從“查漏補缺”到“熟能生巧”
——以“平行四邊形”復習課教學為例

☉江蘇省南通市第一初級中學 周紅娟

從“查漏補缺”到“熟能生巧”
——以“平行四邊形”復習課教學為例

☉江蘇省南通市第一初級中學 周紅娟

中考復習是一個老話題，各地各校都投入了很多精力研究，教師們常常都分一輪（分知識塊）、二輪（分專題或題型）復習，然而一輪復習課的“范式”多是先梳理知識點（填空方式），再典型例題講練，然后是變式訓練.最近筆者有機會在南通市中考復習研討會執(zhí)教中考一輪復習課——“平行四邊形”復習課，并沒有采用上述“范式”教學，而是把知識梳理蘊藏到課前復習題中，開課之后就圍繞相關問題對話、交流與追問，也起到了很好的教學效果.本文呈現(xiàn)該課的教學設計、部分教學對話，并反思復習課如何從“查漏補缺”走向“熟能生巧”，與更多同行研討交流.

一、教學設計

（一）課前預習

題1：如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AB＝5，AO＝3，∠ABC=50°.你能求出圖中哪些線段的長和角的度數(shù)？你還能得到哪些結論？

圖1

題2：如圖1，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB//CD.添加一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形，并說明理由.

（二）課堂學習

例1如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分線交于AD邊上的一點E，若___________，則AB的長是____________.（添加條件，使能求出AB的長度）

圖2

圖3

例2如圖3，點E是平行四邊形ABCD的邊AD上一點，AE∶ED＝2∶1，連接BE，和對角線AC交于點O，點O是AC的中點嗎？如果是，請說明理由；如果不是，請求出AO∶OC的值.

例3如圖4，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADE，AE⊥AC，若AE=7，AB=5，AD=，求AC的長.

圖4

圖5

（三）變式生長

例3的變式如圖5，以AC所在直線為x軸，BD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系.

（1）在平面內(nèi)確定點F，使以A、B、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出點F的坐標；

（2）若點M在直線AD上，點N在坐標平面內(nèi)，且以點B、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求MN的最小值.

（四）小結與作業(yè)（略）

二、課堂生成

教學片斷1（開課階段）如下所示.

師：同學們課前已練習好了，下面我們來交流一下吧！

生1：我能得到兩對全等三角形.

“不止兩對”，下面馬上有同學插嘴.

生1（思考了一會）：有四對，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.

師：很好.平行四邊形的每一條對角線把它分成一對大的全等三角形，兩條對角線相交再把它分成兩對小的全等三角形.還有其他結論嗎？

生2：我能求出BC邊的取值范圍是1＜BC＜11，對角線BD的取值范圍是4＜BD＜16.

師：這位同學將平行四邊形問題轉化為三角形問題，其實探究了平行四邊形的存在性問題，非常棒.

生3：我能得到S△ABO=S△CBO=S△COD=S△AOD.

師：很好.其中有兩對三角形全等，所以面積相等，請問S△ABO=S△CBO的理由是什么呢？

生4：由平行四邊形性質可得OA=OC，這兩個三角形等底同高.

師：講解思路清晰，非常好！老師在批閱大家的預習作業(yè)的時候，發(fā)現(xiàn)有同學還得到了∠ABD=∠CBD=25°的結論，你贊同嗎？

生5：這是菱形才有的性質，平行四邊形沒有.

師：對！菱形才有對角線平分一組對角的性質，一般的平行四邊形沒有，例1也幫我們證實了這一點.

師：關于例1，大家在課前設計了一些不錯的題目，但是也有些題目有點瑕疵.你能發(fā)現(xiàn)嗎？比如有同學設計了問題：若CD=5，則AB的長是5.請你揣摩一下.

生6：他這個問題都用不到角平分線這個條件.

師：問題找出來了.你分析下出現(xiàn)這個問題的原因？

生6：我覺得是學習態(tài)度不夠端正，應付作業(yè).

師：我相信這樣設計題目的同學自己也發(fā)現(xiàn)有問題，但不愿再多想，希望下次能改進.下面看另一同學的設計：若AD=13，CD=5，則AB=8.

生7：他可能是先證明得DE=CD=5，然后證明AB= AE=AD-DE=13-5=8.

師：那么問題在哪兒呢？

生7：AB和CD是平行四邊形的對邊，應該相等，他可能做的時候忘記用這個條件了.

師：分析得很在理.同學們基本都能看出如圖2所示的基本圖形，但是卻忽略了平行四邊形的對邊相等這一條件.解決數(shù)學問題時，我們不能把條件孤立，這樣常常導致題目解不出或是出錯.其實這樣分析下來，我們就得到很多同學設計的一類好問題：若AD=10，則AB=5.

師：還有一種設計：若∠BEC=90°，∠EBC=30°，CE= 5，則AB=5.

生8：這個和剛才的問題有類似情況，就是條件有多余.我們是可以證明∠BEC=90°的.

師：哪位同學簡單證明給我們聽一下？（生9）你來試試.

生9：由平行四邊形得AB∥CD，所以∠ABC+∠BCD= 180°，再加上角平分線的條件，則∠EBC+∠BCE=90°，所以∠BEC=90°.

師：很好.其實這也是我們平時常常用到的基本圖形，平行線截得的同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.只需將“∠BEC=90°”這一條件去掉，就是一道好題！當然還有同學又稍作變換，設計成“若CE=3，BE=4，則AB=2.5.”這樣的好問題.同學們課后可以繼續(xù)探究！

教學片斷2如下所示.

以下為例3的變式問題的教學對話.

師：從剛才我巡視的情況看，還有一部分同學沒有將符合條件的點F都找出來.那么該如何畫圖確定點F呢？

生10：要分類討論.

師：如何分？

生10：分成AB是邊和對角線兩類情況：如果AB是邊，那么AB∥DF，可以確定兩個點F；如果AB是對角線，那么AB與DF互相平分，則確定點F.

生11：在A、B、D、F四個點中，有三個頂點A、B、D都是確定的，所以我認為也可以按AB、AD、BD分別作為對角線來分類.

師：剛才我們兩位同學按“兩個定點”和“三個定點”兩類不同問題，進行了不同的分類討論，當然，我們也可以將“三個定點”按“兩個定點”的方法進行討論，大家的想法都很好.你能快速地寫出點F的坐標嗎？

（大約2分鐘后，很多同學都舉手了）生12：（-4，7）或（-4，-7）或（4，-1）.師：能講一下你是如何求的嗎？

生12：當AB是邊時，就用坐標平移規(guī)律來求，當AB是對角線時，AB的中點也是DF的中點，可以用中點公式來求.

師：簡潔而清楚.最后，我們來看例3的變式第二問.請大家先獨立思考，然后在小組內(nèi)交流討論.

（大約5分鐘后）

師：哪一小組先來談談你們的想法？

生13：我們還沒求出來，只是有思路.

師：不要緊，你先談思路.

生13：和前面的問題一樣，我們分成BC是邊和BC是對角線兩種情形.當BC是邊時，MN＝BC＝5；當BC是對角線時，如圖6，設BC與MN交于點P，MN＝2MP，所以當PM最短時，MN最短.而當PM⊥AD時，PM最短.但是我們現(xiàn)在還沒求出來.

圖6

師：剛才這一組同學給我們講了他們的想法，由于時間關系，課堂上只能討論到這里，請大家課后積極思考，將你的方法整理出來.

后記：在第二天的作業(yè)中，學生展示了幾種不同解題思路.

思路1：利用PM⊥AD求出PM所在直線的解析式，再求出點M的坐標，用兩點之間的距離公式求PM的長度；

思路2：發(fā)現(xiàn)M是直線AD：y=-x-4上一動點，設M（a，-a-4），利用兩點間的距離表示出PM2，轉化為二次函數(shù)的最值問題；

思路3：過P作y軸的平行線交直線AD于點Q，發(fā)現(xiàn)：△PMQ是等腰直角三角形，先求出PQ的長度，進而求PM的長度.

當然，還有其他大同小異的方法.

三、教后反思

上面呈現(xiàn)了教學流程與部分教學對話，以下再圍繞該課的教學立意給出一些整體解讀與思考.

1.中考一輪復習課追求查漏補缺

進入中考復習之后，師生都有著強烈的功利愿望，即希望在即將到來的中考中獲得較為理想的分數(shù)，這時不能遺漏課標、教材上涉及的知識點、概念或性質.那么，在中考一輪復習中，更加側重基礎知識的覆蓋與梳理，教師該怎樣帶領學生復習呢？是羅列知識點以填空方式給出，還是梳理成知識框圖讓學生填空？從上面的課例發(fā)現(xiàn)，我們沒有這樣做.而是通過前置課前預習作業(yè)，精心預設兩道覆蓋面較廣的練習題，讓學生調動自己的知識儲備回顧和復習知識點，再通過開課階段對這些問題的對話與追問，很好地起到了復習概念、梳理知識框架的作用.

2.中考一輪復習課需要熟能生巧

我們知道，當前中考試卷一般都有25～28道考題，這對解題速度有較高的追求，特別是基礎題、中檔題的解題速度往往決定了考生是否有更多時間投入到具有區(qū)分功能的把關題上去.那么在一輪復習中，注意訓練學生的解題速度是較為現(xiàn)實的目標.追求熟悉題、中檔題的熟能生巧，其中頗受爭議的“一看就會、一做就對”也是一些應試的無奈之舉.然而，究竟帶給學生怎樣的熟能生巧，生出什么樣的“巧”，而不是熟能生厭，倒是值得研究的話題.可以發(fā)現(xiàn)，在上文教學片斷2中，我們通過追問學生的理解，向問題的本質不斷逼近，使得解法得到優(yōu)化，思路得以開闊，解題途徑得到開拓，這一方面追求了問題解決，另一方面也實現(xiàn)了我們所追求的熟能生巧.

四、寫在后面

復習課是一首老歌，一方面復習內(nèi)容是舊的，另一方面有些復習課的“范式”（如知識梳理、例題講解、變式練習等）由來已久，如何追求老歌新唱，唱出新意，是我們努力追求的.當然，我們的努力還是初步的，期待批評指正.

1.章建躍，陳向蘭.數(shù)學教育之取勢明道優(yōu)術［J］.數(shù)學通報，2014，52（10）.

2.劉東升.關聯(lián)性：一個值得重視的研究領域［J］.中學數(shù)學（下），2013（12）.

3.肖維松.熟能生巧：復習課的一種追求［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2013（7）.

4.張奠宙.熟能生巧：是精熟，不是爛熟［J］.數(shù)學教學，2013（5）.

5.李士锜.熟能生巧嗎［J］.數(shù)學教育學報，1996，5（3）.

6.李士锜.熟能生笨嗎？——再談“熟能生巧”問題［J］.數(shù)學教育學報，1999，8（3）.

7.李士锜.熟能生厭嗎——三談熟能生巧問題［J］.數(shù)學教育學報，2000，9（1）.

8.鄭毓信.由“熟能生巧”到自覺學習：搞好數(shù)學教學的一個關鍵問題［J］.數(shù)學教育學報，1999，8（2）.Z