基于Deb可行性規(guī)則的粒子群算法的液壓缸優(yōu)化設計

(瀘州職業(yè)技術學院 機械工程系， 四川 瀘州　646005)

引言

液壓缸是液壓系統(tǒng)中常用的一種執(zhí)行元件，是把液體的壓力能轉(zhuǎn)變?yōu)闄C械能的裝置，主要用于實現(xiàn)機構(gòu)的直線往復運動，也可以實現(xiàn)擺動，其結(jié)構(gòu)簡單，工作可靠。用它來實現(xiàn)往復運動時，可免去減速裝置，并且沒有傳動間隙，運動平穩(wěn)，因此在各種機械的液壓系統(tǒng)中得到廣泛應用。

文獻[1]針對長行程液壓缸的沖擊現(xiàn)象，建立數(shù)學模型，采用約束隨機方向搜索法對長行程液壓缸的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化設計，對緩沖裝置中的結(jié)構(gòu)參數(shù)(圓錐形凸臺長度和錐角)進行優(yōu)化設計，得出了圓錐形凸臺長度和錐角的最優(yōu)設計參數(shù)， 減少了液壓系統(tǒng)的沖擊，改善了液壓缸的緩沖性能。文獻[2]提出將彈性理論、優(yōu)化理論和有限元法結(jié)合運用于液壓缸的優(yōu)化設計，改善了液壓缸的應力狀況，并可精確地確定液壓缸的結(jié)構(gòu)尺寸，減輕液壓缸的重量。文獻[3]對一種高推力結(jié)構(gòu)的液壓缸，采用SUMT內(nèi)點罰函數(shù)尋優(yōu)方法，對其結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化設計。文獻[4]闡述了內(nèi)、外柱支撐力相等的雙伸縮液壓缸的組成、結(jié)構(gòu)、工作原理、主要技術參數(shù)、設計思路、用途及特點。內(nèi)、外柱支撐力相等的雙伸縮液壓缸的出現(xiàn)，打破了傳統(tǒng)雙伸縮液壓缸的結(jié)構(gòu)、原理和特性，使液壓缸增添了新的品種。文獻[5]針對液壓缸活塞桿與缸體由于受軸力和橫向力的共同作用而產(chǎn)生彎曲變形導致液壓缸整體失穩(wěn)的問題，分別對活塞桿和缸體建立撓曲性微分方程，確定活塞桿與缸體間隙處最大撓度，再建立關于撓度的非線性方程組，獲得計算液壓缸臨界載荷的超越方程。結(jié)合參數(shù)化有限元優(yōu)化設計技術，獲取體積約束條件下液壓缸的合理尺寸，通過與Ritz法計算結(jié)果比對和實驗驗證可知，該算法能夠較好地優(yōu)化液壓缸結(jié)構(gòu)參數(shù)，滿足工程實際應用需要。

借鑒上述研究成果，文中應用基于Deb可行性規(guī)則的粒子群算法，對帶有反柱結(jié)構(gòu)液壓缸的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化設計。最后，給出工程設計實例，優(yōu)化結(jié)果表明新方法的有效性和穩(wěn)健性。

1　帶有反向柱結(jié)構(gòu)液壓缸的數(shù)學模型

1.1　帶有反向柱液壓缸的機械結(jié)構(gòu)

本研究所討論的液壓缸帶有反向柱結(jié)構(gòu)，其機械結(jié)構(gòu)如1所示。這種液壓缸適用于液壓支架，特別是用于非開挖頂管機、市政工程盾構(gòu)機、壓力機等領域意義更加顯著。

圖1　帶有反向柱液壓缸的機械結(jié)構(gòu)

圖1中，D1與D2分別為缸體的外徑與內(nèi)徑；D3與D4分別為活塞柱的外徑與內(nèi)徑；D5與D6分別為反向柱的外徑與內(nèi)徑；p為液體的工作壓力；P為液壓缸的推力。

液壓缸的優(yōu)化設計問題包括：液壓缸重量最輕、液壓缸外徑最小、液壓缸推力最大等。本研究主要討論液壓缸重量最輕優(yōu)化問題。在推力P和工作壓力p給定條件下，使液壓缸徑向有效截面積最小，進而使缸體使用材料量最小。

1.2　決策變量與目標函數(shù)

上述優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為機械設計優(yōu)化問題。即在滿足推力的要求下，使液壓缸用材量最少，即液壓缸徑向斷面面積S最小。

設尋優(yōu)變量為x=[x1,x2,…，x6]T=[D1,D2,…，D6]T，則設計液壓缸重量最輕問題可轉(zhuǎn)化為如下目標函數(shù)：

1.3　約束條件

帶有反向柱結(jié)構(gòu)液壓缸優(yōu)化設計的約束條件包括：結(jié)構(gòu)尺寸條件、壓力條件、強度條件及穩(wěn)定性條件。

1) 液壓缸結(jié)構(gòu)條件

設計變量的邊界條件確定，是根據(jù)結(jié)構(gòu)的要求(如密封件的尺寸等)加以考慮。取各設計變量的尺寸要求為：

則液壓缸的結(jié)構(gòu)尺寸約束條件為：

g1(x)=-x1+x2+20≤0

(2)

g2(x)=-x2+x3+16≤0

(3)

g3(x)=-x3+x4+16≤0

(4)

g4(x)=-x4+x5+10≤0

(5)

g5(x)=-x5+x6+10≤0

(6)

2) 壓力條件

(7)

(8)

3) 液壓缸缸體強度條件

(9)

式中：ns1為安全系數(shù)；σs為材料屈服極限。

4) 液壓缸活塞柱強度條件及穩(wěn)定性條件

(10)

式中：ns2為安全系數(shù)；σs為材料屈服極限。

于是，得約束條件：

(11)

5) 液壓缸反向柱強度條件

(12)

式中：ns3為安全系數(shù);σs為材料屈服極限。

綜上所述，帶有反向柱結(jié)構(gòu)的液壓缸重量最輕優(yōu)化設計是包含11個不等式約束的6維非線性規(guī)劃問題。

2　基于Deb可行性規(guī)則的粒子群算法

2.1　粒子群算法描述

PSO算法首先在可行解空間和速度空間隨機初始化粒子群，即確定粒子的初始位置和初始速度，其中位置用于表征問題解。例如，D維搜索空間中的第k個粒子的位置和速度可分別表示為xk=(xk,1,xk,2,…,xk,D)T和vk=(vk,1,vk,2,…,vk,D)T,k=1,2,…,N(N為種群規(guī)模)。通過評價各個粒子的適應度，確定t(t=1, 2,…,T，T為最大進化代數(shù))時刻粒子所經(jīng)過的最優(yōu)位置Pk=(Pk,1,Pk,2,…,Pk,D)T及群體所發(fā)現(xiàn)的全局最優(yōu)位置G=(G1,G2,…,GD)T，再按下面的公式(13)與公式(14)分別更新粒子的速度和位置。

(13)

d=1, 2,…,D;t=0, 1, …,T-1

(14)

為了克服線性遞減權重的不足，本研究取[6,7]：

(15)

其中，wsta、wend為初始、終止慣性權重。

2.2　約束處理方法

液壓缸約束優(yōu)化設計問題的求解難點在于如何處理約束條件。本研究采用Deb基于可行性規(guī)則[9-14]處理該約束條件，首先引入比較兩個候選解(即粒子位置)的可行性規(guī)則。

規(guī)則1：若兩個候選解都是可行解，則目標函數(shù)值小的獲勝。

規(guī)則2：若兩個候選解都是不可行解，則約束違反度小的獲勝。

規(guī)則3：若一個是可行解而另一個是不可行解，則可行解獲勝。

在規(guī)則2中，需要應用候選解的約束違反度比較兩個不可行解。

本研究將候選解x的約束違反度定義為[13]：

(16)

式中：i=max{0,gi(x)}，i=1, 2,…, 11

顯然，當x為可行解時，有fv(x)=0。

2.3　算法實現(xiàn)

基于Deb可行性規(guī)則的粒子群算法采用MATLAB軟件編程實現(xiàn)，具體算法設計如下：

步驟1：設定種群規(guī)模、初始慣性權重、終止慣性權重、加速度常數(shù)、最大飛行速度、最大迭代代數(shù)，隨機初始化粒子群的位置與速度，并計算各粒子適應度。

步驟2：將第i個粒子的當前位置設置為個體極值(pBest)，設置群體中全局最佳粒子位置為全局極值(gBest)。

步驟3：根據(jù)式(13)和式(14)對粒子群中全局最優(yōu)粒子的速度和位置進行更新。

步驟4：計算每個粒子的適應度f(xi),i=1,2,…,N。

步驟5：如果粒子i的適應度優(yōu)于自身pBest的適應度，pBest更新為該粒子的當前位置xi。

步驟6：如果粒子i的適應度優(yōu)于gBest的適應度，gBest更新為該粒子的當前位置xi。

步驟7：判斷算法是否滿足終止條件，若是則輸出相應優(yōu)化變量，程序運行結(jié)束；否則轉(zhuǎn)步驟3。

3　工程設計實例與討論

按重量最輕原則，設計帶有反向柱結(jié)構(gòu)的液壓缸。已知條件：推力P=1800 kN，壓力p=31.5 MPa，液壓缸最大工作長度L=2500 mm；材料為27SiMn，其屈服極限σs=850 MPa；液壓缸缸體、活塞柱、反向柱的外徑與內(nèi)徑尺寸為：[D1,D2,…,D6]T=[300 230 210 180 90 60]T。安全系數(shù)ns1=3，ns2=ns3=2；活塞桿穩(wěn)定安全系數(shù)nst=4。

PSO算法控制參數(shù)：種群規(guī)模N=60，初始慣性權重wsta=1.2，終止慣性權重wend=0.2，加速度常數(shù)Φ1=Φ2=2，最大飛行速度vmax,d=0.3(xmax,d-xmin,d) (d=1, 2,…， 6)，最大迭代代數(shù)T=500。

優(yōu)化結(jié)果x*=[275.02, 244.14, 224.02, 198.48, 137.20, 120.86]Tmm，目標函數(shù)f(x*)=24379.51 mm2。帶有反向柱結(jié)構(gòu)液壓缸的優(yōu)化設計進化曲線如圖2所示。

圖2　液壓缸的優(yōu)化設計進化曲線

對優(yōu)化結(jié)果取整，得x*=[275, 244, 224, 198, 137, 121]Tmm，則相應的目標函數(shù)為f(x*)=24495.78 mm2。根據(jù)優(yōu)化前液壓缸的尺寸可知，液壓缸徑向斷面面積S=41861.72 mm2。液壓缸優(yōu)化設計前與優(yōu)化設計后的結(jié)果比較分析見表1。

通過上述分析可得出，文中采用基于Deb可行性規(guī)則的粒子群算法，其求解精度為24495.78 mm2，使液壓缸徑向斷面面積減少41.48%，優(yōu)化效果明顯。利用優(yōu)化結(jié)果對約束條件進行檢驗，約束函數(shù)值g=[-1.100×101,-4.000×100,-1.000×101,-5.100×101,-6.000,-1.789×105,-7.914×105,-1.633,-8.593×101,-3.119×104,-3.637×101]T，即滿足全部約束條件。文中的求解結(jié)果中，靠近約束邊界的變量取值更多，符合機械約束優(yōu)化等大多數(shù)工程約束優(yōu)化問題取得最優(yōu)解通常位于約束邊界的客觀實際。工程設計實例表明文中算法的穩(wěn)健性好，約束處理方法得當，算法效率高。

表1　液壓缸優(yōu)化設計前、后結(jié)果的比較分析

4　結(jié)論

應用粒子群算法，對帶有反向柱的液壓缸結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化設計，能使液壓缸在保持合理應力水平情況下，液壓缸的重量減輕約41%，效果顯著。對液壓缸優(yōu)化設計具有一定參考價值。

(1) 討論了液壓缸結(jié)構(gòu)設計約束優(yōu)化問題的約束處理方法，建立了一種基于Deb可行性規(guī)則的動態(tài)自適應罰函數(shù)的約束處理方法，使懲罰函數(shù)更為簡單，提高優(yōu)化計算效率；

(2) 應用基于Deb可行性規(guī)則的動態(tài)自適應罰函數(shù)法將機械約束優(yōu)化設計問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化模型，算法中初始群體在設計參數(shù)的上下邊界范圍內(nèi)產(chǎn)生，并應用粒子群算法求解該問題；

(3) 給出了典型的工程優(yōu)化實例，并與優(yōu)化前的結(jié)果進行對比檢驗，文中結(jié)果符合約束條件和設計要求，且比優(yōu)化前具有更優(yōu)的目標函數(shù)值，表明算法和約束處理方法是有效且可靠的；

(4) 所提出的基于Deb可行性規(guī)則改進懲罰策略，使粒子群算法更能有效處理帶非線性約束的數(shù)值優(yōu)化問題，算法的工程實用性增強，可以推廣到其他工程約束優(yōu)化問題。

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