對一道中考題的賞析、探究及反思

☉廣東省廣州市花都區(qū)炭步鎮(zhèn)炭步初級中學 湯妙娟

對一道中考題的賞析、探究及反思

☉廣東省廣州市花都區(qū)炭步鎮(zhèn)炭步初級中學 湯妙娟

一、題目鑒賞分析

題目（2014年山東淄博·23）如圖1，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點F、M分別是AB、BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB= AC=BD.連接MF，NF.

（1）判斷△BMN的形狀，并證明你的結論；

（2）判斷△MFN與△BDC之間的關系，并說明理由.

圖1

1.題目分析

題目設置本著“面向全體、兼顧選拔、力求創(chuàng)新”的基本原則，遵循“注重基礎，穩(wěn)中求變”的基本思路，既突出了對數(shù)學主干知識的考查，又加強了對雙基知識的考查力度，同時還注重了題目的綜合性.題目設計中考查了中學數(shù)學的多個主干知識，包括相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，等腰三角形三線合一，是一道幾何綜合題，難度不是很大，題目放在試卷中倒數(shù)第二題的位置，得分率偏低.學生感覺困惑在哪里？讓我們趕緊走近這一道中考題，來體會題目內(nèi)在的“魅力”.

2.圖形分解

教材是中考命題的主要素材，縱觀近幾年的中考題，每年都有大量的題目直接出自教材，或在教材的基礎上，改造整編，繁衍生息.本題也不例外，細細分析，可以把這一題目中的圖形分解為三個出自教材的基本圖形，分別是：等腰三角形的“三線合一”；三角形的內(nèi)角平分線相交于一點；三角形的高相交于一點.三個基本圖形鏈接精巧，環(huán)環(huán)相扣，渾然一體，盡顯命題者匠心獨運的風格，當然，這一切都源于思考的魅力.

基本圖形1：等腰三角形的“三線合一”（如圖2）.

圖2

人教版義務教育課程標準實驗教科書八年級上冊第13章《軸對稱》第三節(jié)主要研究等腰三角形，是初中數(shù)學的主干知識，本題將這一基本的圖形橫放，部分考生就不知道AM⊥BC了（如圖2），說明靈活運用所學知識的能力有待加強，也說明命題人善于從學生身邊的題目取材，善于從圖形變換中考查學生的圖形遷移能力.

基本圖形2：三角形的內(nèi)角平分線相交于一點（如圖3）.

圖3

基本圖形3：三角形的高相交于一點（如圖4）.

圖4

三角形的高相交于一點這一基本圖形也是日常練習題中經(jīng)常見到的，由圖4我們就可以得到很多相等的角和相似三角形，所以我們很容易得到∠CAM=∠CBE.在圖1中，根據(jù)FM∥AC，我們就可以得出∠CAM=∠FMN，進而得到∠FMN=∠CBD，這是確定△MFN與△BDC相似的關鍵.

基于三個基本圖形的構建，就可以輕松地瓦解這一道“難”題了.看來我們可以把“復雜”的中考題分解為熟悉的簡單圖形，而如何深挖教材，提煉我們熟悉的基本圖形，并對圖形進行深入探究是幾何復習的關鍵環(huán)節(jié).

二、題目拓展探究

1.提煉基本圖形，感知模型

通過對這一道中考題目圖形的分解探究，結合教材的內(nèi)容，在復習三角形相似時，除了平時學生們很熟悉的“A型”“X型”“斜截型”“蝴蝶型”“雙高型”“三高型”“反射型”外，筆者還引導、幫助學生提煉了如圖5所示的基本圖形，為學生更好地運用基礎知識，感知基本模型創(chuàng)造了條件.

圖5

通過提煉變式基本圖形，為學生運用基礎知識，感知基本的數(shù)學模型，營造了和諧的氛圍.這樣讓學生能夠輕松地接受這一基本圖形，為下面的圖形變式探究，打下了堅實的基礎.

2.探究基本圖形，深化認識

基本圖形給出后，若直接拋出問題，讓學生去探究，學生的思維將在教師的牽引下行進，主動探究的熱情將大打折扣，對于基本圖形的認識也會停留在表面上.基于這樣的思考，筆者試圖讓學生根據(jù)基本圖形或變換圖形，自己設計問題，來加深對基本圖形的認識.在展示課上，筆者真正感受到：只要敢于放手，學生就會給課堂帶來活力，就會展示自己的精彩.現(xiàn)把學生提出問題與解決問題的過程整理如下.

問題1：如圖6，圖中相似三角形有幾對？

除個別基礎比較弱的學生找不全外，大部分學生能夠輕松找出6對相似三角形，相似三角形的判定及相似的基本圖形“斜截型”與“蝴蝶型”的知識，得到了鞏固和提升.

圖6

圖7

問題2：連接AC，如圖7，圖中相似三角形又有幾對？

問題給出后，學生們努力尋找新的相似三角形，結果發(fā)現(xiàn)并沒有增加新的相似三角形，盡管走了一些“彎路”，但是加深了學生對基本圖形的理解，也為進一步的探究做好了鋪墊.

問題3：若再連接DE（如圖8），△BDE與△BCA相似嗎？為什么？

問題4：如圖8，△DOE與△AOC相似嗎？為什么？

問題5：如圖8，圖中相似三角形有幾對？

圖8

圖9

對于問題3，由△CBD∽△ABE（這是問題1中的一對相似三角形）得到又因為∠B=∠B，所以△BDE∽△BCA.通過兩次相似，最終利用兩邊成比例且夾角相等得出了結論.

對問題4的求解更是精彩.

思路1：在探究問題3的基礎上，學生明白了為了證△DOE∽△AOC，可以先證△AOD∽△COE，得到.又因為∠AOC=∠DOE，所以△AOC∽△DOE.

思路2：由問題3可知△BDE∽△BCA，所以∠BDE=∠ACE，而∠EDO=90°-∠BDE，∠CAO=90°-∠ACE，所以∠EDO=∠CAO.又因為∠DOE=∠AOC，所以△DOE∽△AOC.通過兩角相等證出兩三角形相似，這是對問題4的探究的一個亮點.

問題3與問題4掀起了探究基本圖形的高潮，對于問題3的探究，部分同學自認為DE∥AC，讓問題探究走入了“迷途”，通過小組合作交流才找到問題解決的途徑.在問題3的基礎上探究問題4，學生的思路更加開闊，通過后面的拓展探究，學生還可以根據(jù)圓的知識來解決問題4.將圖8旋轉變式得到圖9，通過上面的問題，讓學生再進一步深化認識基本圖形.

筆者讓學生根據(jù)圖形來設計問題，對學生來說是一個挑戰(zhàn)，更是一次鍛煉升華的機會，學生一聽說自己來設計題目，興趣大增，個個躍躍欲試，當然，提出問題比解決問題更困難，但是這種角色的轉變，大大提升了學生的參與度和學習熱情，更為關鍵的是結合圖形的變式，讓學生經(jīng)歷了從問題的提出到問題的解決整個過程，深入思考探究了這個基本圖形的本質(zhì)，達到了在思考中運用、在運用中提升的目的.較好地實現(xiàn)了數(shù)學教學中知識與方法、過程與結果的和諧統(tǒng)一，真正起到了潤物無聲的效果.

3.拓展基本圖形，活學活用

圖10

圖11

圖12

如果將圖9與圓結合，就是一道幾何綜合題了，因此，筆者適時地將圓引入基本圖形中，讓學生在知識的交匯處繼續(xù)拓展探究.

問題6：過A、D、C三點作圓，圓心在哪里？點E在這個圓上嗎？（讓學生感知A、D、C、E四點在同一個圓上，因而得到圖10）

問題7：通過問題6的探究，你對問題4還有什么新的辦法？

增加條件“AE平分∠BAC”，學生們還設計了下面的問題.

問題8：如圖10，△ABC是什么三角形？（再次回扣中考題的基本圖形“等腰三角形‘三線合一’”）

問題9：試說明DE=CE.

問題10：證明BD·BA=BE·BC.

問題11：若連接OE（如圖11），試說明OE與AB的關系.

問題12：如圖11，△OEC與△BDE相似嗎？為什么？

由圖11，若只截取A、C、E、D的部分，延長DE與AC相交于一點P，作AB⊥BP，如圖12，這就是2014年瀘州市中考數(shù)學第24題的圖形.

在圖12中，若AE平分∠BAC，DE=2，PC=AC，又可以設置很多問題，如下所示.

問題13：證明△PCE∽△PDA.

問題14：證明△ABD∽△ADF.

問題15：求PE的長.

問題16：求⊙O的半徑r.

問題17：求BD的長.

通過拓展探究，再一次提高了學生的模型識別能力與知識的遷移能力，提升了思維的深度.從復雜的圖形中分離出“基本圖形”，在問題解決中綜合運用所學的知識，如相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓的基本知識等，使學生在圖形變化過程中感悟“萬變不離其宗”的道理，讓學生在一系列的變化過程中識別基本圖形，從而找到問題的根本解決辦法，達到“解一題、通一類”的教學目的.

三、反思

1.教得活是學得活的前提

在日常的教學中，如果單從一個具體的圖形去分析，就提論題，充其量是解決了一個問題，題目的內(nèi)在價值將囿于一域，如果立足于題目的基礎之上，提煉出內(nèi)蘊的基本圖形，再通過變式，加強對基本圖形的靈活運用，切實地讓學生展開探究活動，圖形的內(nèi)在價值才能夠釋放出來.

教材中的習題都是經(jīng)過專家精心打磨的精品，在幾何復習中，如何挖掘題目內(nèi)在的能量，引導學生從題目中提煉“基本圖形”是關鍵.在教學設計時，不能輕易地讓教育資源流失，要善于通過一系列的圖形變式和一系列的問題串，去開啟學生的思維之門.

2.方法為先，思維為本

問題是思維的源泉，美國著名的數(shù)學家哈爾莫斯說過，有了問題，思維才有了方向；有了問題，思維才有了動力；有了問題，思維才有了創(chuàng)新.利用基本圖形的變式，讓學生提出問題，是把“以教為本”的教學轉化為“以學為本”的教學的一個有效策略.學生不是一個等待填滿的容器，而是急需點燃的火把.沒有學生的積極參與，再好的教學設計也會黯然失色.因此，通過問題的層層推進，將學生的思維激活，讓數(shù)學知識不再枯燥，讓課堂不再沉悶，永遠是一線數(shù)學教師追求的目標.筆者認為能否為學生搭建一個探究的平臺，為學生長遠發(fā)展提供原動力，是衡量教學成敗的關鍵之一.在幾何教學中，要逐步引導學生從復雜的圖形中分離出基本圖形，進而實現(xiàn)將復雜的圖形簡單化，最終實現(xiàn)把不會的問題轉化為會的問題.當然，僅從復雜的圖形中分離出基本的圖形是不夠的，還要引導學生會在綜合性的問題中，構造熟悉的基本圖形，教會學生方法，讓學生受益終生.

3.培養(yǎng)學生的幾何直觀能力十分重要

《全日制義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》將幾何直觀列為十大核心概念之一.筆者認為，在日常教學中注重引導學生從具體的圖形中提煉基本圖形是培養(yǎng)學生幾何直觀能力的重要途徑.在具體題目中，應充分利用基本圖形的性質(zhì)分析、解決問題，借助基本圖形幫助學生直觀地理解數(shù)學問題，進而為學生幾何推理論證奠定基礎.如在復習解直角三角形這一章時，若在教學中，一會兒讓學生計算河的寬度，一會兒是旗桿的高度，又是金字塔的高度，課堂上學生明白的問題，但課后練習時若換了題目的“另一張臉”，學生又摸不著頭了，因此及時幫助學生提煉基本圖形十分重要.

圖13

構建了基本圖形后，遇到實際問題時，讓學生自己判斷該用哪個基本圖形，對于每個基本圖形，該怎樣分析，然后通過圖形的變式，將實際生活中的仰角、俯角、方位角融入問題設計中，鍛煉學生從實際問題中識破基本圖形的能力，才能真正達到“做一題、會一類”的目的，才能讓學生脫離題海，最終實現(xiàn)為學生減負.

四、結束語

多年的教學經(jīng)歷，讓筆者越來越感受到探究數(shù)學教學的“奧妙”是一段沒有終點的旅程，是一本只有逗號、沒有句號的“經(jīng)卷”，不管怎樣，筆者會堅持不懈地走下去，持之以恒地向教育前輩學習、向雜志學習、向身邊的榜樣學習，相信功夫不負有心人.Z