帶隨機微缺陷橢圓孔口的應力分析

周 勝 李兆霞

(東南大學土木工程學院, 南京 210096)(東南大學江蘇省工程力學分析重點實驗室, 南京 210096)

帶隨機微缺陷橢圓孔口的應力分析

周 勝 李兆霞

(東南大學土木工程學院, 南京 210096)(東南大學江蘇省工程力學分析重點實驗室, 南京 210096)

利用復變函數(shù)方法,構造了保角變換函數(shù),求解了帶隨機半圓形微缺陷的橢圓孔口應力場．通過分離保角變換函數(shù),得到了微缺陷與宏觀橢圓孔口應力場解析解的分離形式．研究結果表明,微缺陷主要對橢圓孔局部應力場產生影響,而對于遠離微缺陷區(qū)域的應力場則影響較?。敊E圓形狀固定時,微缺陷端部的應力集中系數(shù)僅與缺陷半徑及微缺陷的位置有關;缺陷越小,應力集中系數(shù)越大,且此數(shù)值遠大于無缺陷時橢圓孔口的應力集中系數(shù),說明當孔邊帶有微缺陷時,盡管缺陷尺度遠小于橢圓孔的尺度,但微缺陷對橢圓孔邊緣應力集中的影響仍不容忽視．

微缺陷;橢圓孔口;復變函數(shù);尺度分離;應力集中系數(shù)

航空航天、機械制造以及土木工程領域中存在著大量的孔口問題.應力場分析可將其簡化為橢圓孔口邊緣應力場來進行求解．除結構中人為制造的孔口外,很多材料(如混凝土材料和晶體材料等)在成型過程中,材料內部會不可避免地出現(xiàn)一些微孔口．考慮這類微裂紋的作用,求解孔口附近應力場的解析表達式和應力強度因子是非常重要的．

學者們已對工程和材料中的孔口問題進行了大量研究．趙凱等[1]利用復變函數(shù)方法研究了巖土工程中矩形硐室問題,采用Schwarz-Christoffel積分方法求取矩形硐室的解;祝江鴻等[2]利用復變函數(shù)級數(shù)展開方法研究了任意硐室的應力場解答．其他類型的材料在生產過程中也會隨機產生微孔口,為簡單起見,通常將其簡化成圓形或橢圓形孔口,利用復變函數(shù)方法進行求解．高存法等[3]研究了含橢圓孔壓電材料的解析解;朱西平等[4]研究了含圓孔復合材料板的孔邊應力集中系數(shù)．利用復變函數(shù)方法研究孔口問題時,僅在微孔口尺度下考慮了材料的應力場,并未考慮孔口邊緣發(fā)生更小尺度缺陷時局部應力集中導致的結構失效[5]．

隨著復變函數(shù)理論及斷裂力學的發(fā)展,采用復變函數(shù)方法處理孔口問題時,引入了非簡單的多項式函數(shù)來進行求解,極大地拓展了復變函數(shù)在不光滑孔口問題上的應用,并在求解帶裂紋孔口問題方面取得了較大進展[6-9]．郭俊宏等[10-11]分析了長軸處雙裂紋橢圓孔口的壓電材料問題,研究了準晶體材料的應力場;Hasebe等[12]利用數(shù)值方法分析了帶裂紋的方形孔口問題;曾蕓蕓[13]研究了帶裂紋的圓形孔口問題;郭懷民等[14]分析了長軸處帶裂紋的橢圓孔口問題．但這些研究僅考慮了含宏觀裂紋孔口的應力強度因子,并沒有考慮含孔口材料裂紋萌生時孔口邊緣的隨機微缺陷對裂紋萌生和擴展的影響．

在處理復雜孔口時,傳統(tǒng)的保角變換方法存在著一定的局限性,無法得到帶隨機微缺陷橢圓孔口的保角變換函數(shù)．本文利用復變函數(shù)方法研究了帶隨機微缺陷的橢圓孔口問題．采用尺度分離方法,構建了2個尺度下分離的保角變換函數(shù),得到了帶微缺陷橢圓孔口的應力場解答,為利用傳統(tǒng)復變函數(shù)方法求解多尺度缺陷的孔口問題提供了理論分析基礎,也為處理實際工程和材料中的孔口問題提供了新的思路．

1 帶微缺陷橢圓圓孔的保角變換

由文獻[6]可知,利用復變函數(shù)方法求解復雜孔口的應力場,首先需要構造保角變換函數(shù),將復雜邊界映射到簡單邊界上進行處理．為了得到帶微缺陷橢圓孔口的保角變換函數(shù),需要對保角變換函數(shù)進行近似變換．

圖1為帶微缺陷橢圓孔口保角變換過程．首先,根據(jù)嚴格的保角變換形式,將γ平面中單位圓內的區(qū)域變換為Z1平面中帶缺陷的單位圓外區(qū)域;然后,利用近似變換,將Z1平面區(qū)域變換為Z平面上帶微缺陷的橢圓圓孔．圖中,a,b分別為橢圓的長軸和短軸;α,β分別為Z1平面和Z平面上微缺陷中心和圓心連線與x軸之間的夾角．

(a) 無缺陷單位圓孔(γ平面)

(b) 含微缺陷單位圓孔(Z1平面)

(c) 含微缺陷橢圓孔口(Z平面)

含微缺陷的單位圓孔如圖1(b)所示．γ平面圓周上ζ=eiα處存在半徑為ρ的半圓形微缺陷,且ρ?1．保角變換函數(shù)為

(1)

式中,ω1(ζ)為多值函數(shù)．

為準確表達圓孔和微缺陷對最后應力場的影響,可將式(1)改寫為

(2)

式中,1/ζ為含圓孔的無限大平面的保角變換函數(shù);δ(ζ,α)為微缺陷的保角變換函數(shù)．δ(ζ,α)將數(shù)學平面上ζ=e-i α的鄰域變換成物理平面上z1=1處的微缺陷,在遠離ζ=e-i α的區(qū)域,δ(ζ,α)=0．

由文獻[6]可知,將單位圓內部映射到含橢圓孔口的無限大平面的保角變換函數(shù)為

(3)

可以利用橢圓保角變換函數(shù)局部的保圓性來近似構造變換函數(shù),即

(4)

在ζ=e-iα的鄰域處,δ(ζ,α)為一微小量．根據(jù)保角變換的局部保圓性,在ζ=e-iα的鄰域處,ω(ζ)也近似變換為半圓形微缺陷,而在遠離ζ=e-iα的區(qū)域處,由于δ(ζ,α)=0,根據(jù)ω(ζ)可將單位圓變換為無缺陷的橢圓邊界．因此,根據(jù)式(4)可將γ平面上單位圓內的區(qū)域變換為含帶圓弧形微缺陷橢圓孔口的無限大平面．

利用級數(shù)展開公式可以得到

(5)

δ(ζ,α)相對于ζ為小量,將式(5)代入式(4)并略去δ(ζ,α)2以上的高階項,可將式(4)簡化為

z=ω(ζ)=ω0(ζ)+R(1-mζ2)δ(ζ,α)

(6)

在遠離ζ=e-iα的鄰域處,δ(ζ,α)=0,且表達式R(1-mζ2)在單位圓內有界．如果橢圓局部曲率變化較小,可將式(6)簡化為

z=ω(ζ)=ω0(ζ)+Kδ(ζ,α)

(7)

根據(jù)保角變換函數(shù),可以求得β與α的關系,即

2 帶微缺陷橢圓孔口的解析解

無限大孔口的力學問題通常采用復變函數(shù)方法進行求解．孔口問題的應力場可以通過2個應力函數(shù)φ(ζ)和ψ(ζ)獲得．φ(ζ)和ψ(ζ)滿足如下方程:

(8)

(9)

式中

(10)

(11)

(12)

由式(4)可得

(13)

(14)

H(σ)可以延拓為圓周上的連續(xù)函數(shù),且H(∞)=0,故

為簡單起見,可以設含帶微缺陷圓孔的無限平面孔口邊緣不受力,僅在無窮遠處受到與y軸平行的大小為q的均布拉應力．根據(jù)式(10)可知

(15)

由于δ(ζ)在單位圓內除了ζ=0外處處解析,且ζ=0為δ(ζ)的可去奇點,故δ(ζ)在單位圓內可表示為

(16)

式中,bn(α)為與α相關的復常數(shù)．

根據(jù)Cauchy積分原理,可以得到

(17)

同理可求得

(18)

最后，根據(jù)式(8)和(9)可以求得

(19)

(20)

令Φ(ζ)=φ′(ζ)/ω′(ζ),Ψ(ζ)=ψ′(ζ)/ω′(ζ),則可以求得含帶微缺陷橢圓孔口的無限大平面的應力場公式為

σθ+σρ=4ReΦ(ζ)

(21)

(22)

式中,σθ,σρ和τρθ分別表示極坐標下的環(huán)向應力、徑向應力和切應力．

3 應力場分析

對于孔口問題而言,孔口邊緣的應力集中系數(shù)與材料失效密切相關．當橢圓孔口邊緣出現(xiàn)微缺陷時,缺陷端部為應力集中區(qū)．利用式(21),可以求出ρ≠0時橢圓孔口邊緣缺陷的應力集中系數(shù)η．

(23)

當a=2,b=1時,微缺陷應力集中系數(shù)η與微缺陷半徑r的關系曲線見圖2．由圖可知,當含帶微缺陷橢圓孔口的無窮大平面在無窮遠處承受垂

圖2 微缺陷半徑與應力集中系數(shù)的關系

直于長軸的均布載荷時,微缺陷的應力集中系數(shù)與微缺陷半徑成反比,隨著缺陷半徑的減小,應力集中系數(shù)逐漸增加．當r足夠小時,應力集中系數(shù)趨近于3+4a/b．根據(jù)已知的無缺陷橢圓孔口長軸處應力集中系數(shù)η′=1+2a/b,當橢圓孔口長軸存在半圓形微缺陷時,微缺陷應力集中系數(shù)最大值ηmax=1+2η′．

當b=1時,微缺陷應力集中系數(shù)與微缺陷位置之間的關系曲線如圖3所示．由圖可知,當微裂紋出現(xiàn)在長軸(即β=0)時,應力集中系數(shù)最大;隨著β的增大,應力逐漸變?。產/b越大,應力集中系數(shù)的最大值也越大;β越大,應力集中系數(shù)衰減得越快．

圖3 微缺陷應力集中系數(shù)與微缺陷位置之間的關系圖

4 結語

本文通過建立含帶隨機微缺陷橢圓孔口的無限大平面分析模型,解決了工程中普遍存在的帶隨機微缺陷孔口的應力場求解問題．利用針對局部微缺陷的尺度分離方法,得到了復合保角變換表達式．利用保角變換的局部保角性,擴展了復變函數(shù)方法的應用范圍．研究結果表明,橢圓孔口邊緣產生的微缺陷會對微缺陷附近局部應力產生影響,但對微缺陷遠端區(qū)域的應力影響較?。⑷毕莸漠a生導致缺陷端部出現(xiàn)應力集中現(xiàn)象,應力集中系數(shù)與缺陷半徑有關,微缺陷半徑越小,應力集中系數(shù)越大．當微缺陷出現(xiàn)在長軸位置時,應力集中系數(shù)最大,且最大值隨著微缺陷半徑的減小逐漸趨近于3+4a/b．

References)

[1]趙凱, 劉長武, 張國良.用彈性力學的復變函數(shù)法求解矩形硐室周邊應力[J]. 采礦與安全工程學報, 2007, 24(3): 361-365. Zhao Kai, Liu Changwu, Zhang Guoliang. Solution for perimeter stresses of rocks around a rectangular chamber using the complex function of elastic mechanics[J].JournalofMining&SafetyEngineering, 2007, 24 (3):361-365.(in Chinese)

[2]祝江鴻, 楊建輝, 施高萍,等. 單位圓外域到任意開挖斷面隧洞外域共形映射的計算方法[J]. 巖土力學, 2014,35 (1): 175-183. Zhu Jianghong, Yang Jianhui, Shi Gaoping, et al. Calculating method for conformal mapping from exterior of unit circle to exterior of cavern with arbitrary excavation cross-section [J].RockandSoilMechanics, 2014, 35 (1): 175-183.(in Chinese)

[3]高存法, 董登科. 含橢圓孔壓電材料平面問題的復變函數(shù)解[J]. 工程力學,1998,15(3):98-104. Gao Cunfa, Dong Dengke. The complex functions for plane problems of piezoelectric material with an elliptical hole[J].EngineeringMechanics, 1998, 15(3): 98-104.(in Chinese)

[4]朱西平,郭章新,韓小平，等. 含孔復合材料層合板孔邊應力集中的近似計算[J]. 航空材料學報, 2009,29(2):71-75. Zhu Xiping, Guo Zhangxin, Han Xiaoping, et al. Approximate calculation of stress distribution near hole for composite laminates with finite width[J].JournalofAeronauticalMaterials, 2009, 29 (2):71-75.(in Chinese)

[5]Wu Hwai-Chung, Mu Bin. On stress concentrations for isotropic/orthotropic plates and cylinders with a circular hole[J].CompositesPartB:Engineering, 2003, 34(2): 127-134.

[6]Erdogan F. Stress intensity factors [J].JournalofAppliedMechanics, 1983, 50(4):992-1002.

[7]Shen D, Fan T. Exact solutions of two semi-infinite collinear cracks in a strip [J].EngineeringFractureMechanics, 2003, 70(6): 813-822.

[8]Sih G C. Stress distribution near internal crack tips for longitudinal shear problems [J].JournalofAppliedMechanics, 1965, 32(1): 51-581.

[9]陳柱, 劉官廳, 關璐. 星形裂紋的應力分析[J]. 力學學報, 2009, 41(3): 425-430. Chen Zhu, Liu Guanting, Guan Lu. Stress analysis of star cracks [J].ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics, 2009, 41(3): 425-430.(in Chinese)

[10]郭俊宏,劉官廳.帶雙裂紋的橢圓孔口問題的應力分析[J].力學學報,2007,39(5):699-703. Guo Junhong, Liu Guanting. Stress analysis for an elliptical hole with two straight-cracks [J].ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics, 2007,39 (5):699-703. (in Chinese)

[11]Guo Junhong, Liu Guanting. Exact analytic solutions for an elliptic hole with asymmetric collinear cracks in a one-dimensional hexagonal quasi-crystals[J].ChinesePhys, 2008, 17(7): 2610-2620.

[12]Hasebe N, Nakamura T, Yoshikawa K, et al. Plane elastic solution for the second mixed boundary value problem and its application [J].ArchiveofAppliedMechanics, 1994, 64(5): 295-306.

[13]曾蕓蕓. 圓弧裂紋問題的復變函數(shù)方法研究 [D]. 北京:北京理工大學數(shù)學系,2006．

[14]郭懷民,劉官廳,皮建東.帶裂紋的橢圓孔口問題的應力分析[J].固體力學學報,2007,28(3):308-312. Guo Huaimin, Liu Guanting, Pi Jiandong. Stress analysis of anellipse hole with a straightedge-crack by complex variable method [J].ActaMechanicaSolidaSinica, 2007, 28(3): 308-312.(in Chinese)

Analysis on stresses of elliptical hole with random micro-defect

Zhou Sheng Li Zhaoxia

(School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)(Jiangsu Key Laboratory of Engineering Mechanics, Southeast University, Nanjing 210096, China)

The conformal mapping function is constructed and the stress field of an elliptical hole with a random semicircular micro-defect is solved by using the complex function method. The separation form of the analytical solution of the stress field for the small-scale defect and the circular hole can be obtained through splitting the conformal function. The results show that the micro-defect mainly affects on the local stress field around the elliptical hole, and the influence on the zone away from the small-scale defect is small. When the ellipse shape is fixed, the stress concentration factor only depends on the curvature radius and the position of the defect. The smaller the defect, the greater the stress concentration factor. Moreover, the stress concentration factor of the micro-defect is much greater than that of an ellipse without micro-defects. This suggests that when there is a semicircular micro-defect on an elliptical hole edge, the influence of the micro-defect on stress concentration nearby the elliptical hole cannot be ignored even though the scale of the defect is far smaller than that of the ellipse.

micro-defect;elliptical hole;complex function;scale separation;stress concentration factor

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.025

2014-09-20. 作者簡介: 周勝(1987—)，男，博士生; 李兆霞(聯(lián)系人)，女，博士，教授，博士生導師， zhxli@seu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(11072060).

周勝，李兆霞.帶隨機微缺陷橢圓孔口的應力分析[J].東南大學學報:自然科學版,2015,45(2):343-347.

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.025

O346.1

A

1001-0505(2015)02-0343-05