牽住課堂教學的“牛鼻子”
——以“平方差公式”教學目標的敘寫為例

☉江蘇省無錫市蠡園中學 周進榮

☉江蘇省無錫市梅梁中學 儲東花

牽住課堂教學的“牛鼻子”
——以“平方差公式”教學目標的敘寫為例

☉江蘇省無錫市蠡園中學 周進榮

☉江蘇省無錫市梅梁中學 儲東花

俗話說：“要牽住倔強的老牛就要牽住牛鼻子”.說明任何一件事抓住問題的關(guān)鍵很重要.教學目標就是教學的方向，一個合理、清晰、具體的教學目標是教師對教材深入分析和理解的體現(xiàn)，也是對課堂教學和教學設計的把握和預設.教學目標就像“牛鼻子”一樣，只有抓住它才能上好課.

一、目標的制定要源于課程標準

課程標準規(guī)定了國家對不同階段的學生在知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等方面的基本要求，規(guī)定了各門課程的性質(zhì)、各學科應達到的標準及內(nèi)容框架.另外，對教材編寫、教學要求、教學建議、教學評價等也都作出相應的規(guī)定和要求.因此，教學目標的準確定位必須來源于數(shù)學課程標準.在確定一節(jié)課的教學目標時，首先要認真研讀義務教育《數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》），明確《課程標準》對本節(jié)教學內(nèi)容的具體要求.如“平方差公式”在《課程標準》中的敘述是：“能推導乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；（a±b）2= a2±2ab+b2，了解公式的幾何背景，并能利用公式進行簡單計算（參見例51）.”

二、目標的制定依賴于對教材的理解

章建躍先生提出數(shù)學教學有“三個理解”，其中，理解數(shù)學是理解學生、理解教學的基礎.雖然數(shù)學教材是統(tǒng)一的，但每個人對教材的理解是不同的，因理解深度不同而制定的教學目標也會有偏差.要把目標制定得更合理、更貼切，就需要教師對教材有更深入、更透徹、更全面的解讀.下面以“平方差公式”一課為例.

1.“平方差公式”的“地位”與“作用”

“平方差公式”是繼“單項式乘以單項式”、“單項式乘以多項式”和“多項式乘以多項式”之后的第一個乘法公式，其“本來面目”就是“多項式乘以多項式”的一個特例.將這樣的一個“特例”作為“公式”，主要是基于三方面的考慮：第一，簡便整式的乘法運算；第二，為后續(xù)的學習奠定基礎，如對于學習“用公式法分解因式”、“分式的運算與化簡”、“解一元二次方程”等提供必要的知識儲備；第三，本公式的探究過程與方法，對后面將要學的“完全平方公式”，從方法上起到了一定的借鑒作用.

2.“平方差公式”的三種表達形式

從“平方差公式”所包含的內(nèi)容來看，用文字形式表達，是“兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差”，抽象為數(shù)學符號可以概括成（a+b）（a-b）= a2-b2，同時，我們還可以借助圖形的剪拼直觀感知公式的正確性.如圖1中矩形的面積為（a+b）（a-b），圖2中陰影部分的面積為a2-b2，由圖形的割補可知，圖1的面積等于圖2中陰影部分的面積，即（a+b）（a-b）=a2-b2.可見，“文字敘述”、“數(shù)學公式”、“圖形直觀”這三種表示形式都是對“平方差公式”的一個“真實”的刻畫.

圖1

圖2

3.“平方差公式”蘊含的數(shù)學思想方法

（1）“特殊化”的思想方法.我們探究數(shù)學問題，在研究一般情形時，往往要對某些“特例”進行較為深入的研究.比如對于“幾何圖形”，我們在研究了一般三角形的基礎上，重點研究了“等腰三角形”，在研究一般的四邊形的基礎上，深入研究了“平行四邊形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”等特殊的四邊形，這主要是由于這樣的一些特殊的三角形、四邊形，在數(shù)學知識內(nèi)部或?qū)嶋H問題中有著更加廣泛的應用.因此，建立在“多項式乘以多項式”基礎之上的“平方差公式”，承載的就不僅僅是一個數(shù)學公式本身，它反映了從“一般”到“特殊”的研究數(shù)學問題的基本策略.

（2）“歸納”的思想方法.這種方法在解決數(shù)學問題中，更是隨處可見，比如，對于整式加法法則、整式乘法法則的獲得，對于一次函數(shù)、反比例函數(shù)性質(zhì)的獲得，對于概率的統(tǒng)計定義中的“用頻率估計概率”的方法等.那么對于“平方差公式”，我們同樣是通過觀察一系列具有某種結(jié)構(gòu)特征的“多項式乘以多項式”的結(jié)果，“歸納”出符合這種“結(jié)構(gòu)特征”的共同“規(guī)律”，這就是平方差公式，其中的a、b可以代表任何“數(shù)字”、“字母”、“式子”，或者你喜歡的任何其他的“事物”.

三、目標的制定要基于學生的基礎

目標的制定要考慮學生原有的知識基礎.雖然我們使用的教材、教師用書相同，但各個地方的學生存在著差異，這就需要考慮學生的學習基礎，教學目標不能過高，也不能過低.對于“平方差公式”，學生的認知基礎是“多項式乘以多項式”，學生從小學開始就進行了“找規(guī)律”的訓練，具備一定的猜想能力.因此，可以先復習上一節(jié)課的“多項式相乘的運算法則”，再出示幾道計算題，讓學生在“做”數(shù)學中猜想、尋找規(guī)律.操作時，需要根據(jù)學生的層次性，進行差異性設計：

對于基礎較好的班級，設置下列三個“多項式相乘”問題：（1）（a+b）（c+d）；（2）（m+3）（m-3）；（3）（2x+1）（2x-1），其中含有一個一般形式、兩個特殊形式，讓學生計算后，教師提問：①你能直接寫出（a+2）（a-2）的結(jié)果嗎？②以上三個式子的計算結(jié)果對你有新的啟發(fā)嗎？

對于基礎薄弱的班級，問題可作如下設計：

問題1：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（1）（x+1）（x-1）；（2）（m+3）（m-3）；（3）（2x+1）（2x-1）.

問題2：依照以上三道題的計算回答下列問題：

（1）式子的左邊具有什么共同特征？

（2）它們的結(jié)果有什么特征？

（3）能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？

根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，在學生已掌握多項式乘法法則的基礎上，探索具有特殊形式的多項式乘法，既復習了舊知，又為下面學習平方差公式做了鋪墊，讓學生感受從一般到特殊的認識規(guī)律.前一種設計面向基礎較好的學生，他們的接受能力較強，在問題設計時含有一個一般形式，讓學生從一般形式和特殊形式中辨析，其規(guī)律有點隱蔽，教師放手讓學生去觀察、去發(fā)現(xiàn)、去猜想、去驗證，將學生的思維自然地導向了“結(jié)構(gòu)特征”，引出平方差公式，同時也揭示了“平方差公式”與“一般多項式乘法”之間的內(nèi)在聯(lián)系，使“平方差公式”的生成非常的自然、順暢；第二種設計面向基礎薄弱的學生，設計了指向性更強的兩個問題，通過教師的提問，啟發(fā)學生思考、引導學生總結(jié)，也能發(fā)現(xiàn)平方差公式.由此可見，學生的基礎不同，目標的定位及設計也有差別.

四、目標的制定體現(xiàn)在目標分解上

華東師范大學崔允□教授曾指出：“有了國家課程標準之后，教學的目標要說明的是‘為什么教’、‘教到什么程度’、‘教學生如何學’、‘學生學什么’的問題，教師需要深刻理解課程標準，把握對學生的總體期望，將課程標準具體化為每一堂課的教學目標，并據(jù)此來確定教學內(nèi)容，選擇教學活動方式”.但從課程標準到課時目標，中間存在一段較大的距離，必須經(jīng)過多重轉(zhuǎn)換：課程標準（一個學段結(jié)束后要達到的結(jié)果）—學年/學期目標—單元目標—課時目標.教師必須基于課程標準、教科書內(nèi)容及學生的基礎，對課程標準進行解構(gòu)，形成課時目標，這樣的解析過程簡稱為目標敘寫，下面以“平方差公式”為例，談談目標如何敘寫：

1.《課程標準（2011年版）》要求

能推導乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，了解公式的幾何背景，并能利用公式進行簡單計算.

2.目標解析

A.了解：①學生能寫出平方差公式.②認識平方差公式的幾何表達，了解公式的幾何背景.

B.理解：①會推導公式，表述公式的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)展符號感和推理能力、歸納能力，體會從一般到特殊的思想，體會數(shù)形結(jié)合的思想，體會平方差公式的簡潔美.②從具體式子中，會正確辨析公式中的a與b，正確運用平方差公式計算.

C.掌握：①能正確運用公式直接進行運算.②能進行平方差公式與加法、乘法的混合運算.③能多次應用平方差公式計算.

3.評價試題（以C級目標為例）

試題1：（C①）計算：102×98.

試題2：（C②）計算：（1）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）；

（2）（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（3-2x）.

試題3：（C③）應用公式進行計算：（1）（a+3）（a-3）·（a2+9）；（2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）.

教學目標的敘寫是整個教學系統(tǒng)中的一個重要環(huán)節(jié)，其目的是使教師更好地把握教學目標，使學生更好地理解學習目標，發(fā)揮教學目標應有的功能.很多教師受過去使用的《教學大綱》、《教師教學用書》的影響，在敘寫教學目標時，常常存在以下幾種問題：（1）目標模糊、籠統(tǒng)、抽象、不可測；（2）目標單一性、非全面性；（3）目標的主體錯位；（4）目標確定的經(jīng)驗性；（5）目標定位的非恰當性等，這些問題使得教學目標形同虛設.要使敘寫的教學目標情晰、具體、操作性強，關(guān)鍵要抓住敘寫的中心，即學習后學生的行為，并選擇不同的行為動詞進行表述.上述案例中的教學目標敘寫與傳統(tǒng)的教學目標至少有以下幾個不同點：

（1）目標敘寫從知識、技能、情感三類進行描述.根據(jù)布盧姆的分類系統(tǒng)，通常將教學目標分為知識、技能、情感三大類，而《課程標準》以課程目標的形式提出了四個方面的數(shù)學課程目標，即“知識技能”、“數(shù)學思考”、“問題解決”、“情感態(tài)度”，根據(jù)《基礎教育課程改革綱要》對目標的三維提法：“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀”，我們在教學中具體描述教學目標時，常常把這四個方面的教學目標按三類描述，即知識與技能目標、過程與方法目標、情感態(tài)度與價值觀目標.這樣就形成了數(shù)學新課程的“三個維度、四個領域”教學目標，簡稱為“三維四領域”教學目標，以此來表述課堂教學中師生通過教學活動應達到的預期目標.

（2）傳統(tǒng)的教學目標是“以師為本”，強調(diào)的只是“教師做什么”，教師要求學生達到什么結(jié)果.而在上述教學目標的敘寫中“以生為本”，突出學生的主體地位，站在學生的角度，闡明學生通過怎樣的學習活動，在行為上有什么變化.如：教學目標A①——“學生能寫出平方差公式”，有時“學生”可以省略，但默認的主體仍是學生.

（3）傳統(tǒng)的教學目標是采用描述內(nèi)部心理的詞語來陳述，站在教師的角度，要求學生“了解……”、“理解……”、“掌握……”，什么叫了解、到什么程度才算理解，不清楚，也無法觀察和測量.而在上述案例的教學目標敘寫中，采用條目形式，從“了解”、“理解”、“掌握”三個層次進行解析，分別說明學生學會做什么、做到什么程度等，讓教師對教學中通過“教什么”、“教到什么程度”使得學生“學什么”、“學到什么程度”做到心中有數(shù)，知道什么是低于教學目標要求，什么是高于教學目標要求，什么是恰好達到教學目標要求，因而，教師就能迅速、準確地把握教學要求.

（4）教學目標設定陳述學生學習后的變化情況，并且可以觀察、測量這種變化.即它必須明確、具體，可以檢測.每個教學目標都要有相應的目標評價試題，而且評價設計是先與教學設計的.如：C級教學目標就配以對應的目標評價試題，用以測量學生學習后的變化，便于教師及時調(diào)整自己的教學.

總之，教學目標是教學的出發(fā)點和落腳點，是課堂教學的“牛鼻子”.教師只有正確理解和把握教學目標，明確每一堂課“為什么教”、“教什么”、“怎么教”、“教到什么程度”，學生“學什么”、“學到什么程度”，我們的備課才能有的放矢，教學才能游刃有余，才能真正實現(xiàn)課堂的高效和有效！H