基于初中數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中數(shù)學(xué)模型思想的滲透
——以人教版數(shù)學(xué)八年級下冊為例

☉安徽省廬江縣樂橋鎮(zhèn)初級中學(xué) 朱愛明

☉山東省青島市香江希望小學(xué) 王積賢

基于初中數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中數(shù)學(xué)模型思想的滲透
——以人教版數(shù)學(xué)八年級下冊為例

☉安徽省廬江縣樂橋鎮(zhèn)初級中學(xué) 朱愛明

☉山東省青島市香江希望小學(xué) 王積賢

一、模型思想的提出

2011版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把“模型思想”作為十大核心關(guān)鍵詞之一，并指出模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型來解決有關(guān)問題的方法稱之為模型思想.在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)貪B透模型思想，可使抽象的數(shù)學(xué)知識形象化，對培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力、邏輯思維能力有很大的作用，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中更容易理解、加深記憶，能夠靈活地運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識.學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過七年級和八年級上學(xué)期的學(xué)習(xí)，已經(jīng)認(rèn)識并初步掌握了一些模型思想，在八年級（下）的教學(xué)中涉及初中階段運用最廣的函數(shù)模型.如何發(fā)掘教材內(nèi)容潛在的模型思想，并在教學(xué)中潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生使用它，這是我們教師應(yīng)具備的能力.模型思想需要教師在教學(xué)中逐步滲透和引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟，使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的數(shù)學(xué)活動過程，通過建模改進學(xué)習(xí)方式.

二、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際上是數(shù)學(xué)模型的教學(xué)

數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達式.在初中數(shù)學(xué)中，一切數(shù)學(xué)概念、各種數(shù)學(xué)公式，以及各種運算，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都可以稱為數(shù)學(xué)模型.這些模型經(jīng)過教學(xué)法的加工和邏輯處理，有機地結(jié)合在一起，構(gòu)成了中學(xué)的數(shù)學(xué)知識體系.在這種意義下，我們可以說中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際上是數(shù)學(xué)模型的教學(xué)，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)說到底實際上就是教給學(xué)生前人給我們構(gòu)建的一個個數(shù)學(xué)模型和怎樣構(gòu)建模型的思想方法，以使學(xué)生能運用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題和實際問題.在初中教育階段的總體要求是“滲透”.要求將數(shù)學(xué)模型思想寓于具體的概念、法則、現(xiàn)實問題的解決以及一般數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)和探索過程中，使學(xué)生在對數(shù)學(xué)規(guī)律與方法的探索、歸納和提煉過程中，領(lǐng)會數(shù)學(xué)模型的涵義，認(rèn)識數(shù)學(xué)模型的作用，感受數(shù)學(xué)模型思想，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，樹立數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識，初步獲得發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決簡單現(xiàn)實問題的能力.

三、設(shè)計經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的數(shù)學(xué)活動過程

數(shù)學(xué)教學(xué)過程的重點是創(chuàng)造一個環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，強調(diào)的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結(jié)果.發(fā)掘教材內(nèi)容潛在的模型思想，并在教學(xué)中潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生使用它，這是教師應(yīng)具備的能力.教師可以在新課引入、知識點講解、例題教學(xué)、解題訓(xùn)練、章末小結(jié)等這五個不同的教學(xué)環(huán)節(jié)中，通過不同的方式滲透模型思想.

1.新課引入：情景創(chuàng)設(shè)中預(yù)設(shè)模型啟發(fā)

美國數(shù)學(xué)家G.玻利亞指出：“引入問題，要活潑新鮮，有時可詼諧些或說些似是而非、自相矛盾的見解，讓學(xué)生去猜，因為一旦表示出某種猜想，就會主動追求猜想的正確與否，從而熱心起來.”簡而言之，就是設(shè)置懸念，引起學(xué)生的好奇，以培養(yǎng)學(xué)生從事數(shù)學(xué)建模的興趣.比如在教學(xué)指數(shù)時可設(shè)置以下問題情景：傳說西塔發(fā)明了國際象棋而使國王十分高興，他決定要重賞西塔，西塔說：“我不要你的重賞，陛下，只要你在我的棋盤上賞一些麥子就行了.在棋盤的第1個格子里放1粒，在第2個格子里放2粒，在第3個格子里放4粒，在第4個格子里放8粒，依此類推，以后每一個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到放滿第64個格子就行了”.當(dāng)64個格子放滿了，將會有多少粒米呢？學(xué)生會紛紛議論、猜想、估計，認(rèn)為這些米不會太多.最后教師指出：所需麥粒總數(shù)為：18446744073709551615，這些麥子究竟有多少？打個比方，如果造一個倉庫來放這些麥子，倉庫高4公尺，寬10公尺，那么倉庫的長度就等于地球到太陽的距離的兩倍.而要生產(chǎn)這么多的麥子，全世界要兩千年.結(jié)論一出，學(xué)生嘩然一片，教師又接著指出：在學(xué)習(xí)了指數(shù)計算后就可以很快算出結(jié)果.這時學(xué)生都流露出迫切希望教師教給他們的心情，由此引入“指數(shù)”這一數(shù)學(xué)模型，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

美國心理學(xué)家布魯納曾說：“學(xué)習(xí)的最好動力，是對學(xué)習(xí)材料的興趣.”有了興趣，就有了學(xué)習(xí)的積極性，只有學(xué)生感興趣的東西，他才會主動積極地開動腦筋，認(rèn)真思考并以最簡潔、最有效的方法獲得知識，興趣的形成是一個復(fù)雜的心理過程，但總體上是在充滿情趣、富有魅力的教學(xué)活動中逐漸培養(yǎng)起來的，并在強烈的動機中加以鞏固.因此在數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動中，教師要重視這方面的探索.精心設(shè)計教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.新知識講解：讓學(xué)生親歷模型的構(gòu)建

課程標(biāo)準(zhǔn)在課程目標(biāo)的闡述中，使用了“經(jīng)歷（感受）、體驗（體會）、探索”等刻畫數(shù)學(xué)活動水平過程性目標(biāo)的動詞.荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也反復(fù)強調(diào)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實行‘再創(chuàng)造’，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來.”因此，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的獲得過程，讓學(xué)生親歷知識的再創(chuàng)造過程，教學(xué)中要重視概念的抽象過程，公式的推導(dǎo)過程，法則的歸納過程，規(guī)律的概括過程，思路的分析過程等，不但要讓學(xué)生知其然，更要使學(xué)生知其所以然.讓學(xué)生在探索中完成模型的構(gòu)建.例如在講述三角形三邊關(guān)系時，我們可以按如下方式設(shè)計.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，初步感知.出示情境圖（如圖1）.

圖1

師：小明去上學(xué)，他從家到學(xué)校可以怎么走？哪條路最近？

生：走下面這條路最近.師：為什么？

生：走的路直.

師：從路線圖中可以看出，連接小明家、郵局、學(xué)校三地，圍成的是一個什么圖形？

生：三角形.

師：直走的路，走過的路程是三角形的一條邊，經(jīng)過郵局再到學(xué)校走過的路程是三角形的另外兩條邊的和.

師：猜想一下，是不是任意的三條線段都能圍成一個三角形呢？

生：不一定.

（2）動手操作，驗證猜想.

師：讓我們動手驗證一下吧！課件出示操作要求：每個小組都有4根小棒，長度分別為6厘米、10厘米、14厘米和20厘米.活動要求：（1）4個人每人拿一根小棒，記住自己的小棒有多長.

（2）輪流做記錄，其他3人合作用三根小棒來拼三角形.注意：三根小棒要首尾相連.課件出示操作要求后，老師沒有急于讓學(xué)生動手操作，而是引導(dǎo)學(xué)生說一說下面要操作的內(nèi)容、方法及要求，并找一小組為例說明分工要求、操作方法，然后才開始活動.學(xué)生有目的地合作拼擺、輪流記錄、觀察交流，老師巡視指導(dǎo)，記錄單如下：三根小棒的長度（單位：cm），寫出“能”或“不能”圍成三角形：6、10、20（不能），6、14、20（不能），10、14、20（能），6、10、14（能）.

師：三根小棒不能圍成三角形的原因是什么？三根小棒能圍成三角形的原因是什么？（提示：每兩根小棒的和與第三根小棒有什么關(guān)系？）

（3）全班交流，歸納總結(jié).

師：根據(jù)剛才的操作，哪三根小棒能圍成三角形？哪三根小棒不能圍成三角形？（學(xué)生匯報，師板書）

不能圍成三角形的小棒的長度（cm）

6、10、20

6、14、20

能圍成三角形的小棒的長度（cm）

6、10、14

10、14、20

師：為什么有兩組小棒不能圍成三角形？

（大多學(xué)生沉默，師進一步引導(dǎo)學(xué)生拼擺）

師：同學(xué)們再次把左邊兩組小棒擺一擺，觀察并思考為什么它們不能圍成三角形.

（學(xué)生又一次操作中……）

師：在拼三角形中，比一比這兩組小棒其中兩條的長度和第三條的關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？（有針對性的引導(dǎo)）

生1：因為其中兩根小棒太短了，接不住頭.

師：是嗎？你真會觀察.

生2：還有一組兩根小棒和第三根小棒相等，重合了.

師：你不但會觀察，還會想辦法比較，你真會學(xué)習(xí).

生3：兩根小棒的長度和小于或等于第三根小棒時都不能圍成三角形.

師：你說得真完整，老師很佩服你的總結(jié)能力.

為了讓學(xué)生真正理解，接著老師又用自制教具在黑板上動畫演示，學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、理解了其不能圍成的原因.根據(jù)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)板書：6+10＜20，6+14=20，不能圍成.

師：我們再來看能圍成三角形的這兩組數(shù)據(jù)，動手再擺一擺，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：兩邊之和都大于第三邊，所以就能圍成三角形.

師：你是個善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的學(xué)生，真會聯(lián)想.

（根據(jù)不能圍成的探究方法，學(xué)生自然遷移，水到渠成地發(fā)現(xiàn)能圍成的規(guī)律）

師：同時指著不能圍成三角形的一組板書又問學(xué)生：6+20＞10，為什么這三條線段卻不能圍成三角形呢？（強調(diào)“任意”）

師：誰能把你的發(fā)現(xiàn)完整地說說？

生：三角形任意兩條邊之和大于第三邊.

師板書結(jié)論：三角形任意兩條邊之和大于第三邊.

數(shù)學(xué)知識、思想和方法必須由學(xué)生在現(xiàn)實的數(shù)學(xué)活動中理解和發(fā)展，而不是單純地依賴教師的講解去獲得.各種能力也不是靠傳授形成的，而是在數(shù)學(xué)活動中，靠學(xué)生自己去“悟”、去“做”、去“經(jīng)歷”、去“體驗”.只有經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、發(fā)展和形成過程，其主動性、探索性才能得到真正的發(fā)揮，學(xué)生的觀察、猜測、實驗、推理、概括、分析和解決問題的能力才能得到提高，對知識的理解才能加深，同時，學(xué)生才能具有學(xué)習(xí)的后勁，才能得到全面可持續(xù)性發(fā)展.

數(shù)學(xué)活動是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想的重要途徑，教師要加強對學(xué)生活動方案、研究方式、方法的指導(dǎo).教師始終是活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者；學(xué)生通過交流合作，主動探究出解決實際問題的方式、方法.有效地改變教師的教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、合作精神、創(chuàng)新意識和實踐能力，全面提高學(xué)生的素質(zhì).在數(shù)學(xué)活動過程中，老師要加強學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的培養(yǎng).對學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的培養(yǎng)包括兩個方面的內(nèi)容.一是掌握數(shù)學(xué)語言，包括：①接受——看（聽）得懂，能識別、理解、解釋、弄清數(shù)學(xué)問題的語言表達，并能轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)思想，能用自己的語言復(fù)述、表達；②表達——寫（講）得出，能將自己解決數(shù)學(xué)問題的觀點、思想、方法、過程用恰當(dāng)?shù)恼Z言標(biāo)準(zhǔn)流暢地表達出來，并且在表達中名詞術(shù)語規(guī)范、準(zhǔn)確、合乎邏輯.二是幫助學(xué)生掌握好非數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)語言之間以及各種數(shù)學(xué)語言的互譯、轉(zhuǎn)化工作，加強對學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的培養(yǎng).

3.在例題教學(xué)中突出數(shù)學(xué)模型

傳統(tǒng)教學(xué)中，教學(xué)過程基本上由教師控制，教學(xué)設(shè)計只關(guān)注對傳授—接受過程的優(yōu)化，而很少關(guān)注改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生接受的只是一些數(shù)學(xué)結(jié)論，對數(shù)學(xué)問題是怎樣提出的，概念是如何在具體情景中形成的，結(jié)論是怎樣探索和猜測到的，證明的思路和計算的想法是怎樣得到的，結(jié)論的作用和意義是什么，很少關(guān)注.因而無法實現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由被動接受“結(jié)果”向主動積極構(gòu)建“過程”的轉(zhuǎn)化.一碰上實際問題，就茫然不知所措.為改變這一高耗低效的課堂，教學(xué)設(shè)計應(yīng)注重創(chuàng)造問題情景，開發(fā)教學(xué)媒體，提供學(xué)習(xí)資源，優(yōu)化學(xué)習(xí)環(huán)境.在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)策略上：一是變學(xué)生“倉庫式”學(xué)習(xí)為“蜂蜜式”學(xué)習(xí)，二是變學(xué)生由知識學(xué)習(xí)為體驗學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí).因此教學(xué)設(shè)計不僅要關(guān)注“基礎(chǔ)知識”傳授，更要關(guān)注如何向?qū)W生提供真實情境，模擬情境向?qū)W生展現(xiàn)“春天的原野”，讓學(xué)生體驗嘗試，發(fā)現(xiàn)探究，讓學(xué)生博采廣擷，自我“釀蜜”.例如：在勾股定理的教學(xué)中，我們可以設(shè)計這樣一道例題：為了豐富學(xué)生的業(yè)余文化生活，某社區(qū)要在如圖2所示的直線AB上建一圖書閱覽室，該社區(qū)有兩所學(xué)校，所在的位置在點C和點D處，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA=15km，DB=10km，則閱覽室E建在距A點多少千米處，才能使它到C、D兩所學(xué)校的距離相等？

圖2

師：同學(xué)們，誰愿意把這個題目讀一下.

生1：我來讀.

師：生1讀題時，請同學(xué)們注意題目中的“關(guān)鍵語句”是什么，這個關(guān)鍵語句可是我們解決本題的鑰匙哦！

生1讀完題目后，師提問：哪位同學(xué)知道這個題目的關(guān)鍵詞？

生2搶著說：閱覽室E所建的位置到C、D兩所學(xué)校的距離相等.

師笑著說：生2回答正確！

師接著追問：如何求CE和DE的長呢？

生3說：連接CE和DE，那么由已知CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，可得到兩個直角三角形ACE和BDE，這樣可利用勾股定理求得CE和DE.

師肯定生3的分析思路，再追問：CE和DE分別等于什么？

生4：可設(shè)AE的長為xkm，那么BE=AB-AE=（25-x）km，這樣可借助勾股定理，用含x的代數(shù)式來分別表示CE和DE的長.

師：生4說得很好.請同學(xué)們給予掌聲！

師：哪位同學(xué)上來把這題的解題過程寫一下.

（生5上來向同學(xué)們展示了他的求解過程）

解：如圖3，設(shè)閱覽室E到A點的距離為xkm，連接CE、DE.

圖3

在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2=AE2+AC2=x2+152，DE2=EB2+DB2=（25-x）2+102.

因為點E到點C、D的距離相等，即EC=ED，所以EC2= ED2，即x2+152=（25-x）2+102.

解得x＝10.

所以閱覽室建在距A點10km處.

通過師生互動，有利于學(xué)生主動地把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題——展示了方程模型的建立過程，學(xué)生從中感受到用數(shù)學(xué)的眼光審視客觀世界的樂趣.同時也顯示了數(shù)學(xué)模型的神奇！

例題教學(xué)是課堂教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，教師應(yīng)抓住有利時機，通過例題教學(xué)突出和強化數(shù)學(xué)模型思想對解題的指導(dǎo)作用.具體地講，數(shù)學(xué)建模方法的操作程序大致為：

圖4

由此，我們可以看到，運用數(shù)學(xué)建模解決實際問題，必須首先通過觀察、分析提煉出實際問題的數(shù)學(xué)模型，然后把數(shù)學(xué)模型納入某知識系統(tǒng)去處理，這不但要求學(xué)生有一定的抽象能力，而且要有相當(dāng)?shù)挠^察、分析、綜合、類比能力.學(xué)生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數(shù)學(xué)建模思想貫穿在教學(xué)的始終，也就是要不斷地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物的關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學(xué)信息，從紛繁復(fù)雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，進而達到用數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，使數(shù)學(xué)建模意識成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣.

4.解題訓(xùn)練中運用數(shù)學(xué)模型

我們在平時的解題教學(xué)中，要善于將一個數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為另一個數(shù)學(xué)模型，以求得問題的巧解.有些題目本身又孕育著不同的數(shù)學(xué)模型，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.首先，教師在布置練習(xí)時，要明確所布置的題目要蘊含數(shù)學(xué)模型，以此來強化學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型解題的意識.其次，加強數(shù)學(xué)模型訓(xùn)練的科學(xué)性和針對性，力爭達到“舉一反三”、觸類旁通的效果.善于設(shè)置一題多變，一圖多用，幫助學(xué)生不斷提煉數(shù)學(xué)模型，歸納方法，從而達到拓展學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型解題的自覺性和主動性.由于有的數(shù)學(xué)問題包含著多種可能的情形，不能一概而論，于是，這些問題的解決就需要按照可能出現(xiàn)的所有情況分別給予討論，做到既不重復(fù)又不遺漏地得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，進而達到全面解決整個問題的目的，這種思考問題的方法就是分類討論.如已知一直角三角形的兩邊，或?qū)τ跓o圖形的應(yīng)用問題，常采用分類討論的數(shù)學(xué)思想來解決，防止漏解.

例如：已知直角三角形兩邊長分別為5和12，那么第三邊的長是__________.

由于本題中未指明哪條邊是斜邊，因此12可以是斜邊，也可以是直角邊，因此要進行分類討論.

（1）若5和12是直角邊，那么第三邊的平方為：52+ 122=169，所以第三邊的長為13；（2）若12是斜邊，那么第三邊的平方為：122-52=119，所以第三邊的長以第三邊的長是

通過問題的引導(dǎo)讓學(xué)生嘗試探索新知識.為此，教師要善于設(shè)計蘊含數(shù)學(xué)模型思想的問題背景材料，激勵學(xué)生對將要學(xué)習(xí)的新知產(chǎn)生欲望.在閱讀題目過程中，學(xué)生如果沒有良好的閱讀能力，是不會發(fā)現(xiàn)問題的答案的，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力，使學(xué)生逐步學(xué)會數(shù)學(xué)地閱讀材料、了解材料.通過數(shù)學(xué)閱讀，能促進學(xué)生語言水平的發(fā)展以及認(rèn)知水平的發(fā)展，有助于學(xué)生探究能力和自學(xué)能力的培養(yǎng)；通過數(shù)學(xué)閱讀，有助于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué).前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾指出“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”，因此，從語言學(xué)習(xí)的角度講，數(shù)學(xué)教學(xué)也必須重視數(shù)學(xué)閱讀，作為數(shù)學(xué)教師，不僅要重視培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力.還要注重教給學(xué)生科學(xué)有效的閱讀方法，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)閱讀的重要性，使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)閱讀的樂趣及對學(xué)習(xí)的益處，從而在興趣和利益的驅(qū)動下自覺主動地進行數(shù)學(xué)閱讀.

5.在總結(jié)知識的同時總結(jié)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)知識本身具有習(xí)題性，數(shù)學(xué)模型也具有系統(tǒng)性.教師在教學(xué)中不但要引導(dǎo)學(xué)生對知識進行整理，同時也要引導(dǎo)學(xué)生對教材（包括例題、習(xí)題）深入挖掘，提煉總結(jié)其思想實質(zhì)，揭示歸納方法，以便發(fā)揮數(shù)學(xué)模型思想的整體功效.教師一方面在平時的教學(xué)中要求學(xué)生養(yǎng)成總結(jié)整理常用的數(shù)學(xué)模型的習(xí)慣，另一方面在學(xué)完某一章后都及時地歸納、總結(jié)本章中所涉及的數(shù)學(xué)模型.

若按初中數(shù)學(xué)體系分，有依據(jù)相等關(guān)系抽象成的方程模型，以解決利息和稅率、百分率、工程及勞力調(diào)配等問題；有依據(jù)平面幾何性質(zhì)抽象成的幾何模型，以解決零件加工、殘輪修復(fù)、工程選點、道路設(shè)計及飛輪、皮帶、拱橋等計算的問題；對測高量距、航海、機翼、渠壩坡比、燕尾槽、屋架的計算等應(yīng)用問題，可建立三角模型予以解決；還可建立直角坐標(biāo)系模型，以解決投物、射擊、噴灌等物體運動的軌跡有某種規(guī)律，或者變量的變化具有某種函數(shù)關(guān)系的實際問題；在市場經(jīng)濟大潮中，人們更加注重對普遍存在的諸如造價最低，產(chǎn)出、利潤最大，風(fēng)險決策、股市、期貨、開源節(jié)流、扭虧增盈、最優(yōu)化等問題的研究，可透過實際問題的背景，抓住本質(zhì)，挖掘隱含的數(shù)量關(guān)系，抽象成函數(shù)的（區(qū)間）極值（目標(biāo)）模型等.以人教版八年級下冊的一次函數(shù)復(fù)習(xí)為例，可把函數(shù)進行如下的整理.

（1）根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式（即函數(shù)模型），然后由待定系數(shù)法求得函數(shù)關(guān)系式.

（2）在求某些量的最優(yōu)化方面應(yīng)用很廣.如教材P103問題2的最節(jié)省費用問題的租車方案設(shè)計，P109第15題的調(diào)運總費用最少等，遇到這類問題，解決的關(guān)鍵在于提取題目中的數(shù)量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造一次函數(shù)模型加以解決.

（3）建立某些物理問題的數(shù)學(xué)模型.如教材P99習(xí)題第3題有關(guān)彈簧伸長與所掛重物質(zhì)量之間的數(shù)量關(guān)系；教材P108復(fù)習(xí)題第8題容器注水過程中，水面高度隨時間的變化規(guī)律等題目，這是編者精心安排的學(xué)科知識之間的滲透，必要時教師要分析有關(guān)的知識背景.

再如，在對第二十章“數(shù)據(jù)的分析”進行總結(jié)時，教師可以展示本章知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖：

圖5

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，在它產(chǎn)生和發(fā)展的歷史長河中，一直是和各種各樣的應(yīng)用問題緊密相關(guān)的.數(shù)學(xué)的特點不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性、結(jié)論的明確性和體系的完整性，而且在于它應(yīng)用的廣泛性，數(shù)學(xué)建模通過“從實際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，求解數(shù)學(xué)模型，回到現(xiàn)實中進行檢驗，必要時修改模型使之更切合實際”這一過程，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用實踐能力.所以說，數(shù)學(xué)建模是改善學(xué)生學(xué)習(xí)方式的突破口，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)解決問題和數(shù)學(xué)思維過程最好的載體之一.

四、幾點思考

1.選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，滲透數(shù)學(xué)建模思想

（1）從生活中的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，強化應(yīng)用意識.日常生活是應(yīng)用問題的源泉之一.現(xiàn)實生活中有許多問題可通過建立數(shù)學(xué)教學(xué)模型加以解決，如合理負(fù)擔(dān)出租車資、家庭日用電量的計算、紅綠燈管制的設(shè)計、登樓方案、住房問題、投擲問題等，都可用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識建立初等數(shù)學(xué)模型，加以解決.學(xué)生很喜歡解決這樣的實際問題，只要結(jié)合數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，適時引導(dǎo)學(xué)生考慮生活中的數(shù)學(xué)，就會加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，增強其應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，獲得必要的應(yīng)用技能.

（2）從社會熱點問題出發(fā)，介紹建模方法.如國家大事、社會熱點、市場經(jīng)濟等，是初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的好素材，適當(dāng)?shù)剡x取，融入教學(xué)活動中，使學(xué)生掌握相關(guān)類型的建模方法，不但可以使學(xué)生樹立正確的商品經(jīng)濟觀念，而且還為日后能主動以數(shù)學(xué)的意識、方法、手段處理問題提供了條件.

2.以活動為手段，培養(yǎng)建模能力

利用課外活動時間開展綜合實踐活動課，把它作為建模教學(xué)不可分割的部分.為了改變過去以教師為中心、以課堂講授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模課程指導(dǎo)思想是：以實驗室為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來組織教學(xué)工作.通過教學(xué)，使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)理論和方法去解決實際問題的全過程，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，使他們在以后的工作中能經(jīng)常性地想到用數(shù)學(xué)去解決問題.

總而言之，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決各類實際問題時，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是十分困難的一步.建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程.要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題.數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實際問題的橋梁，數(shù)學(xué)建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活的特點，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的本身是一個不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程.

3.挖掘教材，創(chuàng)設(shè)建模氛圍

教材是教與學(xué)的依據(jù)，也是教學(xué)問題的題源.教材中的例題、習(xí)題是經(jīng)過反復(fù)篩選精編而成的，看似尋常，實則內(nèi)涵豐富，有不尋常的價值和應(yīng)用功能.教師要充分發(fā)揮、挖掘教材中例、習(xí)題的作用，在教與學(xué)中創(chuàng)造性地設(shè)置教學(xué)情景，并適時地“深挖洞”或“廣積糧”，形成以問題為中心展開教學(xué)，使學(xué)生真正理解掌握知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展過程.對例題、習(xí)題的教學(xué)中，采取一題多解（多角度、多方位、多層次）的形式，容易的題精講，舊題新講，小題大講（深入挖掘、一題多變、一題多解、一題多用）.教師要創(chuàng)造性地使用好教材中的例題、習(xí)題，在布置練習(xí)時要減少一些“死”的書面作業(yè)，增加一些“活”的實踐性、開放性、探究性作業(yè).對教材中的概念、公式、法則、定理不僅要求熟記，而且要弄清背景和來源，以及與其他知識的聯(lián)系，注重教材中概念、公式、法則、定理的提出以及知識的形成和發(fā)展過程，解題思路的探索過程，解題規(guī)律和方法的概括過程，為學(xué)生創(chuàng)建解決實際問題的基石，搭建登高望遠(yuǎn)的平臺.

培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，關(guān)鍵是要培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，即把實際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題的能力，而提高這一能力，需要教師平時對學(xué)生進行長時間的啟發(fā)、引導(dǎo)、點撥，不斷地探究、反思，經(jīng)歷思維碰撞、糾錯磨練.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.林群.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué)八年級下冊［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2009.

4.林軍，陳翰林.數(shù)學(xué)建模教程［M］.北京：科學(xué)出版社，2011.

5.沈文選，楊清桃.數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008.