基于小波變換和ROF模型的圖像去噪算法

王利娜，何文章，李長領(lǐng)，梁 婕

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)汽車與交通學(xué)院，天津 300222）

基于小波變換和ROF模型的圖像去噪算法

王利娜1，何文章1，李長領(lǐng)2，梁 婕1

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)汽車與交通學(xué)院，天津 300222）

小波變換和ROF模型是常用的圖像去噪方法。為了獲取高質(zhì)量圖像，降低或消除噪聲對圖像的影響，提出了一種新的圖像去噪算法。該方法對噪聲圖像進(jìn)行小波分解，并對其高頻部分進(jìn)行閾值去噪，之后利用ROF和拉普拉斯算子結(jié)合的模型去噪，并進(jìn)行小波重構(gòu)，得到最終的去噪圖像。實驗結(jié)果表明，此算法的去噪效果比小波去噪或ROF去噪明顯，能在有效抑制圖像噪聲的同時，更好地保持圖像的邊緣、紋理等特征，有效地提高了圖像質(zhì)量。

圖像去噪；小波變換；ROF模型；拉普拉斯算子

圖像在傳輸、轉(zhuǎn)換和存儲過程中，會產(chǎn)生一定的失真，造成圖像質(zhì)量下降，典型的表現(xiàn)為圖像模糊、含有噪聲等，噪聲的產(chǎn)生為圖像的進(jìn)一步處理增加了困難。因此，為了抑制噪聲，改善圖像質(zhì)量，對含有噪聲的圖像進(jìn)行圖像去噪就顯得尤為重要。傳統(tǒng)的圖像去噪方法主要有2大類，分別是空域濾波和頻域濾波，這些方法主要是通過濾除圖像的高頻成分來達(dá)到去除噪聲的目的。由于這些方法主要是對圖像整體信息進(jìn)行處理，很容易將圖像的一些細(xì)節(jié)信息濾除，導(dǎo)致恢復(fù)圖像看起來比較模糊，處理效果不夠理想。20世紀(jì)90年代以來，使用偏微分方程（PDE）進(jìn)行圖像處理的方法獲得了較大的發(fā)展，其中最著名的就是Rudin、Osher和Fatemi提出的基于全變分的圖像去噪模型（ROF模型）[1]，該模型可以很好地保持邊緣信息和抑制圖像的噪聲，但是該模型在去噪過程中運算量大，運算效率不如傳統(tǒng)圖像去噪方法且在圖像去噪后容易產(chǎn)生階梯效應(yīng)。近年來，小波理論得到了快速發(fā)展，很多學(xué)者也應(yīng)用小波進(jìn)行降噪，獲得了較好的效果。但由于小波變換不具有平移不變性，所以直接用小波變換降噪得到的降噪圖像存在Gibbs效應(yīng)[2]。目前對ROF模型和小波變換的聯(lián)合去噪方法還很少，本文基于ROF模型與小波變換的算法，首先建立了ROF模型和拉普拉斯算子的聯(lián)合去噪模型（簡稱RL模型），然后經(jīng)小波變換對圖像高頻進(jìn)行閾值去噪后，對其高頻分量進(jìn)行RL模型去噪，最后再經(jīng)小波重構(gòu)得到最終去噪圖像。本文方法克服了單純運用小波變換或ROF模型的不足，能夠在保持圖像邊緣等信息的同時，達(dá)到良好的去噪效果。

1 小波變換和ROF模型去噪原理

1.1 小波變換去噪原理

近年來，小波理論得到快速發(fā)展，由于其具備良好的時頻特性，因而實際應(yīng)用非常廣泛。在降噪領(lǐng)域中，很多學(xué)者也應(yīng)用小波進(jìn)行降噪，獲得了良好效果。在數(shù)學(xué)上，小波去噪問題本質(zhì)是一個函數(shù)逼近問題，是通過在小波母函數(shù)伸縮和平移所張成的函數(shù)空間中，根據(jù)所給出的衡量準(zhǔn)則，尋找出對原始信號的最佳逼近，以完成原信號和噪聲信號的區(qū)分[3]。小波去噪是特征提取和低通濾波功能的綜合，其去噪過程如圖1所示。

圖1 小波變換去噪過程

目前，基于閾值收縮的小波降噪方法的研究非?；钴S[4-5]，并且閾值收縮方法在去除高斯白噪聲方面取得了很大成功。本文設(shè)定圖像噪聲為高斯白噪聲，選用閾值收縮的方法進(jìn)行圖像去噪。該方法的關(guān)鍵在于確定閾值和閾值函數(shù)。對于確定閾值的方法，引用1992年Donoho等[4]提出的小波閾值收縮方法。這種方法從某種漸進(jìn)意義上證明了該閾值的最優(yōu)性，此方法給出了閾值公式為:

Bruce等[6]在高斯白噪聲條件下，得到了軟閾值和硬閾值收縮方法的偏差、方差、L2風(fēng)險公式及其結(jié)論。通過對比分析，本文選用軟閾值方法進(jìn)行處理，軟閾值相對于硬閾值處理結(jié)果較為平滑，造成的偽“Gibbs”效應(yīng)相對較小。軟閾值方法表達(dá)式如下:

1.2 ROF模型去噪原理

ROF模型是1992年由Rudin等[1]提出的基于全變分思想的方法模型，其基本思想是帶有噪聲的圖像的總變分總是大于沒有噪聲的圖像的總變分。ROF模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

式中:u為原始圖像；u0為帶噪聲圖像；▽u為梯度算子；為梯度算子的模；λ為約束參數(shù)，且λ≥0。當(dāng)λ=0時，式（3）為總變分公式（TV）式（3）中部分是對圖像能量的估計，起到平滑作用，稱為正則項；這部分表示恢復(fù)的圖像u與噪聲圖像u0的差別，稱為保真項，即使恢復(fù)前后的圖像保持在一定的差別之內(nèi)。λ起到平衡正則項與保真項的作用，λ值越大，恢復(fù)的圖像u越接近u0[7]。

ROF模型表達(dá)式的歐拉—拉格朗日方程為:

對于約束參數(shù)λ的選擇，由于選擇常數(shù)作為約束參數(shù)的方法僅適用于噪聲規(guī)模較小的圖像，這里采用在文獻(xiàn)[1]中給出的計算方法，λ的計算為:

其中，設(shè)定第一次迭代λ=0。這種方法在每次迭代過程都進(jìn)行更新，使得每次去噪過程對λ的選擇更加合適，得到的結(jié)果也更加理想。

2 聯(lián)合去噪算法

小波變換與ROF模型在去噪過程中各有其優(yōu)點，但只運用小波去噪在重構(gòu)圖像后容易產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象，只進(jìn)行ROF模型去噪后容易產(chǎn)生階梯效應(yīng)，因此可以把兩者結(jié)合起來，在圖像去噪中發(fā)揮各自的優(yōu)勢，從而在去除噪聲的同時，達(dá)到提升圖像質(zhì)量的目的。

由于含噪圖像的噪聲主要集中在圖像的高頻部分，所以首先對圖像進(jìn)行小波變換分解，只對高頻分量進(jìn)行閾值處理，然后對高頻分量運用ROF模型算法去噪，最后進(jìn)行小波重構(gòu)得到去噪圖像。通過小波去噪，圖像的大部分噪聲將會被消除，這樣再運用ROF模型進(jìn)行去噪，即可有效減少或避免直接進(jìn)行ROF去噪產(chǎn)生的階梯效應(yīng)。由于噪聲圖像經(jīng)過多次小波變換后圖像會逐漸變得模糊，而ROF模型對圖像去噪的同時具有保真項的約束，對圖像的保真程度相對較好，所以對噪聲圖像只運用一次小波變換進(jìn)行去噪，保證大部分噪聲被濾除即可。但即便如此，圖像的邊緣仍然會受到一定的影響，因此有必要對圖像進(jìn)行銳化處理。拉普拉斯銳化能在保留圖像基本信息的基礎(chǔ)上，使圖像細(xì)節(jié)顯現(xiàn)出來。拉普拉斯銳化是利用拉普拉斯算子對圖像進(jìn)行邊緣增強(qiáng)的一種方法，其基本思想為:當(dāng)鄰域的中心像素低于它所在的鄰域內(nèi)其他像素的平均灰度時，此中心像素的灰度應(yīng)該進(jìn)一步降低，反之同理，依此實現(xiàn)對圖像的銳化處理。

利用加權(quán)系數(shù)把ROF模型與拉普拉斯算子的模型相結(jié)合，得到新的去噪模型（簡稱RL模型），從而使ROF模型去噪與拉普拉斯銳化同時進(jìn)行，RL模型表達(dá)式如下:

本文算法的主要步驟如下:

（1）對噪聲圖像進(jìn)行小波分解。

（2）對小波分解后的3個高頻分量分別進(jìn)行采用軟閾值方法進(jìn)行閾值處理，閾值的確定根據(jù)式（2）計算。

（3）對經(jīng)過閾值處理后的3個高頻分量運用RL模型算法去噪，采用迭代運算，直到收斂；其中RL模型具體步驟為:

i.初始化各參數(shù)，τ、△t、迭代收斂值ε、n=0、ROF正則項R=u0、拉普拉斯算子L=u0，執(zhí)行下一步；

iv.根據(jù)式（6）計算λ，并帶入式（7）計算un+1（i，j），令Rn+1（i，j）=Ln+1（i，j）=un+1（i，j），返回ii。

（4）通過小波重構(gòu)得到去噪圖像。

3 實驗結(jié)果與分析

通過對各種小波去噪效果的實驗比較，本文選用sym4小波進(jìn)行小波變換。研究選用加入噪聲方差為20的Cameraman圖像進(jìn)行實驗，對RL模型權(quán)值的選取，通過仿真實驗，設(shè)置權(quán)值改變步長為0.01。經(jīng)過對實驗結(jié)果的綜合分析，選取權(quán)值τ=0.88。去噪的處理結(jié)果如圖2所示。為了更清晰地比較去噪效果，文中顯示了去噪后的局部效果，如圖3所示。

圖2 Cameraman圖像去噪結(jié)果比較

圖3 Cameraman圖像局部去噪結(jié)果比較

為驗證本文算法的有效性，采用峰值信噪比（PSNR）和最小均方差（MSE）進(jìn)行檢驗，處理結(jié)果如表1和表2所示。

表1 圖像去噪后的PSNR

表2 圖像去噪后的MSE

表1為Cameraman分別加入方差為10、20、40噪聲后各種方法去噪后的PSNR，表2為Cameraman分別加入方差為 10、20、40噪聲后各方法去噪后的MSE。從表1和表2中可以看出，本文算法比其他算法PSNR有一定程度上的增加，同時MSE也相對較小，而且噪聲方差越小，本文算法相對其他幾種算法的去噪效果更好。

從以上實驗結(jié)果看，幾種算法都能去除一定的噪聲，但是去除噪聲的效果差異很大。從圖2可以看出，在去除噪聲方面，TV模型和小波閾值處理明顯不如ROF模型和本文算法。進(jìn)一步從圖3局部去噪效果可以看出，ROF模型去噪效果明顯，平滑效果和邊緣保持都比較好，但是圖像存在一定的階梯效應(yīng)；本文算法和ROF模型相比，階梯效應(yīng)明顯減弱，同時也有效地抑制了Gibbs現(xiàn)象。

4 結(jié)束語

小波變換和ROF模型是圖像去噪的2種常用方法，本文通過分析其特點，針對其不足，提出了一種結(jié)合小波變換和ROF模型的算法，而且為了抑制去噪過程中造成的圖像模糊，在ROF模型去噪的同時加入拉普拉斯算子進(jìn)行銳化，構(gòu)建ROF和拉普拉斯算子的聯(lián)合去噪模型（RL模型）。實驗結(jié)果表明，本文算法能夠克服單純利用小波變換去噪產(chǎn)生的Gibbs效應(yīng)和ROF模型去噪產(chǎn)生的階梯效應(yīng)，能夠更有效地去除噪聲，保持圖像的邊緣、紋理等特征，具有很好的去噪效果。

［1］RUDIN L，OSHER S，F(xiàn)ATEMI E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms［J］.Phys D，1992，60:259-268.

［2］COIFMAN R R，DONOHO D L.Translation Invariant Denoising［M］.New York:Springer-Verlag，1994.

［3］肖志云.小波域數(shù)字圖像建模及其應(yīng)用［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社，2014.

［4］DONOHO D L，JOHNSTONE I M.Ideal spatial adsptation by wavelet shrinkage［J］.Biometrika，1994（8）:425-455.

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［6］BRUCE A G，GAO H Y.Understanding waveshrink:variance and bias estimation［EB/OL］.［2015-03-14］.http://www. mathsoft.com/wavelet.html.

［7］胡學(xué)剛，張龍濤，蔣偉.基于偏微分方程的變分去噪模型［J］.計算機(jī)應(yīng)用，2012（7）:1879-1881.

［8］王際朝，李維國.一種基于Lp范數(shù)的自適應(yīng)圖像去噪模型［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008（2）:155-158.

Image denoising algorithm based on wavelet transform and ROF model

WANG Li-na1，HE Wen-zhang1，LI Chang-ling2，LIANG Jie1
（1.School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China；2.School of Automotive and Transportation，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Wavelet transform and ROF model are common methods for image denoising.In order to keep maximum image edge and other important information while suppressing the noise,a new denoising algorithm is proposed in this paper.Firstly,the noisy image is decomposed using wavelet transform,then each detail image is first denoised with threshold method. Secondly,they are denoised by the model combined with ROF and the laplacian operator.Finally the denoised image is obtained from wavelet reconfiguration.The experimental results show that the proposed algorithm performs better than traditional methods of eliminating noise,and maintain the edge texture characteristic of the image nicely.

image denoising；wavelet transform；ROF model；Laplacian

TP391.41

A

2095－0926（2015）02－0039－04

2015-04-29

天津市應(yīng)用基礎(chǔ)及前沿技術(shù)研究計劃項目（12JCYBJC10600）.

王利娜（1987—），女，碩士研究生；何文章（1961—），男，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為系統(tǒng)決策與優(yōu)化、小波分析及應(yīng)用.