特征值與特征向量的兩例應(yīng)用

阮春蕾

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023)

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特征值與特征向量的兩例應(yīng)用

阮春蕾

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023)

以纖維取向張量及大分子構(gòu)型張量的兩類矩陣為例，對(duì)其特征值與特征向量的應(yīng)用進(jìn)行了說明。通過采用特征值與特征向量的信息繪制出取向橢球，直觀地給出纖維及大分子的形變與取向。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：該方法是有效的。

特征值；特征向量；取向張量；構(gòu)型張量

0 引言

特征值與特征向量是線性代數(shù)理論中的基本概念，是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，它在線性代數(shù)和其他科技領(lǐng)域中占據(jù)重要地位。對(duì)特征值與特征向量的應(yīng)用研究，將加深學(xué)生對(duì)相關(guān)理論的理解，提高對(duì)線性代數(shù)課程的興趣。

特征值與特征向量具有多方面的應(yīng)用。例如，文獻(xiàn)[1]采用特征值與特征向量的相關(guān)理論研究了線性微分方程的求解問題。文獻(xiàn)[2]采用方差-協(xié)方差矩陣的特征值與特征向量研究了降水對(duì)地下水位的影響。文獻(xiàn)[3]采用特征值研究了圓柱殼穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[4]采用能量特征向量對(duì)滾錐軸承內(nèi)圈松動(dòng)問題進(jìn)行了探討。因此，特征值與特征向量在數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。

在力學(xué)中，慣量張量、應(yīng)力張量等的分析都可歸結(jié)為求解矩陣特征值與特征向量的問題。本文僅就工程實(shí)際中的兩類張量—纖維取向張量和大分子構(gòu)型張量展開分析，并利用其特征值與特征向量的信息，形象地給出纖維及大分子的可視化顯示。需要指出的是，張量可看成是矩陣的特殊推廣，二維空間中的二階張量對(duì)應(yīng)于一個(gè)二階方陣，而三維空間中的二階張量則對(duì)應(yīng)于一個(gè)三階方陣。

1 纖維取向張量

纖維取向張量往往在研究纖維增強(qiáng)復(fù)合材料力學(xué)性能時(shí)被用到，它反映的是材料在加工時(shí)的纖維取向狀態(tài)，直接影響到復(fù)合材料的彈性模量、剪切模量及泊松比等。

在材料制備過程中，纖維取向張量滿足下面的運(yùn)動(dòng)方程[5]：

(1)

圖1 纖維粒子在流場(chǎng)中的描述

準(zhǔn)確預(yù)測(cè)纖維取向并控制加工過程需要對(duì)纖維統(tǒng)計(jì)狀態(tài)進(jìn)行可視化顯示。當(dāng)流體靜止，即沒有外力的情況下，纖維粒子隨機(jī)分布，是各向同性的，所有可能的取向組成一個(gè)取向球。在流場(chǎng)的作用下，這個(gè)取向球會(huì)發(fā)生變形，形成取向橢球或取向管，如圖1所示。

為了表示纖維在流場(chǎng)中的統(tǒng)計(jì)狀態(tài)，需采用二階纖維取向張量a2的信息。由表達(dá)式可知：a2對(duì)稱正定。因此，可采用橢圓或橢球的方法來獲得纖維的取向狀態(tài)[5-7]，即：在二維時(shí)，通過計(jì)算a2對(duì)應(yīng)的二階矩陣獲得其特征值及特征向量。特征向量代表主軸的方向而相應(yīng)的特征值代表其所在主軸上的長(zhǎng)度，從而獲得相應(yīng)的取向橢圓。在三維情況下，可通過計(jì)算a2對(duì)應(yīng)的三階矩陣獲得相應(yīng)的特征值及特征向量。類似地，可獲得相應(yīng)的取向橢球。取向橢圓或橢球代表了統(tǒng)計(jì)狀態(tài)下纖維的取向及其概率。

(2)

這里，由于a2的對(duì)稱正定性，采用Jacobi方法[8]來計(jì)算a2的特征值與特征向量。Jacobi方法的基本思想是通過引入平面上的旋轉(zhuǎn)矩陣來實(shí)現(xiàn)一系列的正交相似變換，并將原實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，進(jìn)而求出全部的特征值與相應(yīng)的特征向量。采用C++語(yǔ)言編制程序，迭代終止的條件設(shè)為：變換后的對(duì)角矩陣中除對(duì)角線上的元素外，其他元素中的絕對(duì)值的最大值小于10-5。

圖2 不同時(shí)刻的纖維粒子取向狀態(tài)

圖2為不同時(shí)刻的纖維取向狀態(tài)。由圖2可知:不同時(shí)刻下纖維粒子取向狀態(tài)相差很大。在初始時(shí)刻，由于未受到流場(chǎng)的作用，纖維粒子的統(tǒng)計(jì)狀態(tài)為各向同性的取向球，即此時(shí)各向取向概率是相等的，纖維粒子隨機(jī)分布在流場(chǎng)中。隨著流場(chǎng)的作用，纖維粒子的統(tǒng)計(jì)狀態(tài)發(fā)生變化，逐漸向流動(dòng)方向傾斜，呈現(xiàn)出取向橢球和取向管，即此時(shí)纖維粒子在流動(dòng)方向上的取向概率要大于其他方向的概率。這與圖1的分析是一致的。采用特征值與特征向量繪制的圖形能更加直觀地反映粒子的統(tǒng)計(jì)狀態(tài)。

2 大分子構(gòu)型張量

在研究聚合物材料制備過程中，往往需要用到大分子構(gòu)型張量。它反映的是大分子鏈在流場(chǎng)中的取向及形變情況，將直接影響到材料的彈性模量、剪切模量等。

一般而言，熔融狀態(tài)下的聚合物材料可看成是懸浮聚合物大分子鏈的牛頓溶劑，而大分子鏈往往采用彈性啞鈴模型來描述，即用彈簧連接兩端各一個(gè)啞鈴球的模型。通過受力分析，可得到啞鈴球的運(yùn)動(dòng)方程，即Fokker-Planck方程。在假定彈簧彈力滿足Perterlin近似的條件下，可得到FENE-P模型，即[9]

(3)

其中:C為大分子構(gòu)型張量;λ為分子松弛時(shí)間;tr(·)為取跡;b為無量綱化的最大拉伸量。式(3)也被稱為大分子構(gòu)型張量的運(yùn)動(dòng)方程。

微觀尺度上大分子鏈的拉伸與形變受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注。因此，其可視化顯得尤為重要。事實(shí)上，當(dāng)流體靜止時(shí)，聚合物大分子隨機(jī)分布，是各向同性的，所有可能的構(gòu)型組成一個(gè)構(gòu)型球。在流場(chǎng)的作用下，這個(gè)構(gòu)型球會(huì)發(fā)生變形。如果作用力很小，構(gòu)型球發(fā)生彈性形變，變成構(gòu)型橢球。如果作用力很大，構(gòu)型橢球?qū)⑦M(jìn)一步變形，形成構(gòu)型管，如圖3所示。

圖3 聚合物大分子在流場(chǎng)中的描述

(4)

其中：λ=0.029；b=5；C0=δ；dt=10-4。由式(4)計(jì)算獲得不同時(shí)刻的C后，再利用其特征值與特征向量作出相應(yīng)的圖譜。

圖4 不同剪切速率下的大分子取向狀態(tài)

這里，由于C的對(duì)稱正定性，仍然采用Jacobi方法來計(jì)算C的特征值與特征向量，迭代終止的誤差限同例1。圖4為不同剪切速率下的大分子取向狀態(tài)。由圖4可知:在剪切速率較小時(shí)，大分子鏈發(fā)生的形變較小，其統(tǒng)計(jì)狀態(tài)仍然類似于構(gòu)型球；而隨著剪切速率的增加，大分子鏈發(fā)生的形變逐漸增大，并向流動(dòng)方向取向，其統(tǒng)計(jì)狀態(tài)逐漸變?yōu)闃?gòu)型橢球與構(gòu)型管。這與圖3的分析是一致的。采用特征值與特征向量繪制的圖形將大分子的統(tǒng)計(jì)狀態(tài)清晰地顯示出來。

3 結(jié)論

特征值與特征向量在工程中發(fā)揮著重要作用。本文僅以力學(xué)中的纖維取向張量及大分子構(gòu)型張量為例，通過其特征值與特征向量的相關(guān)信息，給出纖維及大分子的可視化顯示。該方法也有望推廣到更多的工程領(lǐng)域中。

[1] 趙曉花,李靈曉.一個(gè)四階非線性微分算子的特征值問題[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,28(4):78-80.

[2] 鄭小菁,劉序儼,韋永祥,等.采用主成分分析方法研究降水對(duì)地下水位的影響[J].地震,2008,28(4):91-102.

[3] 楊民獻(xiàn),張淑芬,王彥生.圓柱殼的屈曲荷載最大化設(shè)計(jì)[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,24(1):71-74.

[4] 蔡海潮,李孟源,陳春朝,等.滾錐軸承內(nèi)圈松動(dòng)的聲發(fā)射診斷[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,28(3):14-17.

[5] Advani S G,Tucker C L.The Use of Tensors to Describe and Predict Fiber Orientation in Short Fiber Composites[J].J Rheol,1987,31:751-784.

[6] Ruan C L,Jie O Y.Microstructures of Fiber Suspensions in Complex Geometry[J].E-polymers,2010,10(1):1088-1100.

[7]Ruan C L,Jie O Y,Zhang H P.Numerical Study on Fiber Suspensions in Non-isothermal Viscoelastic Media[J].International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow,2013,23(3):460-478.

[8] 李慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析[M].5版.北京:清華大學(xué)出版社,2008.

[9] Beris A N,Edwards B J.Thermodynamics of Flowing Systems[M].New York:Oxford University Press,1994.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11402078);河南省科技攻關(guān)基金項(xiàng)目(122102210198);河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)基金項(xiàng)目(14B110020);河南科技大學(xué)青年科學(xué)基金項(xiàng)目(2012QN015)

阮春蕾(1983-),女,浙江臨安人,講師,博士,研究方向?yàn)槠⒎址匠虜?shù)值解.

2014-10-06

1672-6871(2015)06-0087-04

O151.2

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