拉蓋爾-高斯渦旋光束傳播中的相位變化分析

魏 勇，朱艷英

(1.燕山大學(xué)理學(xué)院，秦皇島066004;2.燕山大學(xué)里仁學(xué)院，秦皇島066004)

引 言

渦旋光束又稱作暗中空光束或空心光束，即在傳播方向上其中心的光強(qiáng)保持為0［1］。渦旋光束還有其它特殊的光學(xué)特性，包括傳播過程中光強(qiáng)呈現(xiàn)為環(huán)狀分布、具有螺旋形的波前結(jié)構(gòu)、長距離傳播時穩(wěn)定性以及中心暗斑尺寸極小，同時渦旋光束本身不僅具有線性動量還攜帶有軌道角動量以及拓?fù)浜蓴?shù)［2-4］。它為空間光學(xué)通信、微生物科學(xué)、數(shù)學(xué)物理以及光學(xué)模擬計算提供了新的研究途徑［5-7］。由于渦旋光束中心的光強(qiáng)為0，這就大大減小了光束沿軸向的散射力，所以用渦旋光束代替高斯激光束來囚禁粒子時，在光束的軸心附近幾乎沒有光透過粒子，這樣不僅可以大幅度提高囚禁粒子的效率，還可以降低光束對生物細(xì)胞的熱損傷［8］。目前，人們研究發(fā)現(xiàn)渦旋光束可以作為傳輸信息的載體［9］，利用渦旋光束在自由空間進(jìn)行信息的傳輸已經(jīng)成為一個新的研究方向。傳統(tǒng)光通信編碼技術(shù)是通過光的偏正態(tài)進(jìn)行計算，而渦旋光束是利用軌道角動量進(jìn)行。后者相比之下對傳輸信息的容量［10］實現(xiàn)了極大的提高，并且通過研究表明，根據(jù)渦旋光束軌道角動量實現(xiàn)的光學(xué)編碼技術(shù)其保密性更強(qiáng)［11］，進(jìn)一步分析了拉蓋爾-高斯光束在大氣湍流中傳輸時的螺旋譜和系統(tǒng)容量等?？梢姡瑴u旋光束在囚禁和操縱微小粒子、量子信息處理等方面都具有巨大的應(yīng)用前景［12-15］。

長時間以來，關(guān)于渦旋光束的傳輸研究都認(rèn)為該光束在傳輸過程中會保持較高的穩(wěn)定性，其實渦旋光束在傳播一段距離后，觀察平面上與源平面上的相位分布會出現(xiàn)較大的差異，并且拓?fù)浜傻恼?fù)性決定等相位線彎曲的方向，尤其是忽視了對拓?fù)浜蓴?shù)為分?jǐn)?shù)情況的討論。本文中主要針對渦旋光束在傳輸過程中的相位變化進(jìn)行理論推導(dǎo)，在通過MALAB數(shù)值模擬的前提下，分析了渦旋光束在不同觀察平面和正負(fù)拓?fù)浜蓵r的相位變化情況，尤其是對整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階相位奇點的穩(wěn)定性進(jìn)行了比較，該結(jié)論對光信息編碼時的遠(yuǎn)距離傳輸選擇有理論參考價值。

1 渦旋光束的傳播理論

沿著z軸傳輸?shù)母咚构馐?jīng)過擴(kuò)束系統(tǒng)射入螺旋相位板后，出射光束就是拉蓋爾-高斯渦旋光束［1］。在螺旋相位板出射面z=0處的光場可以表示為:

式中，E0(ρ/σ)是初始強(qiáng)度，σ為光束的光斑尺寸，l為拓?fù)浜蓴?shù)，可以取整數(shù)或者分?jǐn)?shù)，ρ和φ分別表示極徑和極角。渦旋光束的波前具有螺旋形相位結(jié)構(gòu)，在源平面處其等相位線呈發(fā)散的射線狀出射。利用自由空間傳輸時的菲涅耳衍射公式，傳輸一定距離后的渦旋光場分布為:

式中，k=2π/λ為波矢的大小。如圖1所示，螺旋相位板為源平面(z=0)，其坐標(biāo)用(x'，y')表示，經(jīng)螺旋相位板出射的即為渦旋光束，傳輸一定距離z后規(guī)定為光束的觀察平面，其坐標(biāo)為(x，y)。

Fig.1 Structure diagram of Gaussian beam on the source plane and the observation plane

將(1)式進(jìn)行極坐標(biāo)-平面坐標(biāo)變換后代入(2)式中，其光場分布的表達(dá)式為:

通過對(3)式進(jìn)一步處理為:

為深入分析拉蓋爾-高斯渦旋光束傳輸一定距離后的光場分布，通過(4)式做進(jìn)一步的變化使其與(1)式相似，其變換后的表達(dá)式為:

2 相位分布的模擬分析

當(dāng)渦旋光束傳輸一定距離z后，由(5)式可以得出，其拓?fù)浜蓴?shù)并未改變，只是觀察平面上的光場相位分布發(fā)生變化。(5)式指數(shù)函數(shù)項中前者表示傳輸項，后者為光束觀察平面上的相位改變。另外，渦旋光束在源平面上(z=0m)的相位分布取決于lθ，即環(huán)繞一周其相位變化為2π的l倍，等相位線是由一系列自光束中心發(fā)出的沿半徑指向的射線［3］所構(gòu)成。通過對源平面的相位分布進(jìn)行模擬，這里渦旋光束的波長取為λ=632.8nm，其光斑尺寸為σ=0.5mm。圖2所示即為渦旋光束在源平面上的相位分布，取拓?fù)浜蓴?shù)分別為l=3和l=4。

Fig.2 Phase distribution of vortex beam on the source plane

拉蓋爾-高斯渦旋光束傳輸一定的距離之后，其光場的相位結(jié)構(gòu)分布取決于下面的式子:

式中，C表示常量。

下面對渦旋光束在觀察平面上(z為任意值)的相位分布進(jìn)行模擬分析，其中取光束的傳輸距離z=1m。如圖3所示，即為渦旋光束在觀察平面z上的相位分布情況，其中拓?fù)浜蓴?shù)分別為l=3和l=4，和圖2中的拓?fù)浜杀３忠恢隆?/p>

Fig.3 Phase distribution of vortex beam on the observed plane when topological charge is positive

通過圖2與圖3對比發(fā)現(xiàn)，對于任意拓?fù)鋽?shù)l的拉蓋爾-高斯渦旋光束，在源平面(z=0m)處的拓?fù)浜蓴?shù)l與光場的等相位線的周期數(shù)取得一致，且在源平面上的等相位線都是從原點發(fā)散出的射線。當(dāng)渦旋光束傳輸一定距離z后，其觀察平面上的等相位線由射線變成了花瓣狀的弧線，并且光束的拓?fù)浜蓴?shù)與等相位線的花瓣數(shù)相同，該結(jié)果與理論分析完全一致。

下面討論拓?fù)浜蓴?shù)與圖3相反時拉蓋爾-高斯渦旋光束的相位分布，即拓?fù)浜蓴?shù)分別變?yōu)閘=－3和l=－4，依然取光束的傳輸距離為z=1m，結(jié)果如圖4所示。通過與圖3二者進(jìn)行比較可以得出，兩圖中的光場相位分布呈明顯的鏡像對稱關(guān)系，即拓?fù)浜蓴?shù)l取正數(shù)時，其光束的等相位線為順時針環(huán)繞彎曲方向，而當(dāng)拓?fù)浜蓴?shù)l為負(fù)值時，光束的等相位線變?yōu)槟鏁r針環(huán)繞彎曲方向，二者恰好互為反向。

Fig.4 Phase distribution of vortex beam on the observed plane when topological charge is negative

3 相位奇點穩(wěn)定性的討論

渦旋光束在傳輸過程中其中心的光強(qiáng)始終保持為0，則中心處暗核處即為渦旋光束的相位奇點［1］。以前的理論研究得出，相位中心在光束傳播過程中能夠一直穩(wěn)定，通過對低階的渦旋光束進(jìn)行了實驗驗證，結(jié)果表明，光束在傳輸過程中其暗中空的特性恒定［3］。上述分析都是針對于光束的拓?fù)浜蓴?shù)大于1的情況，而對拓?fù)浜蓴?shù)是分?jǐn)?shù)的情況并沒有進(jìn)行理論和實驗上的討論，其結(jié)論并不嚴(yán)密。

渦旋光束在源平面(z=0m)處的光場分布可用(1)式表示，其中拓?fù)浜蓴?shù)l可以為任意值，可知l取整數(shù)或者分?jǐn)?shù)時，在源平面處的中心處光強(qiáng)都為0，即是暗斑，其光斑都為環(huán)狀。通過對源平面處渦旋光束的光強(qiáng)分布進(jìn)行數(shù)值分析，結(jié)果如圖5所示，其中圖5a和圖5b分別為拓?fù)浜蓴?shù)l取整數(shù)和分?jǐn)?shù)時的光強(qiáng)分布模擬圖，可以看出二者皆為環(huán)狀結(jié)構(gòu)，其中心強(qiáng)度為0。

當(dāng)渦旋光束拓?fù)浜蒷取整數(shù)時，傳輸一定距離后在觀察平面處的光場分布可用(4)式表示。光場的幾何中心(x=0，y=0)處光強(qiáng)仍然保持為0，即為相位奇點的位置。但當(dāng)拓?fù)浜蓴?shù)l取分?jǐn)?shù)時，(4)式不再適用于表示觀察平面處的光強(qiáng)，通過衍射推導(dǎo)，其光場分布的表達(dá)式為:

將(7)式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，其極坐標(biāo)可以表示為:

由圖5a和圖5c以及圖5b和圖5d分別對比可以得出，當(dāng)渦旋光束的拓?fù)浜蓴?shù)l取整數(shù)時，在觀察平面處的光斑會保持一定尺寸的展寬，且光束的相位奇點穩(wěn)定。而當(dāng)拓?fù)浜蓴?shù)l取小于1的分?jǐn)?shù)時，渦旋光束在源平面處光束依然會具有對稱性，但在觀察平面處的中心光強(qiáng)不為0，中心為暗核的特點消失，即光束的相位奇點不再具有穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

對利用螺旋相位板獲取渦旋光束在傳播過程中的相位演變情況進(jìn)行了研究。通過理論分析和數(shù)值模擬，得出渦旋光束在傳輸過程中等相位線的花瓣狀弧線分布以及分?jǐn)?shù)階光束相位奇點不穩(wěn)定的結(jié)論。近年來，光信息在自由空間的通信技術(shù)發(fā)展迅速，而光信息主要是依賴拓?fù)浜蓴?shù)進(jìn)行代碼的編寫［3，9］，因此渦旋光束在這個技術(shù)領(lǐng)域可以得到廣泛的應(yīng)用。渦旋光束在傳輸一定的距離后，拓?fù)浜蔀檎麛?shù)階渦旋光束的相位具有穩(wěn)定性，因而適合進(jìn)行光信息的編碼。但是，小于1的分?jǐn)?shù)階光束的相位奇點由于不再具有穩(wěn)定性，故光束經(jīng)過長遠(yuǎn)距離的傳輸后會導(dǎo)致信息光源很難與探測中心對準(zhǔn)，因此，光束經(jīng)過長遠(yuǎn)距離的傳輸后會出現(xiàn)信息失真現(xiàn)象，所以在進(jìn)行光信息編碼時，應(yīng)盡量避免使用分?jǐn)?shù)階的渦旋光束。

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