礦井搜救探測(cè)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)最小能耗建模與影響因素分析

蘇學(xué)滿，孫麗麗

SU Xueman1，2,SUN Lili1

1.安徽工程大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽 蕪湖241000

2.安徽工程大學(xué) 機(jī)器人產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院，安徽 蕪湖241000

1.School of Mechanical and Automotive Engineering,Anhui Polytechnic University,Wuhu,Anhui 241000,China

2.Institute of Technology Robotics Industry,Anhui Polytechnic University,Wuhu,Anhui 241000,China

1 引言

機(jī)器人在工作或行走時(shí)，需要有可靠的能量供給，如何有效地使用有限的能源能量，延長(zhǎng)機(jī)器人的運(yùn)行時(shí)間變得至關(guān)重要[1]。分析、控制關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的耗散能量并使之最小化，符合系統(tǒng)能量?jī)?yōu)化工程和電機(jī)系統(tǒng)節(jié)能工程的實(shí)際需要。針對(duì)伺服電機(jī)和減速器為主體的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)而言，電機(jī)的熱損耗和非線性摩擦損耗直接限制了系統(tǒng)對(duì)電能的有效利用。研究、分析電流熱效應(yīng)、粘性阻尼摩擦、庫侖摩擦對(duì)系統(tǒng)能耗的影響，明確其作用關(guān)系，是能量?jī)?yōu)化規(guī)劃得以實(shí)施的前提條件[2]。如何運(yùn)用最優(yōu)控制理論和方法，動(dòng)態(tài)規(guī)劃關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的能耗使之最小化，已經(jīng)成為研究中的重點(diǎn)問題之一。

綜合國(guó)內(nèi)外研究，多數(shù)學(xué)者在機(jī)器人路徑規(guī)劃及步態(tài)等方面進(jìn)行了能量消耗問題的研究，并提出了很多有價(jià)值的研究成果。文獻(xiàn)[3-6]從軌跡規(guī)劃方面研究機(jī)器人的能量最優(yōu)控制；文獻(xiàn)[7]通過優(yōu)化機(jī)器人步態(tài)參數(shù)使系統(tǒng)能量消耗最?。晃墨I(xiàn)[8]利用路徑規(guī)劃方法研究機(jī)器人局部區(qū)域能量最小化問題；文獻(xiàn)[9-11]通過力矩分配方法使系統(tǒng)能耗最小。對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制方面的耗能研究，文獻(xiàn)[1]利用梯形升降速算法研究速度函數(shù)與伺服電機(jī)耗能之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[12]研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中的總動(dòng)作時(shí)間和消耗能量在某種程度上達(dá)到綜合最優(yōu)；文獻(xiàn)[13]對(duì)不同加速控制算法下的最小能耗進(jìn)行了研究。深入研究機(jī)器人最小能耗的影響因素是必要。

本文以六足礦井搜救探測(cè)機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（直流伺服電機(jī)＋齒輪減速器）為研究對(duì)象，分析在負(fù)載轉(zhuǎn)矩作用下，非線性摩擦和電流熱效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)能耗的影響，建立關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并應(yīng)用最優(yōu)控制相關(guān)理論和求解方法，建立最優(yōu)控制電流和角速度函數(shù)，以及驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)控制模式下的最小能耗模型。

2 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)最小能耗模型

2.1 關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

六足礦井搜救探測(cè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)如圖1 所示。機(jī)器人每條腿具有單獨(dú)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)由直流伺服電機(jī)通過齒輪減速器驅(qū)動(dòng)輪腿運(yùn)動(dòng)，如圖2 所示。

圖1 六足礦井搜救探測(cè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)

圖2 機(jī)器人驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)原理圖

圖2 中Jm、JL為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和負(fù)載的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Bm、BL為電機(jī)粘性阻尼系數(shù)和傳動(dòng)裝置的等效粘性阻尼系數(shù)；Tm、TL為電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩；為電機(jī)和負(fù)載的轉(zhuǎn)速；N為減速比。則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩平衡方程：

式中ia為電樞電流，J為系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Tcm電機(jī)庫侖摩擦力矩，Tc減速器的庫侖摩擦力矩。根據(jù)減速器的效率η計(jì)算公式：

由式（3）和（4）得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：

電機(jī)驅(qū)動(dòng)的機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的能量消耗分為電機(jī)繞組產(chǎn)生的熱損耗和克服外力做功。則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在時(shí)間[0,tf]內(nèi)的能量消耗為：

式中第一項(xiàng)為電機(jī)繞組產(chǎn)生的熱量，第二項(xiàng)為克服電機(jī)庫侖摩擦力矩做功，第三項(xiàng)為克服電機(jī)粘性摩擦轉(zhuǎn)矩做功，第四項(xiàng)為克服減速器庫侖摩擦力矩和粘性摩擦轉(zhuǎn)矩做功，第五項(xiàng)為克服負(fù)載轉(zhuǎn)矩做功。

為了使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)能量消耗E最小，需要求解能量最小條件下的最佳加減速速度輪廓[14]，即為尋找一個(gè)速度函數(shù)，在滿足的條件下，要求電動(dòng)機(jī)單周期能量消耗E最小。下面利用最優(yōu)控制理論和最小值定理求解最佳的速度函數(shù)以及對(duì)應(yīng)的電樞電流函數(shù)。建立驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能耗的模型。

2.2 最優(yōu)速度和最優(yōu)電流函數(shù)求解

當(dāng)電機(jī)處于加速階段時(shí)，電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩比摩擦轉(zhuǎn)矩（庫侖摩擦轉(zhuǎn)矩和粘性摩擦轉(zhuǎn)矩）大。當(dāng)電機(jī)處于減速階段時(shí)，電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩比摩擦轉(zhuǎn)矩小。加減速階段的速度記為，電流記為ia+(t)、ia-(t)。

若令x1(t)=θm(t)，，則系統(tǒng)加減速階段的狀態(tài)方程為：

利用最小定理和哈密頓函數(shù)[15]可求解出加減速階段的速度和的通解：

根據(jù)初始邊界條件x2+(0)=0，x2-(tf)=0，可求得式（6）中的s1+和s1-為：

式（6）變?yōu)椋?/p>

令tc為最佳角速度轉(zhuǎn)換時(shí)間，即當(dāng)t=tc時(shí)，直流電機(jī)的加速度和減速度均為0。

再利用速度函數(shù)與電流函數(shù)之間的關(guān)系，可求得最優(yōu)電流ia+(t)和ia-(t)關(guān)于時(shí)間表達(dá)式為：

式（9）、（10）、（11）、（12）分別為考慮粘性摩擦和庫侖摩擦條件時(shí)，基于能耗最小的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)最優(yōu)加減速速度和最優(yōu)電流關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式。

2.3 最小能耗模型

同時(shí)考慮粘性摩擦損耗和庫侖摩擦損耗，伺服系統(tǒng)總能耗由四部分能耗組成：焦耳熱損耗ER、庫侖摩擦損耗EC、粘性摩擦損耗EB、負(fù)載損耗EL。根據(jù)所求的速度和電流函數(shù)表達(dá)式（9）、（10）、（11）、（12）代入式（5）可求出驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能耗函數(shù)表達(dá)式。

焦耳熱損耗ER的計(jì)算如下：

式（14）、（15）分別為加速階段和減速階段的焦耳熱損耗。

庫侖摩擦損耗EC計(jì)算如下：

式（17）、（18）為加速階段的庫侖摩擦損耗，式（19）、（20）為減速階段的庫侖摩擦損耗。

粘性摩擦損耗EB計(jì)算如下：

式（22）、（23）分別為加減速階段的粘性摩擦損耗。負(fù)載損耗EL計(jì)算如下：

式（25）、（26）分別為加減速階段的負(fù)載損耗。單個(gè)輪腿驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能量損耗為：

六足機(jī)器人的六條輪腿驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小總能耗為：

式中EiR+、EiR-為第i條輪腿的焦耳熱損耗；EiC1、EiC2、EiC3、EiC4為第i條輪腿的庫侖摩擦損耗；EiB+、EiB-為第i條輪腿的粘性摩擦損耗；EiL+、EiL-為第i條輪腿的負(fù)載能耗。

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)最小總能耗是關(guān)于加減速轉(zhuǎn)換時(shí)間的函數(shù)。

3 最小能耗的影響因素分析

根據(jù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能耗模型，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能耗受減速器的效率η、負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL、庫侖摩擦力矩Tcm、粘性摩擦系數(shù)Bm等因素的影響。機(jī)器人每條輪腿運(yùn)行在支撐相和擺動(dòng)相時(shí)，采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)（PTP）控制模式，假設(shè)支撐相和擺動(dòng)相的運(yùn)行周期均為T，角位移為π。下面利用MATLAB 分析各因素對(duì)最小能耗的影響。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的電機(jī)選擇maxon 公司生產(chǎn)的A-max32 直流電機(jī)+GS38A 型行星齒輪減速箱，參數(shù)如表1 所示。

表1 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)

3.1 減速器效率對(duì)最小能耗的影響

圖3為TL=4.35 Nm、Tcm=0.003 Nm、Bm=0.000 000 01、tf=0.4，減速器的效率分別為1、0.9、0.8、0.7 時(shí)的能量隨加減速轉(zhuǎn)換時(shí)間tc的變化曲線及能耗最小時(shí)刻局部放大圖。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能量消耗與最小能量消耗的加減速轉(zhuǎn)換時(shí)間tc如表2 所示。礦井搜救探測(cè)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)最小能耗隨減速器效率的減小而增大。加減速轉(zhuǎn)換時(shí)間隨著減速器效率的減小先減小后增大。

表2 不同效率下的最小能耗及轉(zhuǎn)換時(shí)間

3.2 負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)最小能耗的影響

圖4為η=0.9、Tcm=0.003 Nm、Bm=0.000 000 01、tf=0.4，負(fù)載轉(zhuǎn)矩分別為1 Nm、2 Nm、3 Nm、4 Nm 時(shí)的能量消耗隨加減速轉(zhuǎn)換時(shí)間tc的變化曲線及能耗最小時(shí)刻的局部放大圖。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能量消耗與最小能量消耗的加減速轉(zhuǎn)換時(shí)間tc如表3 所示。礦井搜救探測(cè)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)最小能耗隨負(fù)載的增大而增大。而加減速轉(zhuǎn)換時(shí)間并不隨著負(fù)載的變化而變化。

圖3 不同效率的最小能量變化曲線

圖4 不同負(fù)載的最小能量變化曲線

表3 不同負(fù)載的最小能量消耗及轉(zhuǎn)換時(shí)間

3.3 庫侖摩擦力矩對(duì)最小能耗的影響

圖5為η=0.9、Bm=0.000 000 01、TL=3 Nm、tf=0.4，庫侖摩擦力分別為0 Nm、0.001 Nm、0.01 Nm、0.1 Nm、1 Nm 時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能耗變化曲線及能耗最小時(shí)刻局部放大圖。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能量消耗與最小能量消耗的加減速轉(zhuǎn)換時(shí)間tc如表4 所示。驅(qū)動(dòng)系數(shù)的最小能耗受庫侖摩擦力的影響較小，加減速轉(zhuǎn)換時(shí)刻不受庫侖摩擦力的影響。

3.4 粘性阻尼摩擦系數(shù)對(duì)最小能耗的影響

圖6為η=0.9、TL=3 Nm、Tcm=0.003 Nm、tf=0.4，粘性阻尼摩擦系數(shù)分別為0.000 01、0.000 000 1、0.000 000 01、0.000 000 001 時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能耗變化曲線及能耗最小時(shí)刻的局部放大圖。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能量消耗與最小能量消耗的加減速轉(zhuǎn)換時(shí)間tc如表5 所示。最小能耗隨粘性摩擦系數(shù)的減小而增大，加減速轉(zhuǎn)換時(shí)刻在提前。

4 結(jié)束語

本文根據(jù)礦井搜救機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，利用Hamiltonian 函數(shù)和最小值理論，求解出了非線性摩擦條件下速度和控制電流，并建立了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最小能耗模型。通過MATLAB 仿真分析，確定了減速器效率η、負(fù)載TL、庫侖摩擦力Tcm和粘性摩擦系數(shù)Bm對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)最小能耗的影響以及達(dá)到能量消耗最小的時(shí)間。為移動(dòng)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化配置提供理論上的支持，實(shí)現(xiàn)最小能耗的最優(yōu)控制，對(duì)機(jī)器人節(jié)能降耗具有現(xiàn)實(shí)的重要意義。

表4 不同庫侖摩擦力下的最小能耗及轉(zhuǎn)換時(shí)間

表5 不同粘性摩擦系數(shù)下最小能量及轉(zhuǎn)換時(shí)間

圖5 不同庫侖摩擦力下的最小能量變化曲線

圖6 不同粘性摩擦系數(shù)下驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)最小能量變化曲線

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