基于MATLAB的雙折線式多層纏繞卷筒的受力分析研究＊

胡 勇 許學三 胡吉全

（武漢理工大學物流工程學院 武漢 430063）

0 引 言

近年來，隨著海洋工程、港口運輸、采礦工程以及水電站建設等工程領域的快速發(fā)展，各種超大揚程的起重設備需求量不斷增加.比如我國三峽電站的壩頂門機起升高度達到了近200m，意大利SAIPEM公司的鋪管船Semac 1號上的錨絞機儲繩量更是達到了2 800m，南非海軍水文勘察絞車上的卷筒容繩量達到了10 000m［1］.為了解決這些大揚程、大鋼絲繩纏繞量的工程問題，鋼絲繩需要采用多層纏繞的方式.目前常見的多層纏繞卷筒按繩槽的不同，主要有光面鋼絲繩卷筒、螺旋線式鋼絲繩卷筒和雙折線式鋼絲繩卷筒.其中雙折線式多層纏繞卷筒由于其特殊的繩槽結(jié)構(gòu)，在不需要排繩裝置的情況下，使上層鋼絲繩準確、平穩(wěn)地纏繞在由下層鋼絲繩相鄰繩圈形成的繩槽內(nèi)，改善上下層鋼絲繩之間的接觸狀態(tài)，提高鋼絲繩的壽命，因此被廣泛地應用［2］.

卷筒筒體由于受到鋼絲繩作用的纏繞力，可能出現(xiàn)變形、開裂甚至斷裂的情況，給人和機器帶來極大的安全風險.因此準確地分析鋼絲繩在多層纏繞的復雜情況下對卷筒筒體的作用力，對于卷筒的安全設計及輕量化設計有著重要的意義.德國克勞斯塔爾工業(yè)大學P.Dietz研究團隊［3－6］在分析多層纏繞鋼絲繩作用于卷筒筒體的壓力時，詳細地考慮了每層鋼絲繩張力的減少因素.在考慮由于卷筒和內(nèi)層鋼絲繩的彈性導致各層鋼絲繩繩圈直徑減小的同時，也考慮了鋼絲繩斷面由于被擠壓導致鋼絲繩平均直徑減小的因數(shù).劉守成［7］在考慮卷筒徑向壓縮變形和鋼絲繩斷面變形對鋼絲繩各層張力削弱的影響，研究了多層纏繞螺旋線式卷筒徑向壓力，并且提出了計算多層纏繞系數(shù)的方法.葛世榮等［8］以結(jié)構(gòu)靜不定的力學原理研究繩圈及繩圈與卷筒筒體之間的相互作用，建立螺旋線式卷筒多層纏繞和單層纏繞的計算模型和理論，給出了具體多層纏繞系數(shù)的算法.然而由于鋼絲繩作多層纏繞時，雙折線式卷筒上鋼絲繩的排列方式與光面或螺旋線式卷筒完全不同，因此上述的理論在分析雙折線式卷筒體受力時僅具有參考意義.本工作以鋼絲繩在雙折線式卷筒上作多層纏繞時鋼絲繩實際排列情況為基礎，建立了鋼絲繩多層纏繞系數(shù)方程，并使用MATLAB開發(fā)計算多層纏繞系數(shù)及各層鋼絲繩張力的軟件，對雙折線式多層纏繞卷筒的多層纏繞系數(shù)及各層鋼絲繩張力的影響進行理論分析.

1 雙折線式多層纏繞卷筒受力的理論分析

鋼絲繩在雙折線式卷筒上作多層纏繞時，外層鋼絲繩纏繞在內(nèi)層鋼絲繩形成的繩槽里，鋼絲繩堆疊在卷筒上的斷面，見圖1.

圖1 鋼絲繩堆疊在雙折線卷筒上的斷面圖

當?shù)?層鋼絲繩以初張力S纏繞到卷筒上時，第1層鋼絲繩每1圈的張力都為S，對卷筒筒體產(chǎn)生徑向壓力P1.然而當?shù)?層鋼絲繩同樣以初張力S纏繞到第1層鋼絲繩形成的繩槽中后，第1層鋼絲繩由于受到第2層鋼絲繩的擠壓而變形，同時卷筒筒體的變形也相應增加，卷筒半徑R減小.由于第1層鋼絲繩斷面的變形及卷筒半徑R的減小，纏繞在第1層卷筒上的鋼絲繩圈繩長量減小，第1層鋼絲繩圈的張力減小，相應地第1層鋼絲繩對卷筒筒體的徑向壓力P1也會減小.因此鋼絲繩多層纏繞時，除了纏繞在最外層的鋼絲繩圈保持初張力S，內(nèi)層鋼絲繩圈的張力都小于初張力S；隨著纏繞層數(shù)的增加作用于卷筒筒體的徑向壓力增加，但是要比單層纏繞時作用在卷筒筒體的徑向壓力的疊加值小.

雙層纏繞時，如果用S1.2表示由于第2層鋼絲繩的纏繞而引起的第1層鋼絲繩圈張力的減小值，則第2層鋼絲繩張力為S，第1層鋼絲繩張力為S－S1.2.假設鋼絲繩作n層纏繞時，當?shù)趇層鋼絲繩剛纏繞到卷筒上時，第i層鋼絲繩繩圈張力為S，則由于第（i＋1）層鋼絲繩的纏繞引起第i層鋼絲 繩 繩 圈 張 力 減 小 值 為Si.（i＋1）.那 么 由 于（i＋2），…，（n－1），n層纏繞導致第i層鋼絲繩張力 的 減 小 值 分 別 表 示 為Si.（i＋2），…，Si.（n－1），Si.n.因此當鋼絲繩纏繞完第n層后，第i層鋼絲繩張力可以用式（1）表示.

可以推導出由于第n層鋼絲繩的纏繞導致第i層鋼絲繩張力減小值Si.n的一般表達式見式2.

其中：R為卷筒半徑；δ為卷筒壁厚；E為卷筒的彈性模量；e為卷筒繩槽節(jié)距；d為鋼絲繩截面直徑；γ為鋼絲繩堆疊角；EsQ為鋼絲繩橫向彈性模量；Es為鋼絲縱向向彈性模量；vr為鋼絲繩彈性橫數(shù)；μs為鋼絲繩間的摩擦系數(shù)；a為鋼絲繩金屬截面積.

若把由n層纏繞鋼絲繩對卷筒的壓力與單層纏繞鋼絲繩對卷筒的壓力的比值定義為鋼絲繩多層纏繞系數(shù)An，則An可由式（3）表示.

2 基于MATLAB的雙折線式卷筒多層纏繞系數(shù)求解算法

為求出纏繞系數(shù)，首先需要根據(jù)式（2）解方程組求出 S1.n，S2.n，…，Sn－1.n，然后根據(jù)式（3）迭代求出纏繞系數(shù).解方程組的思路是：提取方程組的系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣，用系數(shù)矩陣的逆矩陣與常數(shù)矩陣相乘得到方程組的解.為了得到出方程組系數(shù)矩陣，需要對式（2 進行化簡，展開合并同類項后得到式（4）.

由式（4）可見，Sk.n的系數(shù)可分為3部分：當k≤（i－1）時，Sk，n的系數(shù)為C0＋C1＋…＋Ck－1；當k＝i時，Sk，n的系數(shù)為C0＋C1＋…＋Ck－1＋λ；當k＞i時，Sk，n的系數(shù)為C0＋C1＋…＋Ci－1＋Ci／2.

圖2為程序流程圖，在圖2中，C（0），C（1），…，C（n－1）分別為C0，C1，…，Cn－1；A（1），…，A（n）分別為A1，…，An.M 為方程組的系數(shù)矩陣，Mr為方程組的常數(shù)矩陣，Ms為方程組的求解結(jié)果矩陣.如式（4）所示，假設卷筒上纏繞n層鋼絲繩，則i的取值范圍是從1到n－1.因此可以列出n－1個方程.由前面得到的規(guī)律可以得到（n－1）×（n－1）階矩陣M和（n－1）×1階矩陣Mr.矩陣M的第i行如式（5）所示，矩陣Mr如式（6）所示.

式中：Wi＝C0＋ C1＋…＋Ci；M（i，：）為矩陣 M的第i行.

程序開始運行后，如圖2所示，首先輸入纏繞層數(shù)n及其他參數(shù)，由輸入?yún)?shù)和式（2）求出C0，…，Cn－1.然后程序進入循環(huán)運算，程序的循環(huán)運算包括內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)2個循環(huán).外循環(huán)的作用是求得方程組的解Ms和實現(xiàn)式（3）的循環(huán)迭代，當外循環(huán)計算完第i次循環(huán)時，程序可以計算得到A（i＋1）.內(nèi)循環(huán)實現(xiàn)由式（4）提取方程組的系數(shù)矩陣M和常數(shù)矩陣Mr.

利用MATLAB中GUI界面設計功能設計出獨立運行的軟件.

圖2 程序流程圖

3 算例分析

用上述軟件分析IWRC6×36WS鋼絲繩在30kN初張力下，在雙折線式卷筒上作11層纏繞時多層纏繞系數(shù)及各層鋼絲繩張力的理論值.卷筒的參數(shù)見表1，鋼絲繩參數(shù)見表2.

表1 卷筒參數(shù)值

表2 鋼絲繩參數(shù)值

通過分析，得到卷筒多層纏繞系數(shù)與纏繞層數(shù)之間的曲線見圖3.由圖3可知，隨著鋼絲繩纏繞層數(shù)的增加，卷筒多層纏繞系數(shù)逐漸變大，但是增加量逐漸減小.鋼絲繩纏繞層數(shù)為兩層時，多層纏繞系數(shù)為1.92，當鋼絲繩纏繞層數(shù)增加至4層時，纏繞系數(shù)為3.19，增幅為1.27；然而當鋼絲繩纏繞層數(shù)從4層增加到9層時，鋼絲纏繞層數(shù)增加了5層，而多層纏繞系數(shù)僅增大了0.97.當鋼絲繩纏繞層數(shù)大于9時，卷筒多層纏繞系數(shù)不再明顯增加，趨近于4.2.

各層鋼絲繩張力曲線見圖4.第1層鋼絲繩的張力值與初始張力的比值分別為72.7%.第10層鋼絲繩張力與初張力的比值為71.4%，中間第4，5，6層鋼絲繩張力不到初張力的10%.可以看出，纏繞在卷筒上各層鋼絲繩中，里層與外層鋼絲繩張力較大，而中間層鋼絲繩的張力較小，甚至會接近于零.

圖3 卷筒多層纏繞系數(shù)曲線

圖4 各層鋼絲繩張力曲線

4 結(jié) 論

1）多層纏繞系數(shù)隨著鋼絲繩纏繞層數(shù)的增加而增加，但增幅卻逐漸減小.在纏繞層數(shù)超過特定值后，多層纏繞系數(shù)趨于常值.

2）纏繞在卷筒上的各層鋼絲繩中，里層和外層鋼絲繩張力較大，中間層鋼絲繩的張力較小，甚至會接近于零.

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