隨機事件的概率

本知識點主要考查隨機事件的概率求解，對于文科考生來說重點是古典概型的概率求解，且隨機事件所含的基本事件數(shù)及基本事件總數(shù)只要求會用列舉法求得即可，但對理科考生來說不僅要達到對文科考生的要求，還要會用排列、組合的相關(guān)知識求隨機事件所含的基本事件數(shù)，尤其是條件概率對理科考生來說難度較大. 高考中選擇題、填空題、解答題均有可能出現(xiàn)概率問題，難度屬中等偏難.

（1）了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.

（2）了解兩個互斥事件的概率加法公式、相互獨立事件的概率乘法公式.

（3）理解古典概型、幾何概型及其概率計算公式.

（4）會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

隨機事件是在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，其概率具有的以下幾個方面的性質(zhì)非常重要：0≤P（A）≤1；P（A）=1-P（ ）；若A，B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B）；若A，B相互獨立，則P（AB）=P（A）·P（B）；P（BA）= . 這是解決概率問題的關(guān)鍵. 另外，古典概型的概率求解一般按以下步驟進行：①先求出基本事件總數(shù)；②再求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③最后利用公式P（A）= 求得概率. 幾何概型與古典概型的共同點是每個基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，區(qū)別是試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件有有限和無限之別. 顯然求概率P（A）最為關(guān)鍵之處是“求事件A所包含的基本事件數(shù)”. 無論是用列舉法還是用排列、組合有關(guān)知識來求解，務(wù)必保證所有可能的結(jié)果不重不漏，否則就會出錯.

例1 某中學(xué)高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖5所示，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83.

（1）求x和y的值；

（2）從成績在90分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率.

甲 乙

8 9 7 6

5 x 0 8 1 1 y

6 2 9 1 1 6

圖5

破解思路 此題第一問考查的是平均數(shù)、中位數(shù)的運算，第二問考查的是隨機事件的概率求解. 此問的概率求解，依據(jù)隨機事件概率求解公式，先求基本事件總數(shù)，再求事件“甲班至少有一名學(xué)生”所包含的基本事件數(shù)，兩個事件的求解都是利用列舉法求得. 注意列舉時，有規(guī)律地列舉是保證不重復(fù)、不遺漏的前提. 此題還可以利用概率性質(zhì)P（A）=1-P（ ）來求，即“甲班至少有一名學(xué)生”的概率等于1與“乙班有兩名學(xué)生”的概率的差. 當復(fù)雜事件所包含的互斥事件較多時，用對立事件解決較為簡便，這就是“正難則反”的思想，特別適合于“至多”“至少”型問題.

答案詳解 （1）甲班學(xué)生的平均分是85，即 =85. 所以x=5. 因為乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83，所以y=3.

（2）甲班成績在90分以上的學(xué)生有兩名，分別記為A，B，乙班成績在90分以上的學(xué)生有三名，分別記為C，D，E. 從這五名學(xué)生中任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）. 其中甲班至少有一名學(xué)生共有7種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）. 記“從成績在90分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生，甲班至少有一名學(xué)生”為事件M，則P（M）= .

例2 有七名同學(xué)隨機地站成一排照畢業(yè)紀念照，則甲恰好站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)站在一起的概率為________.

破解思路 此題先求基本事件的總數(shù)，再求事件“甲恰好站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)站在一起”所包含的基本事件數(shù)，都需要利用排列、組合的知識來求解.

答案詳解 七名同學(xué)隨機地站成一排照畢業(yè)紀念照，共有A 種不同的站法，其中事件“甲恰好站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)站在一起”包含的基本事件數(shù)可以這樣來計算：首先將乙、丙綁定在一起，站法有A A 種；然后將甲排在中間位置，但此時有不符合條件的情況，即當乙、丙在中間位置時，甲再插入中間，應(yīng)去掉，共有A ·A 種，則符合條件的站法有A ·A -A ·A =192種，故所求的概率是 = .

1. 某校從年度優(yōu)秀的6位老師中選出4人分別到黃山、九華山、天柱山、齊云山四座名山游覽，要求每座名山有一人覽，每人只能游覽一座名山，則這6人中甲不去黃山、乙不去九華山游覽的概率為______.

2. 某市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者. 現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖6所示.

圖6

（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場宣傳活動，則應(yīng)從第3，4，5組中各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的條件下，該市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.endprint