五冗余捷聯(lián)慣組最優(yōu)配置設(shè)計(jì)①

武唯強(qiáng)，陳 康，閆 杰

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072)

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五冗余捷聯(lián)慣組最優(yōu)配置設(shè)計(jì)①

武唯強(qiáng)，陳 康，閆 杰

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072)

導(dǎo)航制導(dǎo)系統(tǒng)的高可靠性直接決定了固體運(yùn)載火箭飛行任務(wù)完成的質(zhì)量，而慣組冗余技術(shù)是目前提高系統(tǒng)可靠性的主要方式之一。文章以固體運(yùn)載火箭導(dǎo)航系統(tǒng)中一種三正交兩斜置的五冗余捷聯(lián)慣組配置方式為對(duì)象，以導(dǎo)航性能指標(biāo)最優(yōu)為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)造了最優(yōu)配置下的非線性矛盾方程組，采用最小二乘法求解得到最佳逼近解，得到五冗余捷聯(lián)慣組的最優(yōu)配置，并通過(guò)仿真進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，三正交兩斜置的五冗余捷聯(lián)慣組最優(yōu)配置共有24組解，其全部解的導(dǎo)航性能指標(biāo)均為1.424 3；當(dāng)某個(gè)正交軸出現(xiàn)故障時(shí)，能夠從斜置軸信息中重構(gòu)出正交軸信息，以保證導(dǎo)航信息的準(zhǔn)確性和精度，且導(dǎo)航誤差在5倍陀螺器件自身誤差當(dāng)量之內(nèi)。

冗余系統(tǒng)；捷聯(lián)慣組；優(yōu)化；配置

0 引言

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)是利用陀螺儀和加速度計(jì)等慣性敏感元件在飛行器等載體內(nèi)部測(cè)量載體相對(duì)慣性空間的位置、速度和姿態(tài)的自主式導(dǎo)航系統(tǒng)，在固體火箭及其他飛行器中有著廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)航系統(tǒng)的高可靠性直接決定了飛行器飛行任務(wù)完成的質(zhì)量，而冗余技術(shù)就是提高導(dǎo)航系統(tǒng)可靠性的最有效辦法之一[1]。冗余技術(shù)按照工作方式可分為系統(tǒng)冗余與單元級(jí)冗余，由于單表冗余局部冗余可靠性提高明顯，目前在慣導(dǎo)系統(tǒng)中的應(yīng)用也最為廣泛[2]。典型的冗余安裝結(jié)構(gòu)包括：(1)三三結(jié)構(gòu)，由3個(gè)相同的非冗余正交配置的 IMU 子系統(tǒng)并行構(gòu)成的冗余配置結(jié)構(gòu)[3]；(2)二自由度陀螺斜置配置，陀螺的自轉(zhuǎn)軸分別垂直其4個(gè)側(cè)面，相應(yīng)的2個(gè)測(cè)量軸分布在側(cè)面里，并沿側(cè)面角平分線軸對(duì)稱，這種結(jié)構(gòu)保證了在相同數(shù)目二自由度陀螺構(gòu)成的元件冗余系統(tǒng)中能達(dá)到最大的可靠度[3]；(3)圓錐體結(jié)構(gòu),當(dāng)傳感器的數(shù)目大于或等于4個(gè)時(shí)(通常是5個(gè)或6個(gè))，將傳感器按其測(cè)量軸沿圓錐母線均勻安裝在一個(gè)固定圓錐角的圓錐面上[4]；(4)六傳感器正十二面體結(jié)構(gòu)，將6個(gè)傳感器的測(cè)量軸與正十二面體的平行面互相垂直[4]。對(duì)于不同的冗余配置結(jié)構(gòu)，主要需要研究捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)合理的冗余配置方法，分析不同配置情況下對(duì)系統(tǒng)導(dǎo)航性能精度的影響，保證系統(tǒng)在無(wú)故障和故障情況下都可穩(wěn)定可靠的工作[5]。

本文主要針對(duì)一種應(yīng)用在固體火箭系統(tǒng)中的三正交兩斜置的冗余慣組系統(tǒng)進(jìn)行研究，通過(guò)分析該類冗余系統(tǒng)在無(wú)故障模式和故障模式下的導(dǎo)航性能指標(biāo)，推導(dǎo)出導(dǎo)航精度最高的最優(yōu)配置方案，并通過(guò)仿真進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 五冗余捷聯(lián)慣組配置方案

捷聯(lián)慣性測(cè)量組合(捷聯(lián)慣組)是固體運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)的重要箭上設(shè)備之一。通過(guò)合理的對(duì)慣性器件進(jìn)行配置，箭載計(jì)算機(jī)采集慣組陀螺儀和加速度計(jì)輸出，經(jīng)過(guò)慣組冗余提供箭體坐標(biāo)系的角速度和角加速度信息，進(jìn)行姿態(tài)角、導(dǎo)航、制導(dǎo)計(jì)算。本文所研究的五冗余捷聯(lián)慣組配置形式采用三正交軸及兩斜置軸(各軸均配置1個(gè)陀螺儀和加速度計(jì))的配置結(jié)構(gòu)，具體安裝方案如圖1所示。

圖1 三正交兩斜置的配置方案Fig.1 Configuration model of the two orthogonaloblique solids

圖1中g(shù)1、g2、g3、g4、g5為各軸安裝的陀螺儀，a1、a2、a3、a4、a5為加速度計(jì)。其中，g1、g2、g3以及a1、a2、a3分別沿X、Y、Z三正交軸正向放置，g4、g5以及a4、a5沿任意方向的2個(gè)斜置軸放置。慣組坐標(biāo)指向?yàn)閄向前，Y向上，Z與X、Y遵從右手定則。圖1中，各參數(shù)的定義如下：L、K分別為任意斜置放置的測(cè)量組件在XOZ平面上的投影線；α1、α2分別為從Y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至第四、五測(cè)量組件所在斜置軸的角度；β1、β2分別為從Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至L、K的角度。

此時(shí)的配置矩陣為

(1)

2 最優(yōu)配置結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

在冗余配置的捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，慣組系統(tǒng)的輸出方程為[6]

Z=Hω+ε

(2)

式中Z∈R3為待測(cè)量的導(dǎo)航信息；ω∈Rn為n個(gè)慣性器件的測(cè)量值(n≥3)；H為慣導(dǎo)系統(tǒng)的測(cè)量矩陣；ε為零均值的高斯白噪聲。

對(duì)于本文所研究的三正交兩斜置五冗余捷聯(lián)慣組系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行最優(yōu)配置的目標(biāo)是保證慣組系統(tǒng)在正?；蚬收锨闆r下，均能保證導(dǎo)航精度最優(yōu)。

2.1 無(wú)故障情況下導(dǎo)航性能指標(biāo)分析

在對(duì)冗余配置進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，可從3種導(dǎo)航性能指標(biāo)進(jìn)行分析。

假設(shè)量測(cè)噪聲ε=(e1，e2，…，em)T，噪聲中各分量是相互獨(dú)立的隨機(jī)常數(shù)，該種情況下，其導(dǎo)航性能指標(biāo)為

(3)

其中

M=(HTH)-1HT

為測(cè)量噪聲對(duì)3個(gè)坐標(biāo)軸方向的影響程度。在此基礎(chǔ)上，推廣到含有加權(quán)因子的性能指標(biāo)：

(4)

假設(shè)V是均值為零、方差為σ2的隨機(jī)矢量，則性能指標(biāo)為

(5)

式中ai為加權(quán)因子；G-1=HTH；G(i，i)是G的第i個(gè)對(duì)角線元素。

在慣性器件的測(cè)量精度一定的情況下，測(cè)量誤差對(duì)正交軸的影響直接取決于(HTH)-1的大小。常用的是假設(shè)V是均值為零的高斯隨機(jī)向量，可定義如下的性能指標(biāo)：

(6)

當(dāng)不考慮加權(quán)因子時(shí)，以上3種性能指標(biāo)的優(yōu)化條件是一致的[7]。如果冗余慣組的安裝矩陣H能夠使Fp的值最小，則由噪聲所產(chǎn)生的導(dǎo)航誤差最小，即慣組系統(tǒng)可獲得最佳的導(dǎo)航性能。

2.2 故障情況下導(dǎo)航性能指標(biāo)分析

由2.1節(jié)分析可知，配置方案的3種性能優(yōu)化指標(biāo)具有一致性，為統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，在本節(jié)中全部采用性能指標(biāo)Fp1進(jìn)行分析。

對(duì)于本文所研究的五冗余捷聯(lián)慣組測(cè)量組件，在各軸器件均正常工作的情況下，性能指標(biāo)函數(shù)為

當(dāng)系統(tǒng)中的1組測(cè)量組件出現(xiàn)故障時(shí)，該指標(biāo)函數(shù)不適用，需要進(jìn)行改進(jìn)。故當(dāng)1組測(cè)量組件出現(xiàn)故障時(shí)，性能指標(biāo)為

(7)

其中

最優(yōu)配置結(jié)構(gòu)不但要保證測(cè)量組件全部正常工作時(shí)的測(cè)量噪聲對(duì)正交軸的誤差影響最小，而且在出現(xiàn)故障的情況下，相應(yīng)的性能指標(biāo)也能達(dá)到最小。根據(jù)性能指標(biāo)Fp1，只要指標(biāo)函數(shù)式(7)達(dá)到最小，則此時(shí)的配置結(jié)構(gòu)即為最優(yōu)。

2.3 導(dǎo)航性能最優(yōu)充要條件

由式(2)可知，H的每行分別是m個(gè)測(cè)量軸的方向余弦，則

tr(G-1)=tr(HTH)=m

(8)

記λ1、λ2、λ3分別是矩陣G-1的特征值，由于G-1是對(duì)稱陣，因此存在正交矩陣P，使得：

PG-1PT=diag(λ1，λ2，λ3)

(9)

tr(G-1)=λ1+λ2+λ3=m

(10)

由式(9)可知：

(11)

因此，在優(yōu)化條件(10)下，可得到Fp1最優(yōu)時(shí)，對(duì)特征值的要求為

λi=m/3，i=1，2，3

(12)

此時(shí)，導(dǎo)航性能指標(biāo)Fp1的值最?。?/p>

(13)

由上式可知，導(dǎo)航性能指標(biāo)最優(yōu)的充要條件為安裝矩陣H滿足：

G-1=(m/3)I

(14)

即H各列的模都是m/3，各列之間相互正交。

當(dāng)λ1=λ2=λ3=n/3時(shí)，該不等式的等號(hào)成立，此時(shí)的導(dǎo)航性能指標(biāo)J取極小值。因此，此時(shí)的安裝矩陣H是導(dǎo)航性能指標(biāo)最優(yōu)的測(cè)量矩陣。

必要性證明：如果安裝矩陣H的配置使導(dǎo)航性能最優(yōu)，這意味著導(dǎo)航性能指標(biāo)J最小。

已知：

且

trace(HHT)=λ1+λ2+λ3

則可得

λ1=λ2=λ3=n/3

(15)

(16)

可得：

(17)

2.4 最優(yōu)配置解算

由以上對(duì)導(dǎo)航性能最優(yōu)條件下最優(yōu)配置的充分必要條件可知，對(duì)于本文所研究的三正交兩斜置五表冗余系統(tǒng)，要達(dá)到最優(yōu)配置，配置矩陣需滿足以下關(guān)系：

(18)

此時(shí)得方程組：

(19)

該方程組為一矛盾方程組，將方程組(9)線性化為

A=sin2α1sin2β1

B=sin2α2sin2β2

C=cos2α1

D=cos2α2

E=sinα1cosα1sinβ1

F=sinα2cosα2sinβ2

G=sin2α1sinβ1cosβ1

H=sin2α2sinβ2cosβ2

M=sinα1cosα1cosβ1

N=sinα2cosα2cosβ2

則原方程組可化簡(jiǎn)為矩陣的形式：

aX=b

(20)

其中

分塊矩陣：

a12=O3×4，a21=O2×6

這里，因?yàn)閞ank(a)=5，因此線性方程組aX=b是不相容的，傳統(tǒng)的最小二乘法不能使用，這里采用改進(jìn)方法求取不相容線性方程組的最佳逼近解[6]。

設(shè)V是歐氏空間，又x，y∈V，則x-y的長(zhǎng)度|x-y|稱為向量x與y的距離。

定義：設(shè)線性方程組AX=b(A=(aij)m×n，m>n，b=(b1，…，bm)T，x=(x1，x2，…，xn)T，xi∈R是不相容的，則滿足AT(AX-b)=0…*的X稱為AX=b的一個(gè)近似解[6]。

定理1[7]：凡滿足(*)式的X必是不相容線性方程組AX=b的一個(gè)最佳逼近解。

定理2[7]：不相容方程AX=b必有唯一LNLS解，X=A+b(A+是A的M-P廣義逆)。

求解線性方程組(10)可為

(21)

由于α1∈[0，π]，α2∈[0，π]，β1∈[-π，π]，β2∈[-π，π]，故方程組(21)的解為

α1=54.734 7°或α1=125.264 4°

α2=54.734 7°或α2=125.264 4°

β1=±45°或β1=±135°

β2=±45°或β2=±135°

將以上計(jì)算結(jié)果再次代入到方程組(19)中，那么會(huì)有24組配置結(jié)構(gòu)，各配置結(jié)構(gòu)下的導(dǎo)航性能指標(biāo)如表1所示。

3 仿真驗(yàn)證

在得到五冗余捷聯(lián)慣組的最優(yōu)配置后，可通過(guò)故障模式下對(duì)各冗余軸進(jìn)行導(dǎo)航信息重構(gòu)的方式考核最優(yōu)配置的正確性。

假定五冗余捷聯(lián)慣組的正交軸X陀螺器件發(fā)生輸出故障，故障類型為常值輸出，故障從第20 s開(kāi)始，通過(guò)最小二乘估計(jì)的方法從斜置軸測(cè)量值進(jìn)行導(dǎo)航信息重構(gòu)，重構(gòu)方法為

(22)

式中Zi為其他4個(gè)慣組器件的輸出信息。

此時(shí)，信息重構(gòu)的估計(jì)均方誤差為

(23)

仿真中使用的陀螺誤差模型參數(shù)如表2所示。

表1 最優(yōu)配置及性能指標(biāo)Table 1 Optimal Configuration and performance index

表2 陀螺誤差模型參數(shù)Table 2 Error parameter of the gyro

未發(fā)生故障和已經(jīng)發(fā)生故障陀螺脈沖輸出時(shí)間序列如圖 2所示，經(jīng)過(guò)信息重構(gòu)正交軸X陀螺脈沖輸出如圖3所示。

由故障模式下重構(gòu)的導(dǎo)航系統(tǒng)輸出可看到，在最優(yōu)配置模式下，當(dāng)五冗余捷聯(lián)慣組某個(gè)正交軸出現(xiàn)故障時(shí)，通過(guò)信息重構(gòu)可由其他斜置軸的信息準(zhǔn)確估計(jì)出故障軸的導(dǎo)航信息，且重構(gòu)誤差不大于5倍陀螺器件自身誤差當(dāng)量，從而保證導(dǎo)航系統(tǒng)的精度能滿足固體火箭的制導(dǎo)控制要求。

(a)正常工作

(b)故障模式

(a)輸出結(jié)果

(b)局部放大

4 結(jié)論

(1)三正交兩斜置冗余慣組系統(tǒng)存在最優(yōu)逼近解，其最優(yōu)配置形式有24種，均可保證在無(wú)故障和故障模式下的導(dǎo)航性能最優(yōu)。

(2)當(dāng)三正交兩斜置冗余慣組正交軸出現(xiàn)故障時(shí)，可通過(guò)斜置軸重構(gòu)出故障軸的導(dǎo)航信息，在最優(yōu)配置模式下，導(dǎo)航精度小于5倍陀螺器件自身誤差當(dāng)量。

[1] 李雪蓮,孫堯,莫宏偉.一種基于MIMU的九陀螺冗余配置[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2009,41(5):90-94.

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[7] Yuksel Y. Design and analysis of inertial navigation systems with skew redundant inertial sensors[D].Canada:University of Calgary,2011.

(編輯：呂耀輝)

Optimal configuration design of redundant strapdown inertial system with five axes

WU Wei-qiang，CHEN Kang，YAN Jie

(College of Astronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710072,China)

High reliability of navigation and guidance system directly determines the quality for solid launch vehicles to accomplish flight missions,while redundant inertial measurement technology is one of the main ways to increasing the system reliability.In this paper,taking a redundant configuration of strapdown inertial system with five axes(three on the spindles and two on the oblique axis)applied in solid launch vehicles as the research object and optimization of navigation performance index as objective function,nonlinear contradiction equations under optimal configuration were derived and the optimal imminent solutions were calculated by least square method,then finally the optimal configuration for redundant strapdown inertial system was obtained,which was also verified by simulation.The results demonstrate that there are 24 solutions for the optimal configuration for redundant strapdown inertial system with five axes(three on the spindles and two on the oblique axis),all of which have a navigation performance index of 1.424 3 and when the fault happens in spindles,the configuration can reconstruct their information to ensure the accuracy and precision of navigation information with the navigation error within 5 times the error equivalence of gyro units.

redundancy system；strapdown inertial measurement unit；optimization；configuration

2014-05-21；

：2014-08-07。

中國(guó)航天科技集團(tuán)公司航天支撐基金(2013-HT-XGD-15)。

武唯強(qiáng)(1971—)，男，博士，研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。E-mail：wangyinan@nwpu.edu.cn

V448

A

1006-2793(2015)01-0018-05

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.01.004