幾類廣義逆矩陣的關(guān)系及其應(yīng)用

幾類廣義逆矩陣的關(guān)系及其應(yīng)用*

周玉興1，涂火年2

(1.廣西師范學(xué)院師園學(xué)院，廣西 南寧 530226;2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院

信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530003)

摘要：運(yùn)用滿足消去律的幾個(gè)矩陣方程，研究廣義逆矩陣(AA*)(1)，(A*A)(1)，A{1，2，3}和A{1，2，4}的關(guān)系，得到若干新的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：廣義逆；消去律；矩陣；關(guān)系；應(yīng)用

文章編號(hào)：1007-2985(2015)01-0011-03

中圖分類號(hào)：O153.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.01.004

收稿日期：*2014-05-31

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11161004)；廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013GXNSFAA019008)

作者簡(jiǎn)介：周玉興(1973—)，男(壯族)，廣西邕寧人，廣西師范學(xué)院師園學(xué)院講師，碩士，主要從事數(shù)值代數(shù)和矩陣研究.

doi自1955年著名學(xué)者Penrose給出偽逆pseunverses的代數(shù)定義以來，廣義逆理論得到快速發(fā)展和完善[1-3].目前，廣義逆理論已經(jīng)滲透到矩陣?yán)碚?、算子理論、C*代數(shù)、Banach代數(shù)和環(huán)論等領(lǐng)域.文獻(xiàn)研究了矩陣的A{1，3}，A{1，4}及其應(yīng)用.文獻(xiàn)討論并給出A{3}，A{4}和A{3，4}的通式.文獻(xiàn)研究了A{1，3}，A{1，2，4}，A{1，3，4}和A{1，3，4}的通式.文獻(xiàn)運(yùn)用矩陣偽逆的一個(gè)等價(jià)定義，研究了矩陣A的自反廣義逆、最小二乘廣義逆、極小范數(shù)廣義逆、Moore-Penrose、A{1，2，3}、A{1，2，4}及A{1，3，4}的一些相互關(guān)系.文獻(xiàn)研究了A{1，3}+B{1，3}=(A+B){1，3}和 A{1，4}+B{1，4}=(A+B){1，4}成立的充要條件.

眾所周知，矩陣方程不滿足消去律.例如:若AB=AC，則未必有B=C.筆者根據(jù)由AA*=0推出A=0的性質(zhì)，導(dǎo)出滿足消去律的幾個(gè)矩陣方程，然后應(yīng)用它去研究廣義逆矩陣(AA*)(1)，(A*A)(1)，A{1，2，3}和A{1，2，4}的關(guān)系，得到若干新的結(jié)果.

1相關(guān)定義及引理

定義1[1-3]設(shè)矩陣A∈Rm×n，若存在唯一矩陣X∈Rn×m滿足下列方程，則稱X為A的Moore-Penrose逆或偽逆，記作A+：

AXA=A，

(1)

XAX=X，

(2)

(AX)*=AX，

(3)

(XA)*=XA.

(4)

若X滿足上述方程(1)，則稱X為A的(1)逆，記作A(1).A(1)逆的全體記作A{1}.類似地，A(1，2)表示矩陣A的(1，2)逆；A(1，2，3)表示矩陣A的(1，2，3)逆.

引理1設(shè)矩陣Am×n，若AA*=0，則A=0.

證明因?yàn)锳+=A+AA+=A+(AA+)*=A+A+*A*，所以A=(A+)+=(A+)+(A+)+*(A+)*=AA*A+*，即A=AA*A+*.從而由條件AA*=0得A=AA*A+*=0.

推論1(右消去律) (ⅰ)若BAA*=CAA*，則BA=CA;(ⅱ)若BA*A=CA*A，則BA*=CA*.

證明 (ⅰ)由BAA*=CAA*得(B-C)AA*=0，兩端右乘(B-C)*得(B-C)AA*(B-C)*=(BA-CA)(BA-CA)*=0.由引理1得BA-CA=0，即BA=CA.

(ⅱ)證法同(ⅰ).

推論2(左消去律)(ⅰ)若A*AB=A*AC，則AB=AC;(ⅱ)若AA*B=AA*C，則A*B=A*C.

證明(ⅰ)由A*AB=A*AC兩端取轉(zhuǎn)置得B*A*A=C*A*A.由推論1得B*A*=C*A*，兩端取轉(zhuǎn)置得AB=AC.

(ⅱ)證法同(ⅰ).

2主要結(jié)果

為了避免混淆及書寫簡(jiǎn)便，下面將(AA*)(1)記作(AA*)g1，(A*A)(1)記作(A*A)g1.

定理1若H∈A*(AA*)g1，則H∈A{1，2，4}.

證明設(shè)G=(AA*)g1，則H∈A*G.由G=(AA*)g1得AA*GAA*=AA*，由推論1得AA*GA=A，即A*G=A(1).因此，H∈A{1}.由推論2得A*GAA*=A*，兩端右乘G得A*GAA*G=A*G，即A*G=A(2).因此，H∈A{2}.又因?yàn)锳*G*A=A*G*(AA*GA)=A*G*AA*GA，而A*G*AA*GA是Hermitian的，所以A*G*A是Hermitian的，即(A*G*A)*=A*G*A.而A*GA=(A*G*A)*=A*G*A.因?yàn)锳*G*A是Hermitian的，所以A*GA也是Hermitian的，即(A*GA)*=A*GA，故A*G=A(4).因此，H∈A{4}.綜上所述，H∈A{1，2，4}.

定理2若Q∈(A*A)g1A*，則Q∈A{1，2，3}.

證明設(shè)P=(A*A)g1，則Q∈PA*.由P=(A*A)g1得A*APA*A=A*A，由推論2得APA*A=A，即PA*=A(1).因此，Q∈A{1}.由推論1得A*APA*=A*，兩端左乘P得PA*APA*=PA*，即PA*=A(2).因此，Q∈A{2}.又因?yàn)锳P*A*=(APA*A)P*A*=APA*AP*A*，而APA*AP*A*是Hermitian的，所以AP*A*是Hermitian的，即(AP*A*)*=AP*A*.又因?yàn)锳PA*=(AP*A*)*=AP*A*，所以APA*也是Hermitian的，即(APA*)*=APA*，即PA*=A(3).因此，Q∈A{3}.綜上所述，Q∈A{1，2，3}.

定理3設(shè)G=(AA*)g1，P=(A*A)g1，則A+=A*GAPA*.

證明因?yàn)镚=(AA*)g1，所以由定理1得AA*GA=A(A*GA)*=A*GA，又因?yàn)镻=(A*A)g1，所以由定理2得APA*A=A，(APA*)*=APA*，于是

A(A*GAPA*)A=AA*G·APA*A=APA*A=A，

(A*GAPA*)A(A*GAPA*)= A*GAPA*AA*GAPA*=A*G·(APA*A)A*GAPA*=

A*GAA*GAPA*=A*G(AA*GA)PA*=A*GAPA*，

(AA*GAPA*)*=(APA*)*=APA*=(AA*GA)PA*=AA*GAPA*，

(A*GAPA*A)*=(A*GA)*=A*GA=A*GAPA*A.

滿足Moore-Penrose逆4個(gè)條件，因此A+=A*GAPA*.

定理4設(shè)H∈A{1，2，4}，Q∈B{1，2，4}，則：(ⅰ)BH=0的充要條件是BA*=0;(ⅱ)AQ=0的充要條件是AB*=0.

證明(ⅰ)因?yàn)镠∈A{1，2，4}，所以AHA=A，HAH=H，(HA)*=HA，故BH=BHAH=BH(AHA)H=B(HA)*(HA)*H=BA*H*A*H*H=B(AHA)*H*H=BA*H*H，即BH=BA*H*H.

“?”.由BH=0得BA*H*H=0.由推論1得BA*H*=0，兩端右乘A*得BA*H*A*=0，即B(AHA)*=0.因此，BA*=0.

“?”.因?yàn)锽H=BA*H*H，所以由BA*=0得BH=BA*H*H=0.

(ⅱ)因?yàn)镼∈B{1，2，4}，所以BQB=B，QBQ=Q，(QB)*=QB.于是，AQ=AQBQ=AQBQBQ=A(QB)*(QB)*Q=AB*Q*B*Q*Q=AB*(QBQ)*Q=AB*Q*Q.因此，AQ=AB*Q*Q.

“?”.由AQ=0得AB*Q*Q=0.由推論1得AB*Q*=0，兩端右乘B*得AB*Q*B*=0，即A(BQB)*=0.因此，AB*=0.

“?”.因?yàn)锳Q=AB*Q*Q，所以由AB*=0得AQ=AB*Q*Q=0.

定理5設(shè)P∈A{1，2，3}，M∈B{1，2，3}，則：(ⅰ)PB=0的充要條件是A*B=0;(ⅱ)MA=0的充要條件是B*A=0.

證明同定理4.

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周玉興.矩陣偽逆的一個(gè)等價(jià)定義及其應(yīng)用.江南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，13(3):371-373.

XIONG Zhiping，QIN Yingying，ZHENG Bing.The Least Squaresg-Inverses for Sum of Matrices.Linear and Multilinear Algebra，2013，61:448-462.

Relations Between Kinds of Generalized Inverse

Matrices and the Application

ZHOU Yuxing1，TU Huonian2

(1.College of Shiyuan，Guangxi Teachers’ Education University，Nanning 530226，Guangxi China;2.College of Information and

Statistics，Guangxi University of Finance and Economics，Nanning 530003，Guangxi China)

Abstract:Several matrix equations satisfying cancellation law are applied to study the relationship between the generalized inverse matrix (AA*)(1)，(A*A)(1)，A{1，2，3} and A{1，2，4}.Some new results are obtained.

Key words:generalized inverse;cancellation law;matrices;relation;application

(責(zé)任編輯向陽(yáng)潔)