3-RPC型并聯(lián)機(jī)器人模糊滑模軌跡跟蹤控制研究

劉運(yùn)鴻，安梓銘，李雅瓊，朱大昌

(江西玖發(fā)新能源汽車有限公司，江西贛州341000)

0 前言

并聯(lián)機(jī)器人在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，也發(fā)揮重要作用，如在武器系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)上等，但并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)系統(tǒng)復(fù)雜，有非線性、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，導(dǎo)致要對(duì)其進(jìn)行控制就更困難，而且控制精度也不高，這給生產(chǎn)應(yīng)用帶來了很多不便［1－2］。人們對(duì)并聯(lián)機(jī)器人控制的研究時(shí)間并不長，不透徹。為讓其在工業(yè)化發(fā)展中發(fā)揮重要作用，必須加強(qiáng)對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的控制策略的研究［3－4］?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制在并聯(lián)機(jī)器人中比較廣泛，在并聯(lián)機(jī)器人中很難有精確的數(shù)學(xué)模型，而滑模變結(jié)構(gòu)可以不需要精確的數(shù)學(xué)模型，只要參數(shù)的變化幅值，加上滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)外界的干擾不那么敏感，并且滑模變結(jié)構(gòu)控制不必要做專門解耦來解決內(nèi)部耦合，其本身的設(shè)計(jì)過程就可以解耦。這樣通過滑模變結(jié)構(gòu)控制就可以很好地對(duì)并聯(lián)機(jī)器人實(shí)現(xiàn)控制［5－6］。變結(jié)構(gòu)與其他控制方式相結(jié)合控制效果會(huì)更佳［7－8］。

滑模變結(jié)構(gòu)控制與傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)相比，控制簡單，對(duì)數(shù)學(xué)模型的精確性要求不高，對(duì)外部干擾和參數(shù)變化有好的魯棒性和完全的自適應(yīng)性，并有降階、解耦、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)［9－10］。機(jī)器人是典型的非線性系統(tǒng)，存在各種不可預(yù)見的外部干擾，滑模變結(jié)構(gòu)控制能比較有效地應(yīng)用于機(jī)器人控制中［11－12］。

本文作者設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器，在Matlab 仿真軟件進(jìn)行仿真，得出仿真結(jié)果，通過結(jié)果分析可以證明模糊滑模變結(jié)構(gòu)的控制精度更高，能更有效削弱抖振現(xiàn)象。

1 并聯(lián)機(jī)器人軌跡規(guī)劃

1.1 并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

3-RPC 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)如圖1 所示，其上(動(dòng))平臺(tái)、下 (定)平臺(tái)都為三角形，動(dòng)，定平臺(tái)由3 個(gè)支鏈連接構(gòu)成，3 條支鏈的結(jié)構(gòu)相同，即都為RPC 支鏈。每條支鏈中圓柱副軸線平行于定平臺(tái)的一條邊，轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線平行于圓柱副軸線，且移動(dòng)副軸線垂直相交于圓柱副和轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線。3 條支鏈繞Z 軸呈120°對(duì)稱分布。

圖1 3-RPC 并聯(lián)機(jī)構(gòu)

如圖1 可知，定平臺(tái)各點(diǎn)的坐標(biāo)為:

動(dòng)平臺(tái)各點(diǎn)坐標(biāo)為:

由螺旋理論可得3-RPC 并聯(lián)機(jī)構(gòu)只做三維平動(dòng)，所以該機(jī)構(gòu)的歐拉角都為零，即α=β=λ=0;可知，R 的旋轉(zhuǎn)矩陣為:

由機(jī)構(gòu)的幾何矢量關(guān)系，每組平行桿的矢量式可以表示為由并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何矢量關(guān)系，如圖2 所示，每組平行桿的矢量式li可以表示為:

其中:ci是動(dòng)平臺(tái)上中點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的矢量，Ci在靜坐標(biāo)系中的矢量，P 為動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的矢量，R 為動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)的方向余弦矩陣。由上式可得:

圖2 機(jī)構(gòu)的幾何矢量關(guān)系

1.2 軌跡規(guī)劃

機(jī)器人要完成規(guī)定的動(dòng)作，則要對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的軌跡規(guī)劃。而并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜，工作空間表達(dá)相對(duì)困難，并有不確定性，所以對(duì)軌跡規(guī)劃增加了很大的難度。因此，利用并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)反解相對(duì)簡單的特點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行軌跡規(guī)劃相對(duì)簡單。所以采用運(yùn)動(dòng)反解做驅(qū)動(dòng)位移軌跡跟蹤。

2 滑?？刂坡傻脑O(shè)計(jì)

設(shè)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)方程為

其中:q∈Rn為轉(zhuǎn)動(dòng)角度向量，M(q)為n ×n 維正定慣性矩陣，Vm(q)為n ×n 維向心哥氏力矩，G(q)為n×1 維慣性矩陣，τ∈Rn為各個(gè)支鏈的轉(zhuǎn)矩向量，即控制輸入。

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有如下動(dòng)力學(xué)特性:

(1)慣性矩陣M(q)是對(duì)稱正定陣且有界;

(2)M(q)－2C(q，q·)是一個(gè)斜對(duì)稱矩陣，即對(duì)任意向量x，有:

(3)重力項(xiàng)滿足G(q)≤gb，gb為q 的函數(shù)。

2.1 傳統(tǒng)滑模控制設(shè)計(jì)

定義跟蹤誤差為:

定義誤差函數(shù)為:

其中:λ=diag ［λ1，…，λi，…，λn］，λi＞0。

定義

設(shè)計(jì)控制律為:

將式(6)代入式(1)得:

假設(shè)

2.2 模糊自適應(yīng)控制律設(shè)計(jì)

采用模糊系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)任意連續(xù)函數(shù)的精確逼近。因此，可以用模糊系統(tǒng)自適應(yīng)逼近控制的增益對(duì)其進(jìn)行控制研究。運(yùn)用乘積推理機(jī)，單值模糊器和中心平均解模糊器來設(shè)計(jì)模糊系統(tǒng)，用于表示模糊集的隸屬函數(shù)設(shè)計(jì)為:

模糊系統(tǒng)的輸出為:

其中

M 為模糊規(guī)則數(shù)量。

對(duì)模糊增益調(diào)整的控制律設(shè)計(jì)為

其中K= ［k1，…，ki，…，kn］，ki為第i 個(gè)模糊系統(tǒng)的輸出。

將式(11)代入到式(1)得:

自適應(yīng)律取為:

3 3-RPC 并聯(lián)機(jī)器人數(shù)學(xué)模型

3-RPC 并聯(lián)機(jī)器人三支路通道具有相似性，選擇一條支路作為研究對(duì)象。單條支路的數(shù)學(xué)模型:

式中:J =L(Ja+Jm+i2J0)，B =R(Ja+Jm+i2J0)+L(Bm+i2B0)，W = R(Bm+ i2B0)+ KcKb。Kc是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)，J0是可以通過試驗(yàn)或機(jī)構(gòu)分析確定的標(biāo)稱負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;B0是可以通過試驗(yàn)或機(jī)構(gòu)分析確定的標(biāo)稱負(fù)載阻力系數(shù);Ja是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Jm是減速裝置驅(qū)動(dòng)邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;i 是減速裝置的速比;Bm是驅(qū)動(dòng)側(cè)的阻力系數(shù);Kb是電機(jī)的反電勢(shì)常數(shù);L 是電樞的電感;R 是電樞的電阻。

4 系統(tǒng)仿真模型及結(jié)果

直流伺服電機(jī)以及伺服驅(qū)動(dòng)器參相關(guān)參數(shù):額定轉(zhuǎn)矩為0.25 N·m，空載轉(zhuǎn)速4 300 r/min，Kc=0.074 N·M/A，R =1.11 Ω，L =1.1 mH，Ja=3.11×10－5kg·m2，ⅠN=2.95 A，Kb=0.1 V (rad/s)，Jm=0.002 7 kg·m2，Bm=0.003 7，i =40。將這些參數(shù)代入式(15)得

根據(jù)3-RPC 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)要求，設(shè)計(jì)出模糊自適應(yīng)增益滑?？刂疲鐖D3 中有3 個(gè)S-Function 函數(shù)，第一個(gè)S-Function 函數(shù)是該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的期望軌跡，其函數(shù)為3-RPC 型并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解函數(shù)。第二個(gè)S-Function 函數(shù)為所設(shè)計(jì)的控制器，即模糊自適應(yīng)增益滑模變結(jié)構(gòu)控制器。第三個(gè)S-Function 函數(shù)為控制支路的數(shù)學(xué)模型。文中采用ode45，取系統(tǒng)仿真步長0.001 s。應(yīng)用計(jì)算機(jī)通過對(duì)并聯(lián)機(jī)器人模糊自適應(yīng)增益滑模變結(jié)構(gòu)控制仿真，可到得傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制軌跡跟蹤圖，如圖4，5 所示。

圖3 系統(tǒng)仿真模型

圖4 傳統(tǒng)滑模控制的的軌跡跟蹤

圖5 模糊自適應(yīng)增益滑?？刂频能壽E跟蹤

從圖4 分析可知道，傳統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制在軌跡跟蹤中有較高精度的軌跡跟蹤。系統(tǒng)響應(yīng)速度也比較快，在剛開始運(yùn)行時(shí)控制系統(tǒng)就能立刻跟蹤反應(yīng)，控制運(yùn)行相對(duì)平穩(wěn)，當(dāng)運(yùn)行大約0. 6s時(shí)就能達(dá)到理想的跟蹤效果。從圖5 分析可知道，模糊自適應(yīng)增益滑?？刂栖壽E跟蹤中有更高精度的軌跡跟蹤，系統(tǒng)響應(yīng)速度也很快，在剛開始運(yùn)行時(shí)控制系統(tǒng)就能立刻跟蹤反應(yīng)，控制運(yùn)行相對(duì)平穩(wěn)，當(dāng)運(yùn)行大約0.4 s 時(shí)能與期望軌跡相重合，說明達(dá)到了理想的跟蹤效果。由上述仿真結(jié)果表明模糊自適應(yīng)增益滑?？刂埔獌?yōu)于傳統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制，同時(shí)響應(yīng)速度也更快，響應(yīng)時(shí)間也更短。且都能達(dá)到對(duì)3-RPC 并聯(lián)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制要求。

5 結(jié)束語

應(yīng)用計(jì)算機(jī)Matlab 軟件建模，對(duì)3-RPC 型并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行控制仿真分析。其仿真結(jié)果表明:傳統(tǒng)滑模控制的跟蹤精度不高，響應(yīng)時(shí)間相對(duì)長，并在控制過程中出現(xiàn)抖振現(xiàn)象;通過比對(duì)分析可得出增益模糊控制可以明顯消弱控制系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，響應(yīng)時(shí)間明顯更快。

［1］常興，劉安心，房立豐，等．一種三維移動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)分析［J］．機(jī)械傳動(dòng)，2012，36(6):25－28．

［2］莫賢．基于螺旋理論的3_PRS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及仿真［D］．揚(yáng)州:揚(yáng)州大學(xué)．2009．

［3］劉奇帥，楊熙，杜翠國，等．利用遺傳算法優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解［J］．煤礦機(jī)械，2013，34(2):11－12．

［4］宗朝．不確定二自由度冗余并聯(lián)機(jī)器人控制方法研究［D］．南京:南京理工大學(xué)，2013．

［5］劉延斌，韓秀英，趙新華．3-RRRT 并聯(lián)機(jī)器人解耦控制［J］．哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，41(12):247－249．

［6］朱彩紅．2-DOF 并聯(lián)機(jī)器人控制研究［D］．鎮(zhèn)江:江蘇大學(xué)，2007．

［7］KIM S M，HAN W Y，KINM SJ．Design if a New Adaptive Sliding Mode Observer for Sensorless Induction Motor Drive［J］．Electric Power Systems Research，2004，70:16－22．

［8］高國琴，丁琴琴，王威．RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模變結(jié)構(gòu)控制在并聯(lián)機(jī)器人中的應(yīng)用［J］．工業(yè)儀表與自動(dòng)化裝置，2012，42(2):35－39．

［9］叢爽，王楊，尚偉偉．自適應(yīng)控制策略在并聯(lián)機(jī)構(gòu)上的應(yīng)用［J］．制造業(yè)自動(dòng)化，2007，29(7):45－49．

［10］MUNOZ D，SBARBARO D．An Adaptive Sliding-mode Controller for Discrete Nonlinear Systems［J］．IEEE Transactions on Industrial Electronics，2000，47(3):574－581．

［11］董超君，高國琴，寧珍珍．并聯(lián)機(jī)器人的智能模糊滑?？刂扑惴ǎ跩］．機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2008，7(7):150－152．

［12］劉金琨．機(jī)器人控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與MATLAB 仿真［M］．北京:清華大學(xué)出版社，2008．