鋪設(shè)引例，開(kāi)展“微話題”探討式解題教學(xué)*
——以2014年南通中考第28題（3）的教學(xué)為例

☉江蘇省南通市陳橋中學(xué) 陳建均

鋪設(shè)引例，開(kāi)展“微話題”探討式解題教學(xué)*
——以2014年南通中考第28題（3）的教學(xué)為例

☉江蘇省南通市陳橋中學(xué) 陳建均

在近日的課題組活動(dòng)中，筆者作為課題主持人，以2014年南通中考第28題第三問(wèn)為原型，開(kāi)設(shè)了一節(jié)習(xí)題教學(xué)研討課，得到了組內(nèi)老師的熱議.本文呈現(xiàn)該課的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)思考，以期得到更多同行的幫助和指導(dǎo).

一、選材說(shuō)明

對(duì)于提高題的教學(xué)，如果只是簡(jiǎn)單的堆砌，習(xí)題教學(xué)無(wú)法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；如果只是就題論題，習(xí)題教學(xué)就只服務(wù)于一小部分學(xué)生，大部分學(xué)生得不到實(shí)質(zhì)性的發(fā)展.圍繞教學(xué)主線分層設(shè)例可以滿足不同學(xué)生的發(fā)展需要，符合當(dāng)前課改的基本理念“面向全體學(xué)生，適應(yīng)不同學(xué)生的發(fā)展”.以2014年南通市中考第28題第三問(wèn)為例，課題組成員更熟悉，容易產(chǎn)生共鳴.

二、教學(xué)簡(jiǎn)案

（一）復(fù)習(xí)目標(biāo)

（1）運(yùn)用相似三角形中的基本模型解決問(wèn)題.

（2）掌握解題的基本策略：聯(lián)想—類比—轉(zhuǎn)化—?dú)w納.

（二）復(fù)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：運(yùn)用相似三角形中的基本模型解決問(wèn)題.

難點(diǎn)：構(gòu)建基本模型解決問(wèn)題.

（三）復(fù)習(xí)活動(dòng)

課前預(yù)習(xí).

題1：如圖1，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，∠ACO=∠BAO，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________.

圖1

圖2

圖3

題2：如圖2，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C在x軸上，∠ACO=∠BAO，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________.

題3：如圖3，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C（4，0），點(diǎn)D在x軸上，∠ADO=∠BAC，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是________.

【教學(xué)預(yù)設(shè)】讓學(xué)生課前先思考，帶著思考走進(jìn)課堂，給課上的探討留出時(shí)間，提高探討的針對(duì)性.

圖4

活動(dòng)1：以題找“型”.

小組交流：說(shuō)說(shuō)上述各題運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí).

【教學(xué)預(yù)設(shè)】對(duì)于題1，學(xué)生可以運(yùn)用相似三角形或銳角三角函數(shù)求解.由△AOB∽△COA，得到OA2=OB·OC，由OC的長(zhǎng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；或由∠BAO的正切值得出∠ACO的正切值，由OC的長(zhǎng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo).題2有兩解，學(xué)生需要先取一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分析，類比題1容易得出一解，也容易出現(xiàn)漏解，主要原因是審題不仔細(xì).此處讓學(xué)生自主探討，查找漏解的原因；再讓學(xué)生分享求第二解的方法，利用對(duì)稱性優(yōu)化解法思路.題2預(yù)設(shè)的微話題是“是一解還是兩解，是什么原因造成的？”“如何求第二解？”在題1、題2中，學(xué)生運(yùn)用銳角三角函數(shù)，表述相對(duì)簡(jiǎn)單，運(yùn)用基本模型解題的優(yōu)勢(shì)無(wú)法體現(xiàn)，估計(jì)對(duì)于題3，大多數(shù)學(xué)生會(huì)選擇運(yùn)用銳角三角函數(shù)解題，以點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上為例（如圖4），構(gòu)建相似直角三角形，求∠BAC的正切.與題1相比，此處運(yùn)算比較復(fù)雜，學(xué)生會(huì)覺(jué)察到這個(gè)問(wèn)題，主動(dòng)嘗試尋找優(yōu)化解題的方法.筆者抓住契機(jī)追問(wèn)“是否需要構(gòu)建相似直角三角形？圖中有沒(méi)有現(xiàn)成的相似三角形？你能把這個(gè)圖形畫(huà)出來(lái)嗎？”（題3預(yù)設(shè)的微話題），引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的探討，體會(huì)運(yùn)用基本圖形解題的簡(jiǎn)便性，學(xué)生自覺(jué)提煉出基本模型（如圖5）（由∠C=∠C，∠CAB=∠D，得△CAB∽△CDA，則AC2=BC·CD）.

活動(dòng)2：以“型”得法.

圖5

題4：如圖6，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C（4，6），點(diǎn)D在x軸上，∠CDO=∠ACB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是________.

圖6

圖7

小組交流：說(shuō)說(shuō)此題的解題思路.

【教學(xué)預(yù)設(shè)】對(duì)于題4，如果構(gòu)建相似直角三角形，運(yùn)用銳角三角函數(shù)求解，計(jì)算更為煩瑣，所以運(yùn)用基本模型（如圖5）優(yōu)化解題方案成為自然的選擇.相對(duì)于課前預(yù)習(xí)的三題，題4需要構(gòu)建基本模型：以點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上為例（如圖7），延長(zhǎng)CA交x軸于點(diǎn)E，△DCB∽△CEB.預(yù)計(jì)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)兩種不同的答案：（-14，0）或（14，0）；（-14，0）或（24，0）.兩種不同的答案，讓學(xué)生自主探討究因，促進(jìn)學(xué)生的反思.題4預(yù)設(shè)的微話題是“這道題，你是怎么想的？”“出現(xiàn)兩種不同答案的原因是什么？”.

題5：如圖8，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C在x軸上，∠ACO=∠ABO-45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________.

圖8

圖9

題6：如圖8，已知A（0，2），B（1，0），點(diǎn)C在x軸上，tanα=，α+∠ACO=∠ABO，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________.

小組交流：說(shuō)說(shuō)上述兩題的解題思路.

【教學(xué)預(yù)設(shè)】在內(nèi)容上，與前面幾題相比較，題5、題6缺少一組角對(duì)應(yīng)相等的條件；在編排上，題5的45°角到題6的正切值為的α，體現(xiàn)了特殊到一般的研究方法.兩題解題思路一致，對(duì)于題5（如圖9），可以選擇在x軸的正半軸上取OD=OA，連接AD，則∠ABO-45°=∠DAB，∠ACO=∠DAB，轉(zhuǎn)化為題3；題6同樣轉(zhuǎn)化為題3.題5、題6預(yù)設(shè)的微話題是“解題思路從哪兒來(lái)？”.

活動(dòng)3：當(dāng)堂反饋.

題7：（2014年南通中考第28題第三問(wèn)改編）如圖10，拋物線y＝-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，∠DAO+∠DPO＝α，當(dāng)tanα＝4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

活動(dòng)4：復(fù)習(xí)小結(jié).

圖10

回顧本課七道題的解題過(guò)程，你有哪些收獲？

【教學(xué)預(yù)設(shè)】知識(shí)層面：銳角三角函數(shù)、相似三角形的基本模型等；解題的基本策略方面：聯(lián)想—類比—轉(zhuǎn)化—?dú)w納.

三、鋪設(shè)引例，展開(kāi)“微話題”探討式教學(xué)

1.圍繞教學(xué)主線分層設(shè)例

進(jìn)行分層設(shè)例，教學(xué)主線要貫穿在整個(gè)分層設(shè)例的過(guò)程當(dāng)中，做到前后一致，邏輯連貫.2014年南通中考第28題第三問(wèn)是一個(gè)偽坐標(biāo)系問(wèn)題，本質(zhì)上是一個(gè)純幾何問(wèn)題，即相似三角形基本模型的應(yīng)用.因此本課的教學(xué)主線有兩條：一條是明線，提煉與構(gòu)建基本模型，運(yùn)用基本模型解題；一條是暗線，指向2014年南通中考第28題第三問(wèn).題1借助點(diǎn)C是定點(diǎn)，直接亮出基本圖形；題2將點(diǎn)C改為動(dòng)點(diǎn)，產(chǎn)生兩解；題3構(gòu)建基本模型；題4中兩個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱軸不再是y軸；題5將∠BAD換成了∠ABO-45°；題6將45°的角換成了正切值為的角，本質(zhì)上和題

7一致.原創(chuàng)的6道習(xí)題基于層次性與關(guān)聯(lián)性漸進(jìn)式展開(kāi)，一方面適應(yīng)不同學(xué)生發(fā)展的需要，通過(guò)類比和探討，學(xué)生可以“跳一跳”達(dá)到更高的高度；一方面學(xué)生選擇運(yùn)用相似三角形中的基本模型解題是自然的選擇，是方法優(yōu)化的結(jié)果，體現(xiàn)了研究問(wèn)題的基本思路，不降低學(xué)生的思維品質(zhì).

2.展開(kāi)“微話題”探討式教學(xué)

“微話題”簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是小的討論主題“.微話題”探討簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是圍繞小的討論主題進(jìn)行探討.進(jìn)行“微話題”探討有助于了解學(xué)情，提高習(xí)題教學(xué)的針對(duì)性與時(shí)效性，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生之間的差異化發(fā)展、全體學(xué)生的共同提高.

準(zhǔn)備不充分的探討耗時(shí)、耗力，效果不好，很容易造成過(guò)去聽(tīng)老師講現(xiàn)在只聽(tīng)優(yōu)生講的情況.高效的探討需要學(xué)生事先經(jīng)過(guò)充分的獨(dú)立思考，需要教師做好課前預(yù)設(shè)的同時(shí)，在課堂上密切關(guān)注學(xué)生，適時(shí)捕捉“微話題”.本課中的“微話題”都來(lái)源于學(xué)生的思考與交流：針對(duì)部分學(xué)生出現(xiàn)的漏解、錯(cuò)解提煉“微話題”，引導(dǎo)學(xué)生究因；針對(duì)部分學(xué)生重復(fù)計(jì)算、過(guò)程煩瑣提煉“微話題”，引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化解題方案；針對(duì)部分學(xué)生只管做題、不重視梳理與歸納提煉“微話題”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，感悟解題的基本策略.針對(duì)不同層次的“微話題”，本課中的“微話題”探討采用小組合作、大組交流的形式.個(gè)別問(wèn)題在小組內(nèi)解決，共性的問(wèn)題在大組內(nèi)探討解決.不同層次的學(xué)生在不同層面的探討中，在積極主動(dòng)的參與中，在原有的基礎(chǔ)上都會(huì)有所提高，實(shí)現(xiàn)個(gè)性化的自我完善與提升.

四、寫(xiě)在最后

好的分層設(shè)例教學(xué)，需要充分考慮學(xué)情，堅(jiān)持面向全體學(xué)生，需要在實(shí)施的過(guò)程中，教師進(jìn)行適時(shí)的追問(wèn)和點(diǎn)撥，需要教師發(fā)揮集體的智慧不斷進(jìn)行完善.后期我們課題組將結(jié)合課題繼續(xù)研究分層設(shè)例教學(xué).

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題（初中數(shù)學(xué)“微話題探討式學(xué)習(xí)”教學(xué)策略研究）（編號(hào)：E-c/2013/8）的研究成果.