把握中考命題新趨勢，提高數(shù)學命題質量

☉江蘇省無錫市江南中學 高峰官

把握中考命題新趨勢，提高數(shù)學命題質量

☉江蘇省無錫市江南中學 高峰官

數(shù)學課程標準的基本出發(fā)點是促進學生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展.其基本理念是：要面向全體學生，適應學生個性發(fā)展的需要，使得人人都獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.落實到數(shù)學學習，就是讓學生通過親身參與生動具體的數(shù)學學習活動（包括解題活動），在獲取數(shù)學知識、形成相關技能的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面都能得到進步和發(fā)展.

一、把握數(shù)學中考命題改革的新趨勢

這些基本理念，對數(shù)學中考命題改革同樣具有指導意義.數(shù)學命題必須以新課程標準為依據(jù)，充分體現(xiàn)現(xiàn)代教育理念，增強試題與社會實際、學生生活的聯(lián)系.注重考核學生對知識技能的掌握情況，特別是在具體的情境中運用所學知識分析問題和解決問題的能力，為學生展示創(chuàng)新能力留有必要的空間.

在新課程理念的視域中，中考數(shù)學命題無論是在選材內容、呈現(xiàn)形式、解題方法或解題結果上，都與傳統(tǒng)的數(shù)學命題有所不同，都有一些新的變化，這些變化集中體現(xiàn)在對數(shù)學課程三維目標的全面關注上，這既是新教育理念在初中數(shù)學命題中的具體體現(xiàn)，也是數(shù)學命題改革的新方向和變化趨勢.

現(xiàn)在，人們已經開始用現(xiàn)代教育理念重新審視數(shù)學命題，數(shù)學命題在內容和形式上也正悄然發(fā)生變式，突顯新的變化趨勢：（1）強調問題背景的現(xiàn)實性；（2）注重命題呈現(xiàn)形式的多樣性；（3）關注問題的開放性；（4）注重數(shù)學知識的綜合應用性.

二、正視傳統(tǒng)命題中存在的問題

1. 忽視知識在生活中應用的合理性

數(shù)學來源于生活，應用于生活，這是廣大教師的共識，這從現(xiàn)在的命題都盡可能體現(xiàn)生活背景中可以看出來，但在命題時，往往是為應用而應用，閉門造車，容易顧此失彼.

案例1購買個人票每張100元，購買十張以上的團體票每人85元，現(xiàn)在有9個人去買票，怎樣買比較合算？大多數(shù)同學都會說買十張票，只需850元，比較合算，其實生活中并不會這樣.換句話說，我們有時命題是為了與生活聯(lián)系而聯(lián)系，為了應用而應用，沒有思考問題背景的真實性.經常這樣做，易使學生形成數(shù)學與生活是兩回事的印象，這是得不償失的.

可見，數(shù)學命題時應當與生活相關聯(lián)，但要盡可能使數(shù)學問題及其解答更具真實性、合理性.只有在學生的生活經驗和知識背景中將具體問題數(shù)學化，關注學生的數(shù)學思維方法，滲透數(shù)學思想方法，并讓問題的解答符合生活實際，經得起檢驗，這樣的數(shù)學命題才能發(fā)揮更大的思維價值和導向作用.

2. 沒有充分挖掘數(shù)學信息的思維價值

不少老師在命題時，對收集到的數(shù)學信息和資料沒有認真的分析或囿于批改簡便的原因，沒有充分考量發(fā)揮這些數(shù)學材料的思維價值，明明可以設計成開放性的問題，卻簡單地編擬成答案唯一的題目，這樣既減弱了這些有用信息的思維價值，也不符合新課程理念對數(shù)學命題的要求.

案例2如圖1所示的長方體中，長AB=4cm，寬AD= 2cm，高AE＝1cm.按6個面的大小分：上、下兩面是“大面”，前、后兩面是“中面”，左、右兩面是“小面”.如果有一只小蟲要從頂點A沿表面爬到頂點G，為了使爬行路程最短，一定只經過6個面中的某2個面.請求出這個“最短路線”的長度.

圖1

圖2

這是一道有關空間幾何體的操作探究題，題目提供的信息比較豐富，啟發(fā)學生通過展開圖將空間問題轉化為平面問題，而在平面上，我們知道兩點之間，線段最短.解出答案并不重要，重要的是探究的過程，讓學生體會化曲為直的數(shù)學思想方法.這道題的設計沒有充分關注和利用題目中的信息，只把問題指向最終結果，這樣做只是關注了少數(shù)學生的成功體驗.為此，這一命題的問題設計可改進為：

（1）這兩個面有可能是（）.

A.一個大面和一個中面B.一個大面和一個小面

C.一個中面和一個小面D.以上三種情況均可能

（2）圖2是該長方體的一個表面展開圖，請在圖2中用字母標出圖1長方體的頂點G可能在的位置，并畫出小蟲爬行的最短路線.

（3）求該“最短路線”的長度.

這樣改進后，學生就可以借助展開圖求小蟲前行幾種可能的路線，通過勾股定理，計算幾種可能路線的長度，比較得到最短路線的長度是5cm.兩種設計最終指向是一樣的，但學生的思維過程是不一樣的，參與的積極性是不同的，情感體驗更是不同.我們在命題時，要引導學生充分利用題目中的信息，充分發(fā)揮其思維價值.我們明白，盡管學生的層次不同，知識儲備量不同，思維方式也不同，但應給不同的孩子都有回答和得分的機會，都能體會學習活動的成功與愉悅.

3.沒有正視學生基礎和思維的差異性

案例3某人用如下辦法測一個鋼管的內徑：將一小段鋼管堅直放在平臺上，向內放入兩個半徑為5cm的鋼球，測得上面一個鋼球頂部高DC＝16cm（鋼管的軸截面如圖3所示），則鋼管的內直徑AD長為_________.

圖3

這是一道幾何圖形問題，表面看并不難.實際上，大多數(shù)學生讀不明題意，不知從何入手.問題在于命題者過高地估計了學生的空間想象能力.要完成這道題，學生必須理解轉化的數(shù)學思想：通常畫出軸截面將空間圖形轉化為平面圖形，這相對好理解，而由軸截面想象空間幾何體，而且是幾個幾何體的組合體，學生就很難想象.想象不出鋼管與球的位置關系，就無從下手.即使有少數(shù)學生題目讀懂了，幾何體位置也想出來了，但還需思考兩圓相切、直線和圓相切的位置與數(shù)量關系，需運用勾股定理才能解決.教師在命題時，如能作適當提示，將鋼管的空間圖形畫出，則大多數(shù)學生能有所思考，這比大多數(shù)同學無所適從要好得多.可見，命題難度要適中，不追求題型的“高、大、尚”，切合生情，顯得尤其必要和重要.

三、切實提高中考數(shù)學命題的質量

1.重視三維融合，彰顯人文性

新課程標準指出：“對學生的評價不僅要關注學生的學習結果，更要關注他們在學習生活中的變化與發(fā)展.”因此命題應傳給學生的不僅是知識與能力的考量，而更是一份期盼的人文關懷，消除學生緊張和恐慌的心理，縮短學生與試題之間的距離感，把考試變成學生的智慧沖浪和探求之路.因此教師在命題時，應設身處地地為學生所想，盡量給學生以友情提示，消除學生對考試的恐慌，使學生獲得積極的情感體驗.命題時應處處體現(xiàn)人文關懷，在較難處，加上：“別著急，慢慢來，你能行！”在學生易錯的地方，加上提示語：“可要細心認真”等.所有這些，對于學生來說，都會感受到一種溫馨，給學生潤物無聲的人性關愛，讓學生緊張、急躁的心緒得到緩解和釋放.

2.貼近生活，體現(xiàn)應用性

數(shù)學與生活密切相關，遠離生活就意味著數(shù)學學習成了無源之水，數(shù)學生活化本是數(shù)學課程改革的一道亮麗的風景線.因此，數(shù)學老師在命題時應充分利用現(xiàn)實生活的數(shù)學資源，強調問題設計的生活性、真實性和情境性，引導學生用數(shù)學的眼光，捕捉生活中的數(shù)學問題，運用數(shù)學知識解決問題.

案例4我們可將一元一次方程與生活中的行程問題結合起來.例如，甲、乙兩個物流公司分別在相距400km的A、B兩地之間進行貨物交換，C地為兩車的貨物中轉站，假設A、B、C三地在同一條直線上，甲車以每小時120km的速度從A地出發(fā)趕往C地，乙車以每小時80km的速度從B地出發(fā)也趕往C地，兩車同時出發(fā)，在C地相遇，并且在C地利用0.5h交換貨物，然后各自按原速返回自己的出發(fā)地.假設兩車在行駛過程中各自速度保持不變.

（1）求兩車行駛了多長時間相遇；

（2）A、C兩地相距_____km；B、C兩地相距_____km；

（3）求兩車相距50km時的行駛時間.

這樣的問題設計，增加了中途貨物中轉的情節(jié)，顯得真實自然，解答起來也更具有趣味性和挑戰(zhàn)性.貼近生活，體現(xiàn)應用性，這是現(xiàn)代命題的一大趨勢.教師在進行一元一次方程、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次不等式、二元一次方程組、一元二次方程、二次函數(shù)求最值的教學與命題時，引導學生將數(shù)學知識源于生活，又應用于生活，從而讓學生在學習與評價中體會到數(shù)學知識的廣泛應用性，增強學好數(shù)學、用好數(shù)學的信心.

3.重視學科整合與知識銜接，注重綜合性

課程改革的一大特征是學科不再孤立，彼此間相互滲透與交叉.數(shù)學是一門科學，更是一門文化，數(shù)學命題要走出數(shù)學學科，從更廣闊的視域中去審視數(shù)學問題，讓學生領略其他學科的精彩.命題時盡可能綜合學生所學的學科，確立以學科知識為基礎，以情境主題為背景，適當結合其他學科知識，從而豐富數(shù)學的內涵，讓學生能將相關學科知識融會貫通，領略知識的豐富多彩.

初中階段的數(shù)學課程是一個承上啟下的階段，不僅順接小學數(shù)學課程，由數(shù)的運算發(fā)展到代數(shù)式，由圖形的了解發(fā)展到圖形的認識，進一步發(fā)展學生空間觀念和幾何直觀，更是為高中階段的課程打好基礎.為此，數(shù)學命題要適當兼顧到知識的銜接，在命題時可用高中階段的知識作為出題背景，拓展學生的知識面，從而激發(fā)學生的求知欲.

案例5閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值.

解：設S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，將等式兩邊同時乘以2，得2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014.

兩式相減，得2S-S=22014-1，即S=22014-1，即1+2+22+ 23+24+…+22013=22014-1.

請你仿照此法計算：

（1）1+2+22+23+24+…+210；

（2）1+5+52+53+54+…+5n（其中n為正整數(shù)）.

這是一道有理數(shù)的求和運算題，實際上與高中課程中的等比數(shù)列求和運算相關聯(lián).這道題的解題思想方法就是高中課程中等比數(shù)列的求和方法.這種以高中課程中相關知識為命題背境的問題，既具有拓展性，更具有創(chuàng)新性，能開拓學生的數(shù)學視野，訓練學生思維，更能讓學生在悄然無聲中對高中相關內容有一個初步的了解，以便于初、高中課程相關內容的有效銜接.

4.適度開放，體現(xiàn)創(chuàng)造性

教育部在《關于初中畢業(yè)、升學考試改革的指導意見》中明確要求，數(shù)學試題應設計一定的“開放性問題”.此后，開放型試題成為各地中考的必考試題.所謂的開放型試題是指那些條件不完整、結論不確定的數(shù)學問題，常見的類型有：給出條件，去探索各種結論；或給出結論和部分條件，去探求各種附加條件；或自行設計問題和方案，主要通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯思想去得出結論；或從不同的角度，用不同的方法獲得問題的解答.開放性問題能激發(fā)學習興趣、培養(yǎng)學生的想象、發(fā)散、概括等思維能力，有助于培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新能力.

教師在編制開放型試題時，可以思考以下四種類型：

（1）條件的開放.試題提供的條件有些無序，有些繁雜而隱蔽，考查學生對信息的選擇、判斷與重新組合的能力.

圖4

案例7如圖4，在△ABC中，D、E兩點分別在邊AB、AC上，填上一個條件，使△ADE與△ABC相似.

（2）結論的開放.即問題本身具有不同的符合題意的答案，從而考查學生思考問題的廣闊性.

圖5

案例8根據(jù)我們學習矩形、菱形、正方形性質時所獲得的經驗，探求圖5中的四邊形有哪些性質？（用文字語言寫出4條性質）

性質1：________________________________；

性質2：________________________________；

性質3：________________________________；

性質4：________________________________.

（3）方案設計的開放.

圖6

案例9（2008年江蘇南通中考題）在一次數(shù)學探究活動中，某學習小組要制作一個圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側面時，圓正好是該圓錐的底面，他們設計了如圖6所示的方案：圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧都相切，且扇形的弧與正方形的兩邊也相切.

（Ⅰ）他們發(fā)現(xiàn)這個方案不可行，你知道不可行的理由嗎？

（Ⅱ）他們想到調整扇形和圓的半徑，你能為他們設計一個方案嗎？如可行，請計算圓錐的母線長和其底面圓的半徑.

這一例題，本身具有開放性，方案設計的多樣性有助于學生創(chuàng)新思維的發(fā)展.但如果解好了就此打住，未免太可惜.我們可以引導學生：如果利用這個正方形制作一個圓柱形模型，你又怎樣提出問題呢？這是一個富有創(chuàng)新價值的問題變式.我們總是埋怨創(chuàng)新思維策略學習無從抓起，其實途徑有許多，這值得我們用心去探索反思.

（4）解題策略的開放.不要求學生掌握所有的方法，而是讓學生根據(jù)自己的理解運用不同的、各自喜歡的解題方式、方法來解題，這也是因材施教在學習評價上的具體體現(xiàn).

案例10甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，并以各自的速度勻速行駛，甲途徑C地時休息1小時，然后按原速度繼續(xù)前進到達B地；乙車從B地直接到達A地.圖7是甲、乙兩車和A地距離y（千米）與出發(fā)時間x（小時）的函數(shù)圖像.

圖7

（Ⅰ）直接寫出m、n、a、b的值；m＝____________，n＝_____________，a＝______________，b＝_____________.

（Ⅱ）求出甲車與A地距離y（千米）與甲車出發(fā)時間x（小時）的函數(shù)關系式（寫出自變量的取值范圍）.

（Ⅲ）若兩車相距120千米時，則乙車行駛了多長時間？

這一問題的設置，巧妙地將一次函數(shù)及圖像、一元一次方程結合起來，將生活問題數(shù)學化，通過圖像將數(shù)與形結合起來，考查了學生觀察圖形、分析問題、解決問題的能力.特別是第三小問，學生在解答問題時，可以從方程的視角來思考，也可以結合圖像，從函數(shù)值的差來思考.如用方程來思考，則需思考相遇前與相遇后兩種情形；如用函數(shù)值思考，需思考相減時順序的不同，也有兩種情形.這兩種方法，學生思考的視角不同，所用知識點不同，但實質是相同的，可謂異曲同工，因為函數(shù)與方程本身就是相通的.講評時，讓學生交流不同的解法，對學生的思維拓展是大有裨益的.

正因為學生之間存在客觀差異，學生思考問題的角度和解決問題的策略呈現(xiàn)出多樣性與個性化，教師在命題時更應做到適度開放.要切合不同層次的學生需求，為學生的個性發(fā)展創(chuàng)設探究平臺，讓不同學生都有成功的體驗.

5.注重操作探究，增強實踐性

數(shù)學新課程，在各學段安排了四個部分的課程內容：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐.其中綜合與實踐內容設置的目的在于培養(yǎng)學生綜合運用有關知識與方法解決實際問題，培養(yǎng)學生的問題意識、應用意識和創(chuàng)新意識，積累學生的活動經驗，提高學生的實踐能力、解決問題的能力.

案例11（2008年無錫市數(shù)學中考第28題）一種電訊信號轉發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km.現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)域（如圖8）選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉發(fā)裝置，使這些裝置轉發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市.問：

（1）能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后能達到預設的要求？

（2）至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后能達到預設的要求？

圖8

這是一道操作探究題，主要考查了正方形、矩形、圓、勾股定理等知識，滲透了方案最優(yōu)化的思想.問題的背景是有關信號覆蓋的物理問題，體現(xiàn)了數(shù)學學科與物理學科相關內容的綜合，問題1的答案并不唯一，給學生充分發(fā)揮的空間.作為一道中考壓軸題，本題取得了較好的信度、效度與區(qū)分度.在當年，這道中考題曾引發(fā)了很多師生后繼探究的熱情.

現(xiàn)在，操作實踐題越來越受到師生青睞，符合新課程理念，評價了學生靈活運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力.根據(jù)新課程要求，在進行綜合與實踐這一題型命題時，教師要特別注意以問題為載體，注重知識的綜合性，注重解題過程的操作性與探究性，重在評價和發(fā)展學生的動手操作能力與和創(chuàng)新思維能力.

1.陳真真.新課程背景下數(shù)學命題改革的亮點與問題［J］.學科教學探索，2008（11）.

2.趙永寧.新課程理念下中考數(shù)學命題初探［J］.數(shù)學教育通報，2005（2）.H