重視教材“活動(dòng)”材料，追求變式教學(xué)效率
——以一道中考模擬卷壓軸題為例

☉江蘇省高郵市城北初級(jí)中學(xué) 周禮芳

重視教材“活動(dòng)”材料，追求變式教學(xué)效率
——以一道中考模擬卷壓軸題為例

☉江蘇省高郵市城北初級(jí)中學(xué) 周禮芳

最近讀刊，發(fā)現(xiàn)《中學(xué)數(shù)學(xué)》有不少文章關(guān)注地區(qū)模擬考題，闡釋了不少精彩的觀點(diǎn).受到啟發(fā)，本文選取新近關(guān)注到的江蘇省海安縣中考調(diào)研考卷最后一題，給出該題的思路突破，并反思命題立意和教學(xué)導(dǎo)向，與同行研討.

一、試題及思路突破

題目如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），取一點(diǎn)M（m，0），連接AM，作線段AM的垂直平分線l1，過點(diǎn)M作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點(diǎn)為P.

（1）當(dāng)m＝3時(shí)，在圖1中補(bǔ)全圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

圖1

（2）小敏多次取不同數(shù)值m，得出相應(yīng)的點(diǎn)P，并把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來，發(fā)現(xiàn)：這些點(diǎn)P竟然在一條曲線L上.

①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），試猜想并說明曲線L是哪種曲線；

②設(shè)曲線L的最低點(diǎn)為Q，直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)N，連接QN.當(dāng)△APM為等邊三角形，且QN取得最小值時(shí)，求線段QN所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

思路突破：

（1）考查尺規(guī)基本作圖，屬于送分題.

（2）①猜想：曲線L是拋物線.

理由如下：

如圖2，連接AP，作PB⊥y軸于B，由l1垂直平分AM，得PA＝PM＝y(tǒng).

在Rt△ABP中，BP＝OM＝x，BA＝PM-OA＝y(tǒng)-2，根據(jù)勾股定理得

圖2

②如圖3，當(dāng)△APM為等邊三角形時(shí)，∠AMP＝60°，

設(shè)直線l1交y軸于C點(diǎn)，可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-2），由點(diǎn)C、P可確定直線l1的解析式

易得曲線L的最低點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1）.

如圖3，當(dāng)QN取得最小值時(shí)，作QN⊥l1于N點(diǎn)，此時(shí)求出N點(diǎn)的QN的解析式為y＝kx+b，把Q（0，1），段QN的解析

圖3

二、解后反思

從上面的求解來看，這道考題的前兩問并不復(fù)雜，主要難點(diǎn)在最后一問.概括來說，需要突破以下兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

第一，△APM為等邊三角形能帶來哪些特殊信息？

經(jīng)過深入思考，等邊三角形這個(gè)強(qiáng)化條件能帶來點(diǎn)P位于拋物線上兩處特定位置，這兩個(gè)位置恰好關(guān)于y軸對(duì)稱，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）或（-2，4）.此外，還能發(fā)現(xiàn)此時(shí)Rt△AOM也是特殊的三角形（含30°的直角三角形），明確其特殊性是后續(xù)解題的關(guān)鍵.

第二，當(dāng)QN取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q、N位置如何？

明確函數(shù)圖像為拋物線之后，其最低點(diǎn)Q就是拋物線的頂點(diǎn)；而點(diǎn)N的位置如何呢？根據(jù)點(diǎn)到直線的最小值是“垂線段”，所以作QN⊥l1于N點(diǎn)，得到垂線段QN.接著要思考的就是點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而明確線段QN所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.這里要注意的還要考慮該函數(shù)解析式中自變量的取值范圍.

三、命題立意與教學(xué)導(dǎo)向

上面主要就考題解法及解題主要難點(diǎn)給出一些思考，以下再就這道關(guān)鍵位置上的考題有怎樣的命題立意和教學(xué)導(dǎo)向，給出進(jìn)一步的思考.

1.問題設(shè)計(jì)漸次生長(zhǎng)，追求“易進(jìn)難出”的難度控制

從上面這道考題來看，雖然選自教材，教材上該活動(dòng)敘述的文字相對(duì)較多，而命題者改編成試題后呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔，各個(gè)小問漸次生長(zhǎng)，有效追求了“易進(jìn)難出”的難度控制.讓更多的學(xué)生都有機(jī)會(huì)得到基本分，而且抬級(jí)而上，要想突破并完整地解決最后一問，又不是很容易的.這提示我們，在平時(shí)的命題研究或者例題變式時(shí)，都是值得學(xué)習(xí)的.還值得指出的是，有些綜合題在一個(gè)題干之下設(shè)計(jì)系列問題時(shí)，卻過早地讓題干信息“死去”，離開題干而旁枝到其他，這種命題取向在近期《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》有一篇文章《讓題干條件充滿活力》（詳見1）值得關(guān)注，可以發(fā)現(xiàn)，本題的題干信息在后續(xù)幾個(gè)問題的設(shè)計(jì)中得到關(guān)聯(lián)和互動(dòng)，這種命題技術(shù)和細(xì)節(jié)也是值得關(guān)注和學(xué)習(xí)的.

2.認(rèn)真研讀教材，重視“活動(dòng)”或探究類教學(xué)

我們注意，作為該命題地區(qū)數(shù)學(xué)教研員的夏盛亮老師曾在文2中提出，要重視教材研究，倡導(dǎo)命題的開放取向，并在地區(qū)命題中進(jìn)行“現(xiàn)實(shí)引領(lǐng)”.從上面這道考題來看，正體現(xiàn)了引導(dǎo)廣大師生重視教材的努力.熟悉人教課標(biāo)最新教材的人應(yīng)該知道，九年級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)部分就有這樣的“活動(dòng)”材料，讓學(xué)生在作圖中發(fā)現(xiàn)拋物線，并利用平面幾何（直角三角形、勾股定理等知識(shí)）驗(yàn)證作圖發(fā)現(xiàn)，是一次很有意義的實(shí)驗(yàn)教學(xué).這道考題正是在此實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的基礎(chǔ)上，考查學(xué)生的尺規(guī)作圖、發(fā)現(xiàn)猜想并驗(yàn)證函數(shù)圖像，作為最后一問，融入了等邊三角形、特殊直三角形、一次函數(shù)解析式、軸對(duì)稱等知識(shí)，體現(xiàn)了較好的知識(shí)覆蓋和區(qū)分功能.

3.從題海戰(zhàn)術(shù)走出來，重視“做一題，會(huì)一類，通一片”的解題教學(xué)追求

在如今的網(wǎng)絡(luò)信息時(shí)代，人們已很方便地（百度搜索、拍題軟件等）獲得一些陳題、經(jīng)典題，然而這道考題并不來源于網(wǎng)絡(luò)上的一些所謂陳題的簡(jiǎn)單改編、包裝后的再現(xiàn)，而是由教材“活動(dòng)材料”改編生長(zhǎng)，通過增加解題層次實(shí)現(xiàn)考查功能.這本身就有著很多引領(lǐng)意義，第一，引導(dǎo)廣大師生遠(yuǎn)離題海戰(zhàn)術(shù)，重視教材例習(xí)題的教學(xué)；第二，引導(dǎo)廣大教師重視變式教學(xué)，在變式追問中將問題引向深刻；第三，解題教學(xué)中通過恰當(dāng)?shù)淖兪绞沟脝栴}的結(jié)構(gòu)與本質(zhì)得到揭示，讓學(xué)生在有限的解題教學(xué)中達(dá)成“做一題，會(huì)一類，通一片”的教學(xué)追求.

1.肖維松.讓題干條件充滿活力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（3）.

2.夏盛亮.引導(dǎo)回歸教材，倡導(dǎo)開放取向［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.