淺談微分方程模型及其應(yīng)用

何云強

摘 要：微分方程模型應(yīng)用于解決實際問題有非常大的研究空間，本文重點討論了微分方程的原理，微分方程思想對于解決現(xiàn)實問題的啟示以及現(xiàn)實生活中利用微分方程模型解決具體問題的案例，旨在進行微分方程理論學(xué)習之余提出自己的一些思考。

關(guān)鍵詞：微分方程；模型；應(yīng)用

對于現(xiàn)實世界的變化，人們關(guān)注的往往是變量之間的變化率，或變化速度、加速度以及所處的位置隨時間的發(fā)展規(guī)律，之中的規(guī)律一般可以寫成一個（偏）微分方程或方程組。所以實際問題中，有大批的問題可以用微分方程來建立數(shù)學(xué)模型，涉及的領(lǐng)域包括物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、力學(xué)、政治、經(jīng)濟、軍事、人口、資源等等。

一、微分方程數(shù)學(xué)原理解析

在初等數(shù)學(xué)中，方程有很多種，比如線性方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程等，然而并不能解決所有的實際問題。要研究實際問題就要尋求滿足某些條件的一個或幾個未知數(shù)方程。這類問題的基本思想和初等數(shù)學(xué)的解方程思想有著許多的相似之處，但是在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面依然存在很多不同的地方，為了解決這類問題，從而產(chǎn)生了微分方程。

微分方程是許多理工科專業(yè)需要開設(shè)的基礎(chǔ)課程，微分方程與微積分是同時產(chǎn)生的，一開始就成為人類認識世界和改造世界的有力工具，隨著生產(chǎn)實踐和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，該學(xué)科已經(jīng)演變發(fā)展為數(shù)學(xué)學(xué)科理論中理論聯(lián)系實際的一個重要分支。隨著數(shù)學(xué)建?；顒拥娜找婊钴S，利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型，成為解決實際問題不可或缺的方法與工具。

而數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語對部分現(xiàn)實世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。

二、微分方程模型應(yīng)用于實際問題的方法和流程總結(jié)

在研究實際問題時，常常會聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求微分方程。

一般用于求解微分方程的方法或形式有三種，分別是求解析解、求數(shù)值解（近似解）和定性理論方法。而建立微分方程模型的方法通常也有三種，其一是利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實驗檢驗的規(guī)律等來建立微分方程模型；其二是利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律；其三是在生物、經(jīng)濟等學(xué)科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時在不同的假設(shè)下去模擬實際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現(xiàn)象。

在建立數(shù)學(xué)微分方程的流程上，我們通常第一步是對具體實際問題進行分析，找出問題中的變化量和變量關(guān)系，接著進行模型假設(shè)，將實際問題的元素用數(shù)學(xué)概念代替，然后進行符號設(shè)定，簡化計算，從而建立模型，進行求解，最后用求解的結(jié)果對之前的問題分析和模型假設(shè)進行驗證，驗證合理后進行模型的應(yīng)用和評估。

三、微分方程模型應(yīng)用領(lǐng)域歸納和具體案例分析

從應(yīng)用領(lǐng)域上講，微分方程大方向上的應(yīng)用領(lǐng)域主要分社會及市場經(jīng)濟、戰(zhàn)爭微分模型分析、人口與動物世界、疾病的傳染與診斷和自然科學(xué)這五個方面，如果細致來講，其中社會及市場經(jīng)濟方面又包括綜合國力的微分方程模型、誘發(fā)投資與加速發(fā)展的微分方程模型、經(jīng)濟調(diào)整的微分方程模型、廣告的微分方程模型、價格的微分方程模型；戰(zhàn)爭微分模型包括軍備競賽的微分方程模型、戰(zhàn)爭的微分方程模型、戰(zhàn)斗中生存可能性的微分方程模型、戰(zhàn)爭的預(yù)測與評估模型；人口與動物世界領(lǐng)域包括單種群模型及進行開發(fā)的單種群模型、弱肉強食模型、兩個物種在同一生態(tài)龕中的競爭排斥模型、無管理的魚類捕撈模型、人口預(yù)測與控制模型；疾病傳染與診斷領(lǐng)域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病診斷的微分方程模型、人體內(nèi)碘的微分方程模型、藥物在體內(nèi)的分布與排除模型；自然科學(xué)領(lǐng)域包括人造衛(wèi)星運動的微分方程模型、航空航天器翻滾控制的微分方程模型、非線性振動的微分方程模型、PLC電路自激振蕩的微分方程模型和盯梢與追擊問題的微分方程模型等。

盡管從上述微分方程應(yīng)用領(lǐng)域的羅列和總結(jié)上，我們會覺得比較復(fù)雜，其實所有微分方程建模問題的流程都是嚴格按照問題分析、模型假設(shè)、符號設(shè)定、建立模型、模型求解和驗證模型這一流程進行的，下面就結(jié)合一個案例來具體分析：

比如弱肉強食微分方程模型。生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進行著殘酷的生存競爭。設(shè)想一海島，居住著狐貍與野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之豐富，兔子們無無食之憂，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐貍數(shù)量增加吃掉大量兔子，狐群又進入饑餓狀態(tài)而使其總數(shù)下降，這時兔子相對安全，于是兔子總數(shù)回升。就這樣，狐兔數(shù)目交替地增減，無休止的循環(huán)，遂形成生態(tài)的動態(tài)平衡。那么，如何用建立數(shù)學(xué)模型描述并預(yù)測下一階段情況呢？在這個問題上，某一時刻兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量就存在變量關(guān)系：

其中ax表示兔子的繁殖速度與現(xiàn)存兔子數(shù)成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；-cy表示狐貍因同類爭食造成的死亡速度與狐貍總數(shù)成正比；dxy表示狐兔相遇，對狐貍有好處而使狐貍繁殖增加的速度。

四、結(jié)語

微分方程模型的應(yīng)用讓很多現(xiàn)實中難以具體計算的問題迎刃而解，通過對事物發(fā)展規(guī)律的掌控進行科學(xué)建模，是數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的發(fā)展趨勢，作為廣大在校進行數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習的同學(xué)來說，掌握好專業(yè)基本功，是將來就業(yè)工作，實現(xiàn)自身價值的重要途徑。

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