3—RRR交錯(cuò)軸型平面柔性機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析

摘 要：文章利用柔性鉸鏈替代剛性鉸鏈的設(shè)計(jì)方法，結(jié)合3-RRR型平面平臺(tái)的剛性結(jié)構(gòu)圖設(shè)計(jì)了一個(gè)新的3-RRR型平面柔性平臺(tái)，并運(yùn)用平面二自由度并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方法，對(duì)該型平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的理論分析。在獲得正解結(jié)果的基礎(chǔ)上，結(jié)合有限元仿真分析，對(duì)所得輸出位置結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，在滿足誤差？芨10%的情況下，證明了有限元分析結(jié)果與理論結(jié)果是一致的，且該模型可做位移或平面力傳感器使用。文章所做的研究也為新型多自由度平面型柔性平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析提供借鑒。

關(guān)鍵詞：柔性鉸鏈；3-RRR型平臺(tái)；運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；有限元分析

1 緒論

隨著微納米科技的興起與不斷發(fā)展，具有高精度的精密定位機(jī)構(gòu)在近代科學(xué)的研究領(lǐng)域和尖端工業(yè)生產(chǎn)中扮演著重要的角色。由彈性元件構(gòu)成具有低誤差、無(wú)摩擦、空間小等優(yōu)點(diǎn)的柔性機(jī)構(gòu)，逐漸引起了微精密工程設(shè)計(jì)人員的廣泛關(guān)注。少自由度并聯(lián)機(jī)器人由于其驅(qū)動(dòng)元件少、造價(jià)低、結(jié)構(gòu)緊湊、誤差小、精度高等優(yōu)點(diǎn)。近年來(lái)平面柔性平臺(tái)的應(yīng)用成為機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域中研究的熱點(diǎn)。具體應(yīng)用[1]包括：掃描探針顯微鏡和計(jì)量?jī)x、納米探針掃描、內(nèi)存存儲(chǔ)器、硬盤(pán)驅(qū)動(dòng)器及生物成像等設(shè)備。

文章以3-RRR型平面柔性平臺(tái)為研究對(duì)象，利用二自由度平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)[2]知識(shí)對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的理論分析，得出輸入位移與輸出位移之間的關(guān)系。再結(jié)合柔性鉸鏈、偽剛體模型[3]的知識(shí)，將3-RRR型平臺(tái)三自由平臺(tái)中的轉(zhuǎn)動(dòng)副用交錯(cuò)軸柔性鉸鏈進(jìn)行替換，得到所需柔性機(jī)構(gòu)。并利用有限元分析[4，5]對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解進(jìn)行驗(yàn)證。而且文章所設(shè)計(jì)的平臺(tái)可以采用轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。

2 3-RRR平面柔性機(jī)構(gòu)并聯(lián)設(shè)計(jì)

利用柔性鉸替代剛性鉸的方法進(jìn)行柔性平臺(tái)的設(shè)計(jì)。所采用的剛體模型結(jié)構(gòu)為平面3-RRR并聯(lián)平臺(tái)剛性機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

將每個(gè)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)副都換成柔性轉(zhuǎn)動(dòng)鉸鏈，而柔性鉸鏈的選取有很多種類(lèi)型，如交錯(cuò)軸柔性鉸鏈、裂筒式柔性鉸鏈、車(chē)輪式柔性鉸鏈、直角型柔性鉸鏈、正圓型柔性鉸鏈及三角型柔性鉸鏈等。其結(jié)構(gòu)類(lèi)型圖如圖2所示。

結(jié)合柔性鉸鏈的加工難易程度、位移、柔度、靈敏度等綜合性能指標(biāo)[6]，選取交錯(cuò)軸柔性鉸鏈來(lái)替代剛性結(jié)構(gòu)圖中的轉(zhuǎn)動(dòng)鉸鏈。且當(dāng)柔性構(gòu)件的特征尺寸比滿足H/h>10[7]時(shí)，柔性構(gòu)件中直梁部分可視其為剛性，不考慮其變形，用Solidworks建立3-RRR型平面柔性平臺(tái)，模型及部分尺寸標(biāo)注如圖3所示。對(duì)應(yīng)模型尺寸及坐標(biāo)如表1所示。

根據(jù)表1中給出的數(shù)據(jù)，得到模型輸出點(diǎn)處的初始位置坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即（0，0）。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解及有限元仿真分析

3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

設(shè)末端執(zhí)行器坐標(biāo)為（x0，y0）；三個(gè)基座的坐標(biāo)為（xai，yai），i=1，2，3；六個(gè)被動(dòng)鉸鏈節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為（xbi，ybi），（xci，yci），i=1，2，3；9個(gè)運(yùn)動(dòng)鉸接連桿的長(zhǎng)度分別為lai，lbi，lci，i=1，2，3；三個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)的角度為qai，i=1，2，3；六個(gè)被動(dòng)關(guān)節(jié)的角度為qbi，qci，i=1，2，3；則得到運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式如下：

（1）

設(shè)主動(dòng)關(guān)節(jié)B和被動(dòng)關(guān)節(jié)C坐標(biāo)（xbi，ybi），（xci，yci），i=1，2，3，得到關(guān)節(jié)B、C坐標(biāo)值：

（2）

（3）

將公式（2）、（3）式代入公式（1），可得運(yùn)動(dòng)學(xué)正解關(guān)系式的簡(jiǎn)化結(jié)果。進(jìn)一步消除簡(jiǎn)化結(jié)果中所包含的被動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角項(xiàng)，得到方程式：

用公式（4）中第一個(gè)方程分別減去第二個(gè)和第三個(gè)方程式，消去其中所包含的關(guān)于末端執(zhí)行器坐標(biāo)的而此項(xiàng)，并得到如下的二元一次方程組：

（5）

在式（5）中，對(duì)di的定義如下式：

（6）

由公式（2）、（3）、（6）可知，在基座坐標(biāo)和連桿長(zhǎng)度都已知的情況下，di和（xci，yci）i=1，2，3，的值完全由主動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角決定，因此當(dāng)qai，i=1，2，3已知時(shí)，對(duì)公式（5）進(jìn)行求解方程組從而得輸出平臺(tái)的X，Y軸向的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解為：

（7）

對(duì)整個(gè)柔性平臺(tái)而言，實(shí)際輸入點(diǎn)為B1、B2、B3，需將上述公式中的（xci，yci），i=1，2，3，進(jìn)行處理，結(jié)合剛性結(jié)構(gòu)件圖，得出轉(zhuǎn)化公式如下：

（8）

式中：ldi，i為C1、C2、C3之間的距離。

在求出末端執(zhí)行器坐標(biāo)（x0，y0）后，求出對(duì)應(yīng)被動(dòng)關(guān)節(jié)qci，i=1，2，3角度，同理也可求出qci，i=1，2，3角度。

（9）

3.2 有限元仿真分析

將所繪制模型導(dǎo)入有限元分析軟件中，選取模型材料為結(jié)構(gòu)鋼，并自動(dòng)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，對(duì)輸入桿1、2、3分別施加2.2N.m的扭矩，分別測(cè)出對(duì)應(yīng)主動(dòng)輸入點(diǎn)Bi和被動(dòng)輸入點(diǎn)Ci及輸出點(diǎn)（x0，y0）在X、Y軸向的位移。材料性能參數(shù)及輸入為1N.m時(shí)所測(cè)得數(shù)據(jù)如表2、表3所示。

表2 選取材料的性能參數(shù)

將表3中桿La1受扭矩時(shí)Bi位移坐標(biāo)加原坐標(biāo)代入公式（8）中，得到被動(dòng)輸入點(diǎn)Ci坐標(biāo)為（-46.089112，26.507235）、（-2.778049，-48.508162）、（40.530833， 26.506484），將計(jì)算所得Ci坐標(biāo)代入公式（7）中，得到理論計(jì)算輸出結(jié)果為x0=0.002779356，y0=0.001501870，與有限元分析所得結(jié)果誤差在X、Y軸向分別為3.04%、-4.64%；同理，另外兩桿受扭矩時(shí)，有限元輸出結(jié)果與計(jì)算結(jié)果誤差分別為0 、4.61%；6.16%、-0.76%。之所以將桿La2在X軸向位移設(shè)為0，是因?yàn)樵谠撦S向的位移相對(duì)Y軸向位移差別為1000倍。其他位置誤差產(chǎn)生的原因?yàn)槿嵝糟q鏈變形過(guò)程為非線性，且偽剛體模型為近似求解方法，故存在誤差，而計(jì)算誤差[5，8，9]均小于10% ，所以計(jì)算數(shù)據(jù)合理。通過(guò)有限元分析及理論分析得出計(jì)算結(jié)果是一致的，也證明了設(shè)計(jì)的合理性。

通過(guò)有限元分析獲得的應(yīng)力云圖和位移云圖如圖4所示。從應(yīng)力云圖、位移云圖以及材料的最大許用應(yīng)力和安全系數(shù)可以得出，當(dāng)輸入桿為1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的輸出點(diǎn)處位移范圍從（-0.0028666，-0.0016556）到（0.0028666，

0.0016556）。同理也可以得出另兩個(gè)輸入桿為主動(dòng)輸入時(shí)所對(duì)應(yīng)輸出位移范圍。

4 結(jié)束語(yǔ)

文章利用結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的3-RRR型剛體結(jié)構(gòu)圖為基礎(chǔ) ，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分析，得出輸入點(diǎn)與輸出點(diǎn)的關(guān)系式。結(jié)合柔性機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，將剛體模型結(jié)構(gòu)圖中的轉(zhuǎn)動(dòng)副用易于加工、靈敏度高等特點(diǎn)的交錯(cuò)軸柔性鉸鏈進(jìn)行替代，得到具有三自由度的柔性平臺(tái)模型。通過(guò)有限元分析軟件，對(duì)所建模型進(jìn)行分析，將分析結(jié)果通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解公式求解，并對(duì)比理論分析與有限元分析結(jié)果，誤差小于10%。說(shuō)明運(yùn)動(dòng)學(xué)正解正確，同時(shí)也說(shuō)明了建立的模型比較精確，可以直接用于其它尺寸的同樣模型來(lái)分析，而且該模型可以做位移或平面力傳感器使用。

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作者簡(jiǎn)介：趙鵬（1984-），男，漢族，遼寧撫順人，在讀碩士，研究方向：機(jī)械制造。