再入飛行器多約束姿態(tài)控制律設計

李憲強，周 軍

(西北工業(yè)大學 精確制導與控制研究所，西安 710072)

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再入飛行器多約束姿態(tài)控制律設計

李憲強，周 軍

(西北工業(yè)大學 精確制導與控制研究所，西安 710072)

針對存在干擾、輸入約束和狀態(tài)約束的再入飛行器，提出了一種面向控制性能的三環(huán)控制方案。該控制方案的具體結構是內環(huán)中設計了一種自適應滑?？刂品椒?，以保證系統(tǒng)能夠有效跟蹤在線規(guī)劃的最優(yōu)參考模型；外環(huán)在考慮系統(tǒng)不確定性，且不違反控制約束和狀態(tài)約束的前提下，利用在線優(yōu)化算法，設計一種動態(tài)性能最優(yōu)的參考模型；中環(huán)設計了一種干擾邊界估計算法，以對外環(huán)在線規(guī)劃最優(yōu)參考模型時提供輔助手段。經(jīng)過仿真驗證，所提出的三環(huán)控制方案不僅能夠保證系統(tǒng)具有很好的穩(wěn)態(tài)性能，而且能夠保證系統(tǒng)具有快速收斂的動態(tài)性能。

再入飛行器；控制約束；控制性能；參考模型

0 引言

目前在控制系統(tǒng)設計中，不僅要求控制系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)特性，而且對系統(tǒng)動態(tài)特性的要求越來越高。但實際系統(tǒng)常存在著輸入約束和狀態(tài)約束，而且還存在著干擾特性和未建模動態(tài)。對于此問題，目前絕大多數(shù)文獻都是在關注穩(wěn)態(tài)特性的前提下，兼顧動態(tài)特性。因此，對系統(tǒng)動態(tài)特性重視不足，進而使得系統(tǒng)的動態(tài)特性有待進一步提升。例如，為了使得系統(tǒng)具有更好的穩(wěn)態(tài)特性，常采用高增益控制[1]、魯棒控制[2，3]、自適應控制[4]或者變結構控制[5～7]等方法。這些方法確實具有很好的抗干擾特性，但當狀態(tài)和控制輸入存在約束，且初始偏差較大時，為了保證系統(tǒng)滿足約束，參數(shù)的選取往往具有保守性。因此，難于保證系統(tǒng)在整個收斂過程中的動態(tài)特性。相比以上比較關注穩(wěn)態(tài)特性的控制方法，最優(yōu)控制[8-9]能夠保證系統(tǒng)具有良好的動態(tài)特性，但最優(yōu)控制方法的抗干擾能力不強，當系統(tǒng)存在強干擾時，難于保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。因此，最優(yōu)控制方法在實際中應用較少。

根據(jù)以上分析可知，在系統(tǒng)存在干擾和約束的前提下，如何同時保持良好的穩(wěn)態(tài)特性和很快的收斂速率的問題，目前還沒有很好的解決方法。對此，本文提出了一種三環(huán)控制方案。該控制方案，外環(huán)在滿足控制約束和狀態(tài)約束的前提下，以收斂速率為指標函數(shù)，通過在線尋優(yōu)，設計了動態(tài)特性最優(yōu)(收斂速率最快)的參考模型，值得說明的是該在線尋優(yōu)方法的計算量不大，因此不存在難于實現(xiàn)的問題；內環(huán)設計了一種自適應滑?？刂品椒ǎ脕肀ＷC系統(tǒng)在存在干擾情況下，依然能夠對外環(huán)最優(yōu)參考模型進行穩(wěn)定且精確地跟蹤；中環(huán)設計了一種干擾估計方法，用來提供干擾的邊界，以降低外環(huán)在搜尋最優(yōu)參考模型時的保守性。以上三環(huán)控制方法不僅能夠保證系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)特性，而且還能夠保證系統(tǒng)具有最快的收斂速率，這是目前已有的控制方法中所不具備的。

1 問題描述

針對如下數(shù)學模型：

(1)

其中，x1和x2為狀態(tài)；y為輸出；d為干擾；f(x1,x2)為已知項；sat(u)為具有飽和特性的輸入：

(2)

式中u_MAX為最大可用輸入。

在實際，中狀態(tài)會存在約束取值范圍：

(x1,x2)∈Ωx

假設期望的跟蹤軌跡yd滿足：

(4)

本文要解決的問題是在狀態(tài)和輸入都存在約束的情況下，輸出y能夠盡可能快地跟蹤期望的軌跡yd，且跟蹤誤差盡可能的小。

2 控制器結構

設計一種三環(huán)控制結構(見圖1)，具體如下：

(1)外環(huán)路主要是用來對跟蹤軌跡yd進行重新規(guī)劃，具體步驟是在采樣周期T內，考慮存在輸入飽和、狀態(tài)約束以及干擾邊界值的情況下，尋優(yōu)出能夠以最快速率收斂的參考模型yr。

(2)中環(huán)路是用來估計干擾的邊界，以提供外環(huán)尋優(yōu)參考模型時所需的干擾邊界值，這樣可降低外環(huán)尋優(yōu)參考模型時干擾邊界取值的保守性。

(3)內環(huán)路設計了一種自適應滑?？刂疲饕脕肀ＷC系統(tǒng)在存在干擾及不確定情況下，能夠精確跟蹤外環(huán)規(guī)劃出的最優(yōu)參考模型。

值得注意的是，外環(huán)的采樣周期時間尺度應大于內環(huán)，以保證能夠有效尋優(yōu)出最快的收斂模型。

圖1 控制結構框圖Fig.1 Structure of the controller

3 內環(huán)自適應滑?？刂品椒?/h2>

(5)

將式(5)中具有飽和約束的輸入寫成如下形式：

sat(u)=χ(u)·u

(6)

(7)

其中，χ(u)∈(0,1)為輸入的飽和程度，χ(u)越接近0，則飽和程度越嚴重，等于1時，則沒有飽和。

定理1：在如下控制器的控制作用下，系統(tǒng)式(5)的狀態(tài)將是漸進穩(wěn)定的，即e=[e1-e2]T→[0 0]T。

(8)

其中，m>0，n>0。

滑模面為

s(t)=ce1+e2

(9)

式(8)中的自適應項為

(10)

其中，自適應律為

(11)

式中p1和p2為待設計的正常值。

證明：針對系統(tǒng)(5)，選擇李雅普諾夫函數(shù)：

(12)

對式(9)求導，并代入式(5)，可得

(13)

對式(12)進行求導，并代入式(13)，可得

(14)

根據(jù)式(14)，可得

(15)

(16)

根據(jù)式(6)和式(7)，并結合式(16)，可得

(17)

假設飽和函數(shù)χ(u)存在不為零的下界，即存在一個非零常值σ滿足0<σ≤χ(u)≤1。結合式(8)、式(10)和式(17)，可得

|s|(c1+c2|e1|)

(18)

根據(jù)式(18)，進一步可得

(19)

將式(11)代入上式，可得

(20)

(21)

根據(jù)式(19)～式(21)，可得

≤-σs·n·sgn(s)≤0

(22)

根據(jù)李雅普諾夫理論可知，s能夠有收斂到零點。在滑模面上，選擇c>0時，顯然狀態(tài)是漸進收斂的，即e=[e1e2]T→[0 1]T。

注1 ：文中飽和度函數(shù)定義如式(7)。因此，只有當輸入u不為無窮大時，飽和度函數(shù)才能不為零。從式(17)～式(18)的證明過程中，假設飽和度函數(shù)的下界σ不為零是合理的。

注2 ：σ僅在證明過程中用到，沒有出現(xiàn)在控制器中。因此，不需要在線估計σ的值。

注3：以上內環(huán)控制器，在三環(huán)控制回路中的作用是用來保證系統(tǒng)在存在干擾情況下，對外環(huán)最優(yōu)參考模型進行精確跟蹤。

4 中環(huán)干擾邊界估計方法

根據(jù)跟蹤誤差動態(tài)方程(5)，設計干擾觀測器，以估計干擾的大小和邊界。本章的主要作用是降低外環(huán)在線搜尋最優(yōu)參考模型時對干擾邊界取值的保守性。

定理2：存在如下方程：

(24)

5 外環(huán)動態(tài)性能最優(yōu)的參考模型設計

在初始時刻，初始值與yd的偏差較大時，如果yd被直接用來作為參考模型，控制系統(tǒng)將會出現(xiàn)輸入飽和或者狀態(tài)不再滿足約束等情況，從而使得動態(tài)性能無法保證。因此，為了防止不滿足約束的情況發(fā)生，需要對yd進行修正。修正時，在滿足控制約束和狀態(tài)約束范圍的前提下，修正后的參考模型yr應以最快的速率收斂到y(tǒng)d，以保證動態(tài)特性最優(yōu)。接下來，采用在線尋優(yōu)方法，在滿足各種約束的前提下，尋求能夠以最快的速率收斂到y(tǒng)d的在線最優(yōu)參考模型yr。

令式(1)中的：

M=sat(u)+f(x1,x2)+d

(25)

且令重新規(guī)劃的參考模型具有如下形式：

(26)

接下來，基于式(26)，通過在線尋優(yōu)，給出最優(yōu)參考模型。首先，根據(jù)式(26)，可得

(27)

建立如下尋優(yōu)算法：

(28)

以上尋優(yōu)算法為三環(huán)控制提供了最優(yōu)的參考模型。具體來說，在t

6 三環(huán)控制方法在再入飛行器滾轉通道控制中的應用

采用BTT控制形式的再入飛行器滾轉通道的數(shù)學模型如下[11]：

(29)

(30)

以上模型存在如下輸入約束：

(31)

狀態(tài)約束如下：

(z1,z2)∈Ω

(32)

D和c1ωx分別滿足

D=0.2sin(3t+0.5)

(33)

c1ωx∈Ωd{c1ωx||c1ωx|≤0.9}

(34)

滾轉角初值為z1=-0.5 rad，滾轉角速度初值z2=0，期望的角跟蹤指令為yd=1 rad。

接下來，采用文中的三環(huán)控制方法，對式(30)所示的系統(tǒng)進行仿真。作為對比，設計如下滑?？刂品椒╗12]，令滑模面

s=z2+az1

(35)

(36)

取如下趨近律：

(37)

對比式(36)和式(37)，可得滑?？刂坡扇缦拢?/p>

(38)

仿真對比結構見圖2～圖4。

圖2 姿態(tài)角跟蹤誤差收斂效果圖Fig.2 Responses of the attitude tracking error

圖3 輸入對比結果圖Fig.3 Control inputs under the two different controllers

根據(jù)圖2可知，當存在干擾時，本文的三環(huán)控制和滑模控制都具有很好的穩(wěn)態(tài)特性，即抗干擾能力強、控制精度較高。但本文提出的三環(huán)控制的動態(tài)特性要遠好于滑?？刂频膭討B(tài)特性，即三環(huán)控制能夠控制跟蹤誤差以最快的速率收斂，而滑?？刂品椒ǖ恼`差收斂曲線發(fā)生了振蕩。根據(jù)圖3可知，本文提出的三環(huán)控制的輸入始終在約束范圍內，而滑模控制的輸入則出現(xiàn)了飽和現(xiàn)象。

圖4 三環(huán)控制中外環(huán)參考模型Fig.4 Optimal reference model designed in the outer loop

造成以上結果的原因是三環(huán)控制方法在設計控制器時就考慮了，在存在約束前提下，系統(tǒng)的動態(tài)特性如何最優(yōu)的問題。而滑?？刂频脑O計過程過分關注穩(wěn)態(tài)特性，對動態(tài)特性關注不足，從而導致在存在約束情況下，動態(tài)特性無法保證。具體表現(xiàn)就是當初始偏差較大時，滑?？刂茀?shù)的選取變得困難，很容易導致控制輸入的飽和(圖3)。當控制輸入飽和后，系統(tǒng)變成了開環(huán)系統(tǒng)。因此，系統(tǒng)的動態(tài)特性難于保證，從而造成了圖2中滑?？刂聘櫿`差收斂曲線的振蕩現(xiàn)象。而圖3中三環(huán)控制方法的控制輸入始終沒有發(fā)生飽和，且跟蹤誤差能夠以最快的速率收斂，這是由于外環(huán)控制在提供最優(yōu)參考模型時，充分考慮了系統(tǒng)的輸入約束和狀態(tài)約束。所以，只要內環(huán)能夠有效跟蹤外環(huán)最優(yōu)參考模型，就不會發(fā)生控制輸入飽和現(xiàn)象，而且由于外環(huán)提供的是動態(tài)特性最優(yōu)(收斂速率最快)的參考模型。因此，只要系統(tǒng)能夠有效跟蹤，就能夠保證控制系統(tǒng)以最快的速率收斂。圖4給出了外環(huán)最優(yōu)參考模型，顯示了在0.4 s時，外環(huán)最優(yōu)參考模型跟蹤上了系統(tǒng)期望信號。據(jù)圖4可看出，外環(huán)系統(tǒng)每間隔0.05 s給出一次參考指令，而且在初始偏差較大時，給出的指令很小，從而防止控制系統(tǒng)不滿足約束的現(xiàn)象發(fā)生。

7 結論

針對多約束系統(tǒng)設計了一種面向控制性能的三環(huán)控制方案，該方案提供了一種面向控制性能的新型控制結構和相應實現(xiàn)方法，該三環(huán)控制具有以下特點：

(1)通過設計充分考慮系統(tǒng)約束的最優(yōu)參考模型，使得控制輸入在整個控制過程中都不會發(fā)生飽和。而且在設計最優(yōu)參考模型時，充分考慮了系統(tǒng)的收斂速率，能夠確保整個收斂過程中都以最快的速率收斂。

(2)通過設計新型的約束自適應滑模控制方法，確?？刂葡到y(tǒng)具有良好的抗干擾特性和穩(wěn)態(tài)精度。

(3)本文三環(huán)控制方法在具有良好穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能的同時，結構簡便，易于實現(xiàn)。

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(編輯：呂耀輝)

Controller design for the reentry vehicle under multi-constraints

LI Xian-qiang，ZHOU Jun

(Institute of Precision Guidance and Control, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China)

A performance oriented three-loop control scheme is proposed, under the input and state constraints. The specific structure of the control scheme is that, an adaptive sliding mode controller is designed in the inner loop which is used to track the reference model replanted online, and the reference model is designed in the outer loop through using online optimization algorithm, in which the uncertainty and the state constraints are well considered. The bound of the disturbance is estimated in the middle loop, and is used in the design process of the reference model. The three loop controller can not only insure a steady performance, but also insure a fast convergence of dynamic performance. And the efficacy of the method is demonstrated through simulation.

reentry vehicle; control constraints; control performance; reference model

2015-02-12；

：2015-03-23。

國家自然科學基金(61304238)； 國家863項目(2012AA120602)。

李憲強(1986—)，男，博士生，研究方向為導航、制導與控制。E-mail:1740679934@qq.com

V448

A

1006-2793(2015)04-0472-05

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.04.004