基于G 代碼修改的數(shù)控機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償方法*＊

高 興 佟 浩 周 雷 滿建財(cái) 李 勇

(①清華大學(xué)機(jī)械工程系/摩擦學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084;②精密超精密制造裝備及控制北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084;③滕州市產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)所，山東 滕州 277500;④國家機(jī)床產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心(山東)，山東 滕州 277500)

隨著現(xiàn)代機(jī)械制造技術(shù)的發(fā)展，以及精密加工技術(shù)在航空航天、醫(yī)療器械等領(lǐng)域的應(yīng)用需求增加［1］，對數(shù)控機(jī)床加工精度的要求也日益提高。目前，有2種基本方法可提高機(jī)床精度:誤差防止和誤差補(bǔ)償。誤差防止是通過設(shè)計(jì)、制造及裝配途徑減少或消除可能的誤差源［2］。但當(dāng)加工精度提高到一定程度時(shí)，單純通過誤差防止會大幅增加機(jī)床制造成本，并增加技術(shù)上實(shí)現(xiàn)的難度。因此，僅依靠誤差防止很難滿足更高精度的要求。誤差補(bǔ)償已成為提高機(jī)床精度、改善機(jī)床性能的重要途徑之一［1］，其涉及誤差檢測和誤差糾正［2］。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者針對數(shù)控機(jī)床的誤差補(bǔ)償進(jìn)行了大量工作，取得了一些成果。例如，1997年，美國Michigan Ann Arbor 大學(xué)J.C.Liang 等人，開發(fā)了1 套用于校正車削中心幾何誤差、熱誤差和切削力誘導(dǎo)誤差的綜合誤差補(bǔ)償系統(tǒng)，對1 臺車削中心進(jìn)行補(bǔ)償并使其加工精度提高5 倍以上［3］;2003年，天津大學(xué)劉又午等人基于多體系統(tǒng)理論，建立了包含幾何誤差和熱誤差的全誤差模型，實(shí)現(xiàn)了3 坐標(biāo)和4 坐標(biāo)聯(lián)動數(shù)控機(jī)床平均精度提高50%～80%［4］。誤差建模方法是誤差補(bǔ)償有效性的關(guān)鍵，這成為國內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)。先后出現(xiàn)了三角關(guān)系幾何法、矢量法、誤差矩陣法、機(jī)構(gòu)學(xué)法、剛體運(yùn)動學(xué)法等誤差建模方法［5］，為數(shù)控機(jī)床誤差補(bǔ)償提供了一定理論基礎(chǔ)，但仍存在誤差模型難于適用不同類型機(jī)床的通用性問題、也存在建模過程復(fù)雜等問題［6］。

本文研究一種基于G 代碼修改的幾何誤差補(bǔ)償方法，以提高數(shù)控機(jī)床各軸的空間運(yùn)動精度。建立包含幾何誤差的多軸數(shù)控機(jī)床空間誤差模型，并提出直線和圓弧軌跡的誤差補(bǔ)償算法，采用修改G 代碼的方式實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償方法的通用性，通過開展補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證相關(guān)理論和方法的有效性。

1 多軸機(jī)床空間誤差建模方法

建立數(shù)控機(jī)床的空間誤差模型，即建立包含機(jī)床單項(xiàng)誤差和位置信息的目標(biāo)點(diǎn)空間誤差的函數(shù)。為獲得通用型誤差模型，以多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換理論為基礎(chǔ)，將機(jī)床分為刀具分支和工件分支，分別獲得刀具相對床身和工件相對床身的位置矩陣，建立理想情況時(shí)和有誤差時(shí)刀具相對工件的位置矩陣，從而獲得機(jī)床的通用誤差模型。

1.1 通用型誤差模型建模

如圖1 所示，可將常見數(shù)控機(jī)床結(jié)構(gòu)分為刀具與工件2 個(gè)分支:由床身w 到刀具τ 的刀具分支，由床身w 到工件p 的工件分支。由多體系統(tǒng)理論可知［1，4，6］，刀具相對工件的位置矩陣為:

同理可知，刀具相對床身的位置矩陣為:

式中:0 表示床身;1 至n 表示床身到刀具分支之間除床身外還具有n 個(gè)部件。

工件相對床身的位置矩陣為:

式中:0 表示床身;1'至n'表示床身到工件分支之間除床身外還具有n'個(gè)部件。

根據(jù)式(2)和式(3)可得:刀具相對工件的位置矩陣與分支部件間的關(guān)系為:

機(jī)床的空間誤差方程可由刀具相對工件的位置矩陣得到，即建立起刀具相對工件的理想時(shí)位置矩陣和有誤差時(shí)位置矩陣之間的關(guān)系，如式(5)所述:

由式(4)和式(5)可得機(jī)床空間誤差方程表示為:

則解該空間誤差方程便可求得空間誤差模型，即式(6)為機(jī)床通用誤差模型。

1.2 XZOY 型三軸機(jī)床誤差建模實(shí)例

根據(jù)建立的機(jī)床通用型空間誤差模型，以后續(xù)實(shí)驗(yàn)將用的三軸數(shù)控機(jī)床為例，建立三軸機(jī)床誤差模型。如圖2 所示為實(shí)驗(yàn)機(jī)床結(jié)構(gòu)示意圖，坐標(biāo)系設(shè)定如圖中所示，其中刀具分支包含床身、X 軸、Z 軸、主軸及刀具，依次編號為0、1、2、3、4;工件分支包含床身、Y 軸和工件，其編號分別為0、5、6。

根據(jù)式(6)可知，上述三軸機(jī)床的空間誤差方程為:

由齊次坐標(biāo)變換理論［7-9］和小角度誤差假設(shè)［11］可知，相鄰兩部件a、b 之間的變換矩陣(即a 相對b 的位置矩陣)為:

式中;δx、δy、δz為a 相對b 運(yùn)動時(shí)分別沿X 軸、Y 軸、Z軸方向的線性位移;εx、εy、εz為a 相對b 運(yùn)動時(shí)分別繞X 軸、Y 軸、Z 軸旋轉(zhuǎn)的角位移。

式中:x、y、z 分別為X 軸、Y 軸及Z 軸的位移;δb(a)表示a 軸沿b 軸方向的線性誤差，εb(a)表示a 軸繞b 軸旋轉(zhuǎn)的角度誤差，Sab表示a、b 兩軸間的垂直度誤差，a、b 可取x 或y 或z。三軸機(jī)床共計(jì)21 項(xiàng)上述幾何誤差［1］，本文建模僅考慮這21 項(xiàng)誤差。

將式(9)～(11)代入式(7)，可求得空間誤差模型為:

式(12)～(14)即為后續(xù)實(shí)驗(yàn)所采用三軸機(jī)床的空間誤差模型;其中，ηx、ηy、ηz分別為空間誤差沿X軸、Y 軸和Z 軸方向的誤差分量。從上述表達(dá)式可知，測得各單項(xiàng)誤差并將誤差值與對應(yīng)機(jī)床坐標(biāo)值代入誤差模型，取計(jì)算值的相反數(shù)并與原坐標(biāo)值疊加，即得目標(biāo)點(diǎn)補(bǔ)償后的坐標(biāo)值。

2 基于G 代碼修正的誤差補(bǔ)償方法

為實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償方法的通用性，采用修改G 代碼的誤差補(bǔ)償方法?；谡`差模型和誤差測量數(shù)據(jù)，通過修改待加工工件的數(shù)控G 代碼來補(bǔ)償機(jī)床的幾何誤差。為實(shí)現(xiàn)直線運(yùn)動補(bǔ)償，提出可對三維空間內(nèi)任意直線實(shí)行補(bǔ)償及插補(bǔ)精度可控的直線軌跡補(bǔ)償算法。為實(shí)現(xiàn)圓弧運(yùn)動補(bǔ)償，提出可提高圓弧軌跡圓心位置精度和插補(bǔ)精度可控的圓弧軌跡補(bǔ)償算法。目前，通用G 代碼指令僅可實(shí)現(xiàn)二維平面內(nèi)的圓弧插補(bǔ)，故本論文提出的圓弧軌跡補(bǔ)償算法同樣只針對二維平面內(nèi)的圓弧軌跡。

2.1 基本補(bǔ)償方法

修改G 代碼方法是以機(jī)床原點(diǎn)為補(bǔ)償參考點(diǎn)，即補(bǔ)償參考點(diǎn)為固定點(diǎn)。修改后的補(bǔ)償點(diǎn)由式(15)計(jì)算:

式中:Pi為理想指令值;Pe為修改后的補(bǔ)償值;E)為Pi點(diǎn)相對機(jī)床原點(diǎn)Po的空間誤差值，可由式(12)～(14)計(jì)算獲得。

修改G 代碼雖然比較繁瑣，但對數(shù)控系統(tǒng)沒有特定要求，常見數(shù)控系統(tǒng)都可采用該方法實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償。同時(shí)，G 代碼采用機(jī)床原點(diǎn)的絕對坐標(biāo)作為補(bǔ)償參考點(diǎn)，使G 代碼可根據(jù)式(15)進(jìn)行修正。絕對坐標(biāo)補(bǔ)償?shù)膮⒖键c(diǎn)為固定的機(jī)床原點(diǎn)，故只需目標(biāo)點(diǎn)理論坐標(biāo)便可計(jì)算空間誤差;相對坐標(biāo)補(bǔ)償?shù)膮⒖键c(diǎn)為上一目標(biāo)點(diǎn)，計(jì)算空間誤差時(shí)，需通過上一目標(biāo)點(diǎn)的實(shí)際位置坐標(biāo)計(jì)算相對上一點(diǎn)的幾何誤差，再通過其理論位置坐標(biāo)計(jì)算空間誤差;上一目標(biāo)點(diǎn)的指令值是確定的，而實(shí)際坐標(biāo)不確定，因此會造成幾何誤差計(jì)算不準(zhǔn)確。故與相對坐標(biāo)參考點(diǎn)相比，本文提出的絕對坐標(biāo)參考點(diǎn)可避免由于實(shí)際坐標(biāo)不確定引入的誤差。

2.2 直線運(yùn)動補(bǔ)償算法

如圖3 所示，(X1，Y1，Z1)、(X2，Y2，Z2)分別為直線l 的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，(Xi，Yi，Zi)為第i 個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)，α、β 為直線l 在XY 平面內(nèi)的投影分別與X 軸和Y 軸正向的夾角，γ 為直線l 與其在XY 平面內(nèi)投影的夾角。

由起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)可得直線長度L、sinα、sinβ、sinγ、cosγ;設(shè)定插補(bǔ)精度為，由L 和可得分段數(shù)N，則插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)可由式(16)計(jì)算獲得。

式中:i 表示第i 個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)。由式(16)計(jì)算插補(bǔ)點(diǎn)的理想坐標(biāo)，再由式(15)對理想坐標(biāo)進(jìn)行修正。在修改G代碼時(shí)，可選擇不同的，實(shí)現(xiàn)不同插補(bǔ)精度的補(bǔ)償。

2.3 圓弧運(yùn)動補(bǔ)償算法

如圖4 所示，以XY 平面內(nèi)圓弧插補(bǔ)為例，簡述圓弧插補(bǔ)過程。α 為圓心角，α1與α2分別表示起點(diǎn)、終點(diǎn)向量與X 軸正向夾角，(X1，Y1)、(X2，Y2)、(X0，Y0)為分別為圓弧起點(diǎn)、終點(diǎn)及圓心坐標(biāo)，(Xi，Yi)為第i個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)。

由起點(diǎn)、終點(diǎn)及圓心坐標(biāo)可得α1、α2，則圓心角α可由α1、α2計(jì)算;根據(jù)I、J 值可得圓弧半徑R，則由α和R 可得圓弧長度L;設(shè)定插補(bǔ)精度為L，根據(jù)L、L及R，可得插補(bǔ)分段數(shù)N 和分段圓心角α，則插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)可由式(17)計(jì)算獲得。

式中;i 表示第i 個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)，當(dāng)順時(shí)針時(shí)，在(α1±i×)中取“-”，逆時(shí)針則取“+”。由式(17)計(jì)算插補(bǔ)點(diǎn)的理想坐標(biāo)，再由式(15)對理想坐標(biāo)進(jìn)行修正。I、J為一段圓弧軌跡內(nèi)，圓心坐標(biāo)相對圓弧起點(diǎn)坐標(biāo)方向的增量。

根據(jù)式(18)計(jì)算第i 個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)對應(yīng)Ii、Ji值:

式中:(X0，Y0)為補(bǔ)償前圓心坐標(biāo)，(X(i-1)'，Y(i-1)')為第i-1 個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)修正后的坐標(biāo)。由式(18)計(jì)算的Ii、Ji值，可使補(bǔ)償前、后圓心坐標(biāo)一致，避免了由于補(bǔ)償后圓心坐標(biāo)改變引入的誤差，從而保證了補(bǔ)償精度。在修改G 代碼時(shí)，可選擇不同的，實(shí)現(xiàn)不同插補(bǔ)精度的補(bǔ)償。

3 誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證誤差建模及其補(bǔ)償方法的有效性，采用球桿儀檢測實(shí)驗(yàn)機(jī)床兩軸聯(lián)動時(shí)的動態(tài)性能。將球桿儀兩端分別固定在機(jī)床兩軸上，在兩軸聯(lián)動帶動下產(chǎn)生球桿儀測量運(yùn)動:XY 聯(lián)動時(shí)，使球桿儀往返轉(zhuǎn)動2 圈，每圈360°;XZ 和YZ 聯(lián)動時(shí)，使球桿儀往返轉(zhuǎn)動2 圈，每圈220°。當(dāng)XZ 和YZ 聯(lián)動時(shí)，球桿儀轉(zhuǎn)動整圈會與機(jī)床發(fā)生干涉，故此處取接近極限位置的220°作為球桿儀的測量角度。最后，通過測試獲得的“最大徑向偏差”數(shù)據(jù)評價(jià)補(bǔ)償效果:即最大徑向偏差越小，則補(bǔ)償效果越明顯。

3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)簡介

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)采用山東普魯特機(jī)床廠的DX6080 三軸數(shù)控機(jī)床(圖5)，該機(jī)床X、Y 及Z 軸有效行程分別為580 mm、750 mm、250 mm;采用英國雷尼紹公司的QC-20 球桿儀(圖6)對補(bǔ)償效果進(jìn)行驗(yàn)證，該球桿儀可對機(jī)床兩軸聯(lián)動的綜合性能進(jìn)行檢測。

3.2 幾何誤差檢測

激光干涉儀可檢測除滾動角以外的其它幾何誤差［10］，電子水平儀可對滾動角誤差進(jìn)行檢測［11］。因?qū)嶒?yàn)機(jī)床結(jié)構(gòu)原因，導(dǎo)致電子水平儀測量位置受限，未測量3 軸滾動角誤差，故實(shí)際對3 項(xiàng)定位誤差、3 項(xiàng)垂直度誤差、6 項(xiàng)直線度誤差及6 項(xiàng)角度誤差，共計(jì)18項(xiàng)幾何誤差進(jìn)行了補(bǔ)償。采用英國雷尼紹公司的XL-80 激光干涉儀(圖7)對18 項(xiàng)誤差進(jìn)行檢測。基于幾何誤差測量數(shù)據(jù)，利用提出的G 代碼修改誤差補(bǔ)償方法，自主開發(fā)了G 代碼修改的補(bǔ)償軟件，以獲得補(bǔ)償后的G 代碼。將補(bǔ)償前、后的G 代碼載入機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)，便可開展誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)。

3.3 誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

在空載情況下，機(jī)床分別在XY、XZ 及YZ 平面內(nèi)進(jìn)行圓弧補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，通過球桿儀檢測機(jī)床補(bǔ)償前、后兩軸聯(lián)動的綜合性能(圖6):圓弧測試半徑為150 mm，3個(gè)平面均測量順逆兩圈圓弧且順逆軌跡基本重合(圖8～10)，其中XY 平面為360°圓弧，XZ 與YZ 為220°圓弧。補(bǔ)償結(jié)果如圖8～10 及表1 所示。

由表1 可知，補(bǔ)償后運(yùn)動空間3 個(gè)平面內(nèi)聯(lián)動軌跡誤差減小40%以上，補(bǔ)償效果明顯;同時(shí)，從圖8～10 中可以看出，補(bǔ)償后圓弧圓度也有較大提高。

表1 圓弧補(bǔ)償結(jié)果

4 結(jié)語

為提高數(shù)控機(jī)床運(yùn)動的幾何精度，采用修改G 代碼方式實(shí)現(xiàn)幾何誤差的補(bǔ)償。建立了多軸數(shù)控機(jī)床的空間誤差模型，提出了直線和圓弧軌跡的誤差補(bǔ)償算法。通過球桿儀測試機(jī)床的動態(tài)性能，開展了聯(lián)動軌跡的圓弧補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，得到如下主要結(jié)論:

(1)基于多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換理論，建立了多軸數(shù)控機(jī)床的通用型誤差模型，該模型適用于不同結(jié)構(gòu)的機(jī)床，并以三軸機(jī)床為例建立了其空間誤差模型。

(2)描述了基于修改G 代碼的運(yùn)動誤差補(bǔ)償方法，驗(yàn)證了所提出的三維空間內(nèi)任意直線插補(bǔ)補(bǔ)償算法和可提高圓心位置精度的圓弧插補(bǔ)補(bǔ)償算法的有效性。

(3)在實(shí)驗(yàn)機(jī)床運(yùn)動空間3 個(gè)平面內(nèi)進(jìn)行聯(lián)動軌跡補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)床空間誤差減小40%以上。

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