約重10噸”和“電熨斗大約重10千克”。又如學習“三角形的內(nèi)角和”一課，關于驗證三角形的內(nèi)角和是180°的方法，筆者進行課前學情調(diào)研時發(fā)現(xiàn)，孩子們在沒有翻看課本的情況下，能自主想到的驗證方法有三種：一種是畫一個任意的三角形，量出三個內(nèi)角度數(shù)相加；一種是從特殊的三角形（三角尺上的直角三角形和等邊三角形）推想而得，即45°+45°+90°，30°+60°+90°，60°+60°+60°；第三種是可以找三個相同的三角形把它們不同的角放到一起“擺”拼成平角。筆者以為，第三種驗證方法是兒童的數(shù)學現(xiàn)實，屬于悟得活動的原初路徑。實施教學時，我們采取四人小組為單位進行合作學習，絕大多數(shù)小組悟創(chuàng)結(jié)合，憑借小組內(nèi)足夠數(shù)量的三角形想出了“擺”拼法進行驗證。之后，以閱讀教材的方式了解和體驗“撕”拼法（把三角形紙片3個角撕下來拼成平角）和“折”拼法（把三角形紙片各個角沿它兩邊中點連線對折著拼），從而在最大程度上顧及了兒童的真實感受，激發(fā)了其悟得的學習勁頭。

（五）策略5：適度統(tǒng)整

“知識是由符號、邏輯和意義三個內(nèi)在要素相互關聯(lián)構(gòu)成的整體?！盵4]在設計兒童悟得的學習內(nèi)容與路徑時，需要發(fā)掘教材的深層價值，就教材的知識內(nèi)核、整體結(jié)構(gòu)和豐富內(nèi)涵作適度統(tǒng)整，以促進和幫助學生賦予知識以鮮活的意義，從而讓知識的內(nèi)在要素之間的關聯(lián)更為密切。

比如，六年級數(shù)學教科書上冊第31頁例3“六年級同學為國慶晚會準備了三種顏色的綢花，其中黃花有50朵。（1）紅花比黃花多■，紅花比黃花多多少朵？（2）綠花比黃花少■，綠花比黃花少多少朵？”的教學，第（1）題如果學生能正確地理解“紅花比黃花多■”的意思，建立相應的數(shù)量關系式“黃花朵數(shù)×■=紅花比黃花多的朵數(shù)”，再解決第（2）題就不存在太大的理解困難，剩下的只是遷移學習經(jīng)驗的問題了。事實上，學生正確地悟得“紅花比黃花多■”的意思并形成清晰的解題經(jīng)驗，是存在很大困難的。

為此，我們把學習的視角從分數(shù)領域投放到整數(shù)領域，先讓學生解決準備題目“黃花有15朵，紅花比黃花多3倍。紅花比黃花多多少朵？”學生先獨自解答，再結(jié)合示意圖（見圖5上邊部分）確認“3倍”是指把黃花看做單位“1”，紅花比黃花多的朵數(shù)是黃花的3倍，即3倍對應的數(shù)量是紅花比黃花多的朵數(shù)。接著，再鼓勵學生解決嘗試題目例3第（1）題。采取自悟自得的形式，遷移解決準備題時積累的思維經(jīng)驗，再針對示意圖（見圖5下邊部分）確認“■”是指把黃花看做單位“1”，紅花比黃花多的朵數(shù)是黃花的■，即分率■對應的數(shù)量是紅花比黃花多的朵數(shù)。至于例題3第（2）題的解決，則是又一次學習經(jīng)驗的遷移和拓展。

綜上所述，兒童悟得是兒童探索與聯(lián)結(jié)數(shù)學世界的通途。教師若能對兒童有足夠多的了解，對數(shù)學有足夠深的解讀，并積極地遵循兒童悟得的設計原則，主動地運用兒童悟得的實施策略，我們相信兒童數(shù)學學習之路較以往任何時候會更加地開闊、通暢和美好！

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（朱小平，揚州市梅嶺小學，225002；魏光明，南京市新華中學附屬小學，210019）

責任編輯：顏瑩