牛頓力學(xué)在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中的應(yīng)用

楊鴻瑞

摘 要：該文首先從中學(xué)物理中基礎(chǔ)的牛頓力學(xué)原理出發(fā)，探討了牛頓力學(xué)在慣性空間與非慣性空間中的應(yīng)用方法，并以此為基礎(chǔ)介紹了慣性力與慣性力矩的原理與計(jì)算方法；其次，以慣性力矩原理為基礎(chǔ)，進(jìn)一步介紹了慣性導(dǎo)航的基本工具——陀螺儀的工作原理；最后，介紹了慣性坐標(biāo)系的概念，并以地理坐標(biāo)系為例介紹了利用陀螺儀與慣性導(dǎo)航原理進(jìn)行導(dǎo)航的基本方法。

關(guān)鍵詞：牛頓力學(xué) 慣性導(dǎo)航系統(tǒng) 陀螺儀

中圖分類(lèi)號(hào)：P31 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）11（b）-0243-05

1 慣性空間與慣性參照系

空間與時(shí)間是物體運(yùn)動(dòng)變化的兩個(gè)維度。而運(yùn)動(dòng)具有相對(duì)性，這是說(shuō)要判斷物體是運(yùn)動(dòng)的還是靜止的，必須要選擇另外一個(gè)物體作為參照物，如果目標(biāo)的位置相對(duì)參照物發(fā)生了改變，那么物體就是運(yùn)動(dòng)的。

牛頓第二定律描述了物體的運(yùn)動(dòng)、受力與質(zhì)量之間的關(guān)系如下。

（1）若物體沒(méi)有受到力的作用（或所受的合力為零），那么它將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)。

我們可以把整個(gè)宇宙看作是一個(gè)慣性空間。宇宙中的物體，如果它所受合外力為零，就保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)，以這樣的物體為參照物所構(gòu)成的參考系稱為慣性參照系。然而，現(xiàn)實(shí)中并不存在絕對(duì)的慣性參照系，因?yàn)椴淮嬖诮^對(duì)不受外力的物體。況且，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，并不需要完美的慣性參照系。加速度計(jì)與陀螺儀是測(cè)量慣性指標(biāo)的常用儀器，我們后文探討慣性導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)將會(huì)討論這些工具，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，只需確保所選慣性參照系的精度遠(yuǎn)在測(cè)量?jī)x器的精度之上即可。

下面說(shuō)說(shuō)常用的慣性參照系。首先，太陽(yáng)是我們最熟悉的星體之一。作為一顆恒星，太陽(yáng)質(zhì)量非常大，具有較小地加速度。人類(lèi)目前的宇宙活動(dòng)絕大多數(shù)都是在太陽(yáng)系內(nèi)進(jìn)行的。于是，我們可以以太陽(yáng)中心作為原點(diǎn)建立一個(gè)慣性坐標(biāo)系，將其稱為太陽(yáng)中心慣性坐標(biāo)系。由于太陽(yáng)本身也存在運(yùn)動(dòng)角速度，使用太陽(yáng)中心慣性坐標(biāo)系會(huì)存在一定誤差。根據(jù)太陽(yáng)至銀河系中心的距離是2.2×1017 km，太陽(yáng)繞銀河系的旋轉(zhuǎn)周期大約是190×106年；太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)線速度是233 km/s，可以算得太陽(yáng)繞銀河系中心的向心加速度為2.4×10-11 g。可知，太陽(yáng)繞銀河系中心運(yùn)動(dòng)的向心加速度很小，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了測(cè)量?jī)x器的測(cè)量精度范圍之外。使用太陽(yáng)中心慣性坐標(biāo)系的精度是足夠的。

地球中心慣性坐標(biāo)系是另一種常用的近似慣性參照系，它以地球的中心為坐標(biāo)系原點(diǎn)。同樣，可以計(jì)算地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的加速度：地球中心到太陽(yáng)的平均距離約為1.5×108 km，繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期為365 d，可知地球公轉(zhuǎn)的加速度約為6.05×10-4 g。然而，目前慣導(dǎo)系統(tǒng)的測(cè)量?jī)x器精度通?？芍?0-4 g～10-6 g，可見(jiàn)地球公轉(zhuǎn)加速度是不能忽略的。不過(guò)，當(dāng)被測(cè)物體在地球附近運(yùn)動(dòng)，由于太陽(yáng)（和其他星體）對(duì)地球的引力與對(duì)物體的引力大致抵消，如果我們只關(guān)心物體與地球的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，那么就可以使用地球中心慣性坐標(biāo)系了。這時(shí)，相當(dāng)于被測(cè)量物體只受到了地球的引力，而沒(méi)有太陽(yáng)等其他星體的引力。

2 物體在非慣性參照系中的運(yùn)動(dòng)

與慣性參照系相對(duì)，非慣性參照系是相對(duì)慣性空間有運(yùn)動(dòng)加速度的參照系。相對(duì)慣性空間的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，反之，相對(duì)非慣性空間的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)。如前文所述，物體絕對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度與物體所受力之間的關(guān)系符合牛頓第二定律。下面來(lái)討論物體在非慣性參照系下運(yùn)動(dòng)與受力關(guān)系。

3 地球參考橢球

地球的幾何形態(tài)可以描述為以其自轉(zhuǎn)軸為軸的橢球，其截面的輪廓近似為一橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸沿赤道方向、短軸沿極軸方向。

如果考慮地球的陸地地理狀況，地球的表面是非常不規(guī)則的，但如果以海平面作為參考的話，地球上各處的海平面均與該處重力向量垂直，是地球重力場(chǎng)的一個(gè)等勢(shì)面。該等勢(shì)面稱為大地水準(zhǔn)面，大地水準(zhǔn)面包圍的體積稱為大地體。

如果工程問(wèn)題要求精度不高，也可以用正球體近似描述大地體。更精確的，可以將大地體近似為一旋轉(zhuǎn)橢球體，稱之為參考橢球。參考橢球的旋轉(zhuǎn)軸是地球的自轉(zhuǎn)軸，該軸與地球表面的交點(diǎn)就是地球的兩極。參考橢球沿赤道圈的截面為圓平面，圓的半徑即為參考橢球的長(zhǎng)軸Re，沿地球自轉(zhuǎn)軸的參考橢球半徑為短軸半徑Rp（見(jiàn)圖2）。

子午面是指過(guò)極軸的任意平面與參考橢球相交的截面。子午面的外輪廓線稱為子午線，其曲率半徑記為RM。子午線都是通過(guò)南北兩極的。

若以過(guò)橢球上任一點(diǎn)P、且平行于赤道面的平面與參考橢球相截，可得一個(gè)圓形平面，其輪廓為圓，稱為等緯度圈，等維度圈的曲率半徑記為RL。

最后，用與子午面垂直的、并且過(guò)參考橢球表面上一點(diǎn)P法線的平面截取參考橢球，可得唯一的一個(gè)截平面，該截平面的輪廓線稱為卯酉圈，卯酉圈的其曲率半徑定義為RN。其切線方向就是參考點(diǎn)的東西方向。

4 陀螺儀的基本特性

直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)是物體運(yùn)動(dòng)的兩種基本模式。而復(fù)合運(yùn)動(dòng)是指兩種基本運(yùn)動(dòng)的疊加。當(dāng)復(fù)合運(yùn)動(dòng)由一個(gè)直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)組成時(shí)，見(jiàn)圖3，將產(chǎn)生兩種加速度，其一是由圓周運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的使相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向改變而產(chǎn)生的加速度，其二是由直線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的使相對(duì)運(yùn)動(dòng)半徑增大而產(chǎn)生的加速度.

陀螺儀是一種繞物理對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn)的剛體，玩具陀螺就是陀螺儀的一種典型代表。陀螺儀的特點(diǎn)是在高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)保持轉(zhuǎn)軸的穩(wěn)定性。在實(shí)驗(yàn)中，我們把一個(gè)高速轉(zhuǎn)動(dòng)的陀螺放在木板上，并操作木板傾斜，然而可以發(fā)現(xiàn)陀螺的轉(zhuǎn)軸并不隨木板的姿態(tài)變化而變化。即使將陀螺拋向空中，它的轉(zhuǎn)軸方向也保持不變。

在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中作用的陀螺儀是一個(gè)測(cè)量角運(yùn)動(dòng)的裝置，它具有一個(gè)動(dòng)量矩敏感殼體，該殼體可以測(cè)量繞一個(gè)或兩個(gè)自轉(zhuǎn)軸的相對(duì)于慣性空間的角運(yùn)動(dòng)。常見(jiàn)的陀螺儀分為三自由度陀螺儀和二自由度陀螺儀兩種。（見(jiàn)圖4）

陀螺儀的主要特性包括穩(wěn)定性和進(jìn)動(dòng)性。穩(wěn)定性，是指陀螺轉(zhuǎn)子繞自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)具有動(dòng)量距，如果不受外力矩作用，陀螺儀的自轉(zhuǎn)軸相對(duì)慣性空間方向不變。進(jìn)動(dòng)性，是指對(duì)陀螺施加外力矩，陀螺動(dòng)量矩將相對(duì)于慣性空間發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。

以三自由度陀螺為例，其穩(wěn)定性表現(xiàn)為定軸性和章動(dòng)。定軸性是指陀螺轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，若不受外力矩的作用，不管基座如何轉(zhuǎn)動(dòng)，陀螺儀自轉(zhuǎn)軸在慣性空間中的方向不變。陀螺的動(dòng)量矩越大，其定軸性越強(qiáng)。章動(dòng)是指陀螺儀受到外力矩的瞬間沖擊后，自轉(zhuǎn)軸在原位附近做微小的圓錐運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)方向基本不變。

陀螺儀在地球參考坐標(biāo)系中存在視在運(yùn)動(dòng)。這是由于地球本身相對(duì)于慣性空間存在自轉(zhuǎn)，而陀螺儀的自轉(zhuǎn)軸則是相對(duì)于慣性空間保持不變的。這樣一來(lái)，如果以地球?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行觀測(cè)，反而會(huì)發(fā)現(xiàn)陀螺儀自轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，如果想以被測(cè)量物體當(dāng)?shù)貫闇y(cè)量基準(zhǔn)，必須在陀螺儀上施加外力矩，該力矩大小和方向可以保證陀螺儀自轉(zhuǎn)軸跟蹤被測(cè)量物體當(dāng)?shù)氐拇咕€和子午線在慣性空間中的變化。（見(jiàn)圖5）

陀螺儀的穩(wěn)定性與動(dòng)量矩的大小有關(guān)。根據(jù)式（7），轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大、角速度越大，則動(dòng)量矩越大，陀螺儀的穩(wěn)定性越高。三自由度陀螺儀的穩(wěn)定性還與其3個(gè)軸相互垂直的情況有關(guān)。

陀螺儀在受到外力矩作用時(shí)在與外力矩作用平面垂直的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即陀螺儀的進(jìn)動(dòng)性，運(yùn)動(dòng)方向（進(jìn)動(dòng)方向）是將外力矩沿陀螺轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)90°。對(duì)于三自由度陀螺儀來(lái)說(shuō)，如果外力矩沿內(nèi)框軸作用在陀螺儀上，則動(dòng)量矩繞外框軸相對(duì)慣性空間運(yùn)動(dòng)；如果外力矩沿外框軸作用在陀螺儀上，則動(dòng)量矩繞內(nèi)框軸相對(duì)慣性空間運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖6）。轉(zhuǎn)動(dòng)（進(jìn)動(dòng)）角速度ω的方向，由外力矩M的方向和動(dòng)量矩H的方向共同確定，即動(dòng)量矩沿最短的路線向外力矩矢量運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖7）。

5 慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的坐標(biāo)系

研究慣性導(dǎo)航問(wèn)題時(shí)，常常要涉及到多種坐標(biāo)系。常用的坐標(biāo)系有地理坐標(biāo)系、載體坐標(biāo)系、平臺(tái)坐標(biāo)系、導(dǎo)航坐標(biāo)系等。這里以地理坐標(biāo)系為例介紹慣性導(dǎo)航系統(tǒng)坐標(biāo)系的特點(diǎn)。

5.1 慣性坐標(biāo)系

顧名思義，慣性坐標(biāo)系是描述慣性空間的，從前文中我們知道，絕對(duì)的慣性坐標(biāo)系是不存在的，因此，在實(shí)際問(wèn)題中我們只能建立近似的慣性坐標(biāo)系。在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，我們常用的慣性坐標(biāo)系是太陽(yáng)中心慣性坐標(biāo)系，比如：衛(wèi)星上采用的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)。當(dāng)然，如果載體僅在地球附近運(yùn)動(dòng)，地球中心慣性坐標(biāo)系也是可行的，比如：艦船慣性導(dǎo)航系統(tǒng)。在使用地球中心慣性坐標(biāo)系時(shí)，相當(dāng)于忽略了太陽(yáng)的引力和地球中心的平移加速度。下文中，本文將介紹與地球中心慣性坐標(biāo)系密切相關(guān)的兩種坐標(biāo)系：地球直角坐標(biāo)系和地理坐標(biāo)系。

5.2 地球直角坐標(biāo)系（OXeYeZe）

地球直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于參考橢球中心，定義參考橢球的短軸作為Ze軸，并在地球赤道平面內(nèi)，選取互相垂直的兩個(gè)軸Xe、Ye軸，Xe指向格林威治子午線（0經(jīng)度），Xe、Ye、Ze軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。測(cè)量點(diǎn)P的坐標(biāo)可以用。（見(jiàn)圖8）

要注意，地球直角坐標(biāo)系并不是一個(gè)慣性系，它是隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)的。而地球中心慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸不隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)，指向相對(duì)慣性空間不變。顯見(jiàn)，地球直角坐標(biāo)系OXeYeZe相對(duì)于地球中心慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度就是地球的自轉(zhuǎn)角速度。

地理上常采用經(jīng)度和維度來(lái)確定坐標(biāo)。格林威治子午面將地球分為東西半球，經(jīng)度就是格林威治子午面與過(guò)該點(diǎn)的子午面之間的夾角。緯度是測(cè)量當(dāng)?shù)卮咕€與參考赤道面的夾角。根據(jù)幾何原理，設(shè)地球表面某一點(diǎn)P在地球直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為p（x，y，z），經(jīng)緯度坐標(biāo)為p（λ，φ），則地球直角坐標(biāo)與經(jīng)緯度坐標(biāo)的互換公式如下。

5.3 地理坐標(biāo)系OXtYtZt

地理坐標(biāo)系是以被測(cè)量物體在地球表面的位置為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，見(jiàn)圖9。地理坐標(biāo)系的Zt軸沿被測(cè)物體所在地對(duì)應(yīng)的參考橢球的法線方向，Xt軸與Yt軸在被測(cè)物體所在地的水平面，均與Zt軸垂直，Xt軸沿所在地緯度線指向正東，Yt軸沿當(dāng)?shù)刈游缇€指向正北，Xt、Yt、Zt遵守右手坐標(biāo)系。根據(jù)第3節(jié)中的定義，地理坐標(biāo)系的Zt軸與赤道面的夾角度數(shù)就是被測(cè)物體所在地理緯度值，Zt軸與Yt軸所在的平面是被測(cè)物體所在地的子午面。Zt軸與Xt軸所在的平面就是被測(cè)物體所在地的卯酉面。Xt軸與Yt軸所在的平面就是被測(cè)物體所在地的水平面。

當(dāng)被測(cè)物體（載體）在地球表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，地理坐標(biāo)系隨載體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，因此，應(yīng)用地理坐標(biāo)系時(shí)，要考慮兩種相對(duì)運(yùn)動(dòng)，首先是地理坐標(biāo)系在隨載體發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于地球直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；其次是地球直角坐標(biāo)系相對(duì)地球中心慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

地理坐標(biāo)系是工程中常用的坐標(biāo)系。在分析慣性導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)是重要的理論工具。比如：在指北方位平臺(tái)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，指北方位平臺(tái)所采用的基準(zhǔn)就是地理坐標(biāo)系；陀螺羅經(jīng)中對(duì)子午面和誤差的參考也是相對(duì)于地理坐標(biāo)系的。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳永冰.慣性導(dǎo)航原理[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2007.