基于Sigmoid函數(shù)的時(shí)域?qū)拵BF基帶實(shí)現(xiàn)

劉鑄華，林桂道

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第723研究所，揚(yáng)州 225001)

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基于Sigmoid函數(shù)的時(shí)域?qū)拵BF基帶實(shí)現(xiàn)

劉鑄華，林桂道

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第723研究所，揚(yáng)州 225001)

推導(dǎo)了一種在基帶實(shí)現(xiàn)的時(shí)域?qū)拵?shù)字波束形成(DBF)方法，并利用sigmoid函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)濾波，得到精確的時(shí)延量來(lái)減小或消除時(shí)域方法中的色散效應(yīng)。這種方法充分利用了sigmoid函數(shù)的寬誤差范圍和小誤差迭代繼續(xù)的特點(diǎn)，來(lái)適應(yīng)基帶時(shí)域?qū)拵BF的特點(diǎn)，從而改善了波束性能和算法效率。

時(shí)域數(shù)字波束形成；分?jǐn)?shù)濾波器；sigmoid函數(shù)；自適應(yīng)算法

0 引 言

寬帶數(shù)字波束形成(DBF)技術(shù)是一種通過(guò)調(diào)整各個(gè)陣元接收信號(hào)的幅相，從而使得天線陣能量往一個(gè)期望方向進(jìn)行聚集的技術(shù)。通過(guò)形成的波束可以實(shí)現(xiàn)空間目標(biāo)的探測(cè)、跟蹤和參數(shù)測(cè)量。由于寬帶信號(hào)的變頻特性，應(yīng)用傳統(tǒng)的窄帶DBF會(huì)帶來(lái)指向偏移。理論上，寬帶DBF有兩大類方法[1]：頻域形成方法和空時(shí)域形成方法。

頻域方法通過(guò)快速傅里葉變換(FFT)將寬帶信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)榘搭l率子帶劃分的各個(gè)窄帶信號(hào)，然后進(jìn)行窄帶DBF[2]。明顯的，當(dāng)信號(hào)帶寬過(guò)大時(shí)，F(xiàn)FT階數(shù)將會(huì)變得很大，隨之也會(huì)帶來(lái)計(jì)算量級(jí)數(shù)般增長(zhǎng)?？諘r(shí)域方法則通過(guò)時(shí)延代替移相的方式，實(shí)現(xiàn)陣元信號(hào)的幅相校正[3]。

可是，實(shí)際工程應(yīng)用中，時(shí)域方法往往會(huì)因?yàn)闀r(shí)延量的精確問(wèn)題有一定波束指向的偏移。早期，為了解決工程實(shí)現(xiàn)的時(shí)延問(wèn)題，一般采用模擬電路實(shí)時(shí)延遲單元(TTD)或者傳統(tǒng)濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)精確時(shí)延。這將導(dǎo)致硬件設(shè)備量的大幅增加。隨著技術(shù)的發(fā)展，過(guò)采樣、內(nèi)插值[4]和分?jǐn)?shù)濾波器[5]等數(shù)字實(shí)時(shí)延遲技術(shù)相繼被提出。

相比較而言，分?jǐn)?shù)濾波器因能實(shí)現(xiàn)任意時(shí)延量，且能在相對(duì)低的采樣速率下實(shí)現(xiàn)而被工程實(shí)現(xiàn)首選。但是一般的自適應(yīng)算法收斂域過(guò)小，并不適應(yīng)時(shí)域方法的噪聲干擾；小誤差下過(guò)早收斂為零則不適合分?jǐn)?shù)濾波器的樣本微小誤差迭代量。

基于sigmoid函數(shù)的LMS算法[6]是一種改進(jìn)的自適應(yīng)算法，通過(guò)步長(zhǎng)的調(diào)整能加快收斂速度，且具有寬收斂域和微迭代量的特點(diǎn)。通過(guò)對(duì)sigmoid函數(shù)的調(diào)整，還能適當(dāng)改變收斂域和微迭代量，從而滿足時(shí)域?qū)拵BF的算法和硬件設(shè)計(jì)需要。其次，時(shí)域中頻采樣仍然會(huì)導(dǎo)致信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)率過(guò)高，這樣數(shù)據(jù)量仍然很大。當(dāng)信號(hào)處于基帶時(shí)，信號(hào)的采樣速率會(huì)大大降低。

基于以上的分析，本文介紹了一種基帶實(shí)現(xiàn)的寬帶時(shí)域DBF方法，從而降低了信號(hào)的采樣率，易于工程實(shí)現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，提出應(yīng)用sigmoid函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)濾波器，從而得到工程可實(shí)現(xiàn)的精確時(shí)延，并減小工程設(shè)備量。其次，sigmoid函數(shù)的選用滿足了時(shí)域DBF中噪聲干擾和樣本間微誤差量的特點(diǎn)。

1 遲延量對(duì)色散效應(yīng)的改善

假設(shè)一個(gè)具有N個(gè)陣元的天線陣呈均勻間距直線分布，間隔d為信號(hào)波長(zhǎng)的一半。當(dāng)N個(gè)陣元同時(shí)接收來(lái)自與天線陣法線成θ角的信號(hào)時(shí)，選取最近陣元作為參考陣元，則第N個(gè)陣元與參考陣元的相位差為：

(1)

為了得到信號(hào)指向和信號(hào)頻率的關(guān)系，對(duì)式(1)變形得到：

(2)

把式(2)中θ對(duì)f求導(dǎo)，則得到：

(3)

公式(3)中因?yàn)轭l率變化Δf而導(dǎo)致波形指向發(fā)生Δθ角度偏移的現(xiàn)象被稱為頻率色散效應(yīng)。這時(shí)如果對(duì)陣元N進(jìn)行τA的時(shí)間延遲，則此時(shí)的陣元N對(duì)參考陣元的相位差就能由式(1)改寫(xiě)為：

(4)

從公式(4)導(dǎo)出角度與頻率的關(guān)系式為：

(5)

把式(5)中的θ對(duì)f求導(dǎo)，得到：

(6)

從式(6)中可以看到，當(dāng)對(duì)陣元N的接收信號(hào)進(jìn)行τA的時(shí)延后，陣元的頻率變化導(dǎo)致的色散現(xiàn)象能被減小甚至消除。因此，精確的時(shí)延器可以實(shí)現(xiàn)寬帶信號(hào)時(shí)域DBF。

2 時(shí)域?qū)拵BF基帶實(shí)現(xiàn)公式推導(dǎo)

假設(shè)天線陣元是等間隔直線分布的N陣元均勻線陣，選取距目標(biāo)最遠(yuǎn)陣元作為參考陣元。為了降低數(shù)據(jù)采樣率，需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行下變頻到基帶，然后經(jīng)過(guò)數(shù)字采樣，得到信號(hào)的數(shù)字采樣信號(hào)形式。處理流程如圖1所示。

圖1 陣元信號(hào)基帶下變頻結(jié)構(gòu)

定義參考陣元的信號(hào)為脈沖形式：

(7)

(8)

式中：u(t)為參考陣元接收信號(hào)x1(t)的復(fù)包絡(luò)；f0為信號(hào)的載頻。

由于陣元間距d的存在，陣元i接收到的信號(hào)相對(duì)參考陣元發(fā)生了一定的時(shí)延，信號(hào)形式為：

(9)

(10)

經(jīng)過(guò)圖1結(jié)構(gòu)顯示的處理后，xi(t)對(duì)應(yīng)的基帶形式為：

(11)

(12)

式中：Tb為信號(hào)的基帶采樣間隔。

(13)

(14)

因此，對(duì)時(shí)域基帶采樣信號(hào)作出移相、數(shù)字延遲線整數(shù)倍延時(shí)和分?jǐn)?shù)濾波器延時(shí)3步變換后，便可以得到同相的各個(gè)陣元信號(hào)，從而相加得到波束形成。3個(gè)部分分別有以下形式：

(15)

(16)

(17)

對(duì)式(15)～(17)進(jìn)行頻域變換，便得到理想時(shí)域?qū)拵BF信號(hào)時(shí)，各個(gè)陣元信號(hào)變換的脈沖響應(yīng)：

(18)

此時(shí)得到時(shí)域?qū)拵BF的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 時(shí)域?qū)拵BF結(jié)構(gòu)圖

3 基于sigmoid函數(shù)的分?jǐn)?shù)濾波器設(shè)計(jì)

由于各個(gè)陣元輸入信號(hào)受到干擾噪聲等影響，因此各個(gè)陣元的分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波輸出并不等于確定值，即式(17)得到的結(jié)果不一定是理想的輸出，因此需要采用自適應(yīng)算法來(lái)求得分?jǐn)?shù)濾波器系數(shù)。傳統(tǒng)的最小均方(LMS)算法可以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)濾波器的時(shí)延輸出與理想值之間均方誤差和最小。分?jǐn)?shù)濾波器設(shè)計(jì)框圖如圖3所示。

圖3 分?jǐn)?shù)濾波器設(shè)計(jì)框圖

取陣元數(shù)為N，采樣樣本長(zhǎng)度為M，則分?jǐn)?shù)濾波器權(quán)系數(shù)向量為：

W=[w(0)，w(1)，…，w(M-1)]

(19)

w(i)=[αi(0)，αi(1)，…，αi(N-1)]T,

i=0,1,… ,M-1

(20)

X=[x(0)，x(1)，…，x(M-1)]

(21)

x(i)=[xi(0)，xi(1)，…，xi(N-1)]T,

i=0,1,… ,N-1

(22)

式中：w(i)為每個(gè)樣本時(shí)刻N(yùn)個(gè)陣元的權(quán)值，通過(guò)M-1次調(diào)整權(quán)值可得到w(M-1)，達(dá)到精確分?jǐn)?shù)時(shí)延的目的。

定義誤差信號(hào)為：

e(n)=d(n)-WT(n)X(n)

(23)

權(quán)值迭代公式為：

w(n+1)=w(n)+2μe(n)X(n)

(24)

為了使得w(n+1)快速收斂，往往μ取變化值，選用不同的函數(shù)構(gòu)造μ可以得到不同的收斂特性。為最快速取得收斂值，陳景繁等學(xué)者提出了SVSLMS(基于S型函數(shù)變步長(zhǎng)最小均方)算法，其步長(zhǎng)μ(n)基于sigmoid函數(shù)得出：

(25)

但是SVSLMS算法的收斂域過(guò)小，在時(shí)域?qū)拵BF中往往信號(hào)是摻雜著噪聲干擾的。過(guò)小的收斂域會(huì)導(dǎo)致極大的噪聲瞬間，信號(hào)誤差過(guò)大而跳出收斂域，從而使得權(quán)值發(fā)散。為改進(jìn)算法的收斂域性能，羅小東提出的改進(jìn)型SVSLMS (GJSVSLMS)算法對(duì)收斂域進(jìn)行了擴(kuò)大[9]。這一改進(jìn)正好滿足了寬帶時(shí)域DBF對(duì)噪聲干擾的適應(yīng)問(wèn)題，其步長(zhǎng)計(jì)算式為：

(26)

雖然GJSVSLMS算法具有寬收斂域，但是在小誤差量時(shí)，其步長(zhǎng)值提早等于零，這就使得GJSVSLMS算法對(duì)微小誤差不再敏感。但是分?jǐn)?shù)濾波器的設(shè)計(jì)往往需要對(duì)連續(xù)采樣樣本之間微小誤差進(jìn)行修改權(quán)值，過(guò)早歸零的算法特性使得其無(wú)法達(dá)到分?jǐn)?shù)濾波器精確時(shí)延的要求，從而導(dǎo)致波束形狀改變。

受sigmoid函數(shù)特點(diǎn)決定，多個(gè)sigmoid函數(shù)乘積可以改善函數(shù)性能[10]。因此分別選擇2個(gè)sigmoid函數(shù)和3個(gè)sigmoid函數(shù)乘積項(xiàng)和單個(gè)sigmoid函數(shù)進(jìn)行性能對(duì)比，表達(dá)式如下：

(27)

(28)

各算法步長(zhǎng)隨誤差收斂對(duì)比關(guān)系如圖4所示。

圖4 各算法步長(zhǎng)μ(n)隨誤差e(n)收斂對(duì)比圖

通過(guò)圖4可知，SVSLMS算法雖然收斂最快，但是其收斂域過(guò)小，不適合寬帶時(shí)域DBF噪聲干擾的情況。GJSVSLMS算法在保證了收斂速度的前提下，收斂域明顯加大了。雙sigmoid乘積項(xiàng)和三sigmoid乘積項(xiàng)的改進(jìn)算法則在保證收斂域大小的前提下，通過(guò)額外的sigmoid乘積項(xiàng)改善微誤差下的收斂特性。三sigmoid乘積項(xiàng)的算法又通過(guò)更多的約束使得曲線的底部收斂加快，從而保證了收斂效率和收斂域，如圖3的三sigmoid乘積項(xiàng)線在底部明顯比二乘積項(xiàng)曲線收斂加快。

因此選用多sigmoid乘積項(xiàng)的改進(jìn)GJSVSLMS算法，可以保證寬收斂域和微小誤差快速收斂而不過(guò)快停止的效果，適用于時(shí)域DBF分?jǐn)?shù)濾波器的噪聲干擾和樣本間微小誤差特征。乘積項(xiàng)的多少取決于需要分段設(shè)計(jì)收斂速度的段數(shù)多少，乘積項(xiàng)越多，則收斂域按照收斂速度劃分段數(shù)越多。每個(gè)乘積項(xiàng)α的大小取決于對(duì)應(yīng)段曲線的收斂速度，一般底部需要快速收斂，因此最后一項(xiàng)乘積項(xiàng)的α可以取前一個(gè)乘積項(xiàng)對(duì)應(yīng)α的10倍。

4 仿真結(jié)果

取一80陣元均勻陣，信號(hào)期望角度為45°，信號(hào)為線性調(diào)頻(LFM)信號(hào)，x(t)=cos[2π(f0+at)t]，其中f0=3.6 GHz，帶寬B=400 MHz，脈沖寬度T=40 μs，調(diào)頻系數(shù)為α=1013，基帶采樣頻率為fs=500 MHz。對(duì)比只移相形成的波束和理想時(shí)間延遲的形成波束，來(lái)觀察寬帶時(shí)域DBF中時(shí)間延遲對(duì)波形色散效應(yīng)的的影響。對(duì)比理想延遲和實(shí)際中數(shù)字延遲線僅能達(dá)到的整數(shù)倍采樣間隔延遲，來(lái)了解時(shí)延量對(duì)精確度的影響。其中理想延遲形成的波形由整數(shù)倍時(shí)延加上第2節(jié)設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)濾波器濾波得到，波形圖如圖5所示。

圖5 寬帶時(shí)域DBF延時(shí)效果圖

從圖5理想延時(shí)處理波形可見(jiàn)，設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)濾波器明顯能達(dá)到精確時(shí)延并形成波束的效果。而時(shí)域?qū)拵BF中，只進(jìn)行移相得到的波形圖主瓣明顯比精確時(shí)延得到的波形圖寬,因而波束的角度分辨率低。而移相后加上整數(shù)倍時(shí)延的波形圖雖然和精確時(shí)延得到的波形圖一樣能得到正確的波束指向，但是明顯其副瓣加高，不能達(dá)到信號(hào)能量在指定方向集中照射的目的。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文推導(dǎo)的時(shí)域?qū)拵BF在基帶的實(shí)現(xiàn)方法，經(jīng)仿真驗(yàn)證了其正確性。結(jié)果顯示，本文提出的基于sigmoid函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)濾波器的方法能達(dá)到精確的時(shí)延量，從而改善了波束主瓣寬度及指向和副瓣電平等波束性能。

圖4仿真結(jié)果顯示，這種分?jǐn)?shù)濾波器設(shè)計(jì)方法的寬收斂域和微誤差迭代特點(diǎn)，適合時(shí)域?qū)拵BF分?jǐn)?shù)濾波器對(duì)噪聲干擾敏感和樣本間微誤差的特點(diǎn)，因此基于sigmoid函數(shù)的分?jǐn)?shù)濾波器對(duì)時(shí)域?qū)拵BF適應(yīng)度高。通過(guò)sigmoid函數(shù)系數(shù)和乘積項(xiàng)數(shù)量的變化，還可以使自適應(yīng)迭代步長(zhǎng)收斂速率隨誤差分段改變。

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Baseband Realization of Time-domain Broadband DBF Based on Sigmoid function

LIU Zhu-hua,LIN Gui-dao

(The 723 Institute of CSIC,Yangzhou 225001,China)

This article deduces a time-domain broadband digital beam forming (DBF) method based on baseband,and uses sigmoid function to implement fractional filtering,obtains accurate time delay to reduce or eliminate the dispersion effect in time-domain method.This method makes full use of the characteristics of sigmoid function such as wide error range and continuative iteration of small error to adapt the characteristics of time-domain broadband DBF algorithm based on baseband,thereby improves the beam performance and algorithm efficiency.

time-domain digital beam forming;fractional filter;sigmoid function;adaptive algorithm

2014-12-09

TN713

A

CN32-1413(2015)01-0027-05

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2015.01.006