兒童數(shù)字估計(jì)能力的研究進(jìn)展及其啟示

許曉暉

數(shù)字心理表征在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有舉足輕重的作用，從測(cè)量、空間幾何到有理數(shù)、坐標(biāo)系統(tǒng)、真實(shí)數(shù)字線的學(xué)習(xí)都離不開它的參與①Dehaene，S.，Izard，V.，Spelke，E.，＆ Pica，P.. Log or linear？Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures. Science，2008，320（5880）：1217-1220.。為此，近年來(lái)數(shù)字心理表征一直是數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)與焦點(diǎn)。眾多心理物理學(xué)與神經(jīng)心理學(xué)的研究表明，個(gè)體頭腦中數(shù)字沿著心理數(shù)字線被表征②Dehaene，S.，Dupoux，E. ＆ Mehler，J.. Is numerical comparison digital？Analogical and symbolic effects in two-digit number comparison. Journal of Experimental Psychology： Human Perception and Performance，1990，16（3）：626-641.③Gallistel，C.R.＆ Gelman，R.Preverbal and verbal counting and computation.Cognition，1992，44（1-2）：43-74.。因此，數(shù)字線估計(jì)任務(wù)被用作檢驗(yàn)個(gè)體如何表征數(shù)的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)，其要求被試在一條兩端標(biāo)有數(shù)字的線段上標(biāo)出給定數(shù)字所處的位置（例如，線段的一端是0，另一端是10，請(qǐng)個(gè)體標(biāo)出8 在該線段上的位置）①Dehaene，S.，Dupoux，E. ＆ Mehler，J.. Is numerical comparison digital？Analogical and symbolic effects in two-digit number comparison. Journal of Experimental Psychology： Human Perception and Performance，1990，16（3）：626-641.Whyte，J. C.，＆ Bull，R.. Number games，magnitude representation，and basic number skills in preschoolers.Developmental Psychology，2008，44（2）：588-596.②Barth，H. C.，Slusser，E. B.，Cohen，D.，＆ Paladino，A. M.. A sense of proportion： Commentary on Opfer，Siegler and Young. Developmental Science，2011，14（5）：1205-1206.③Barth，H. C.，＆ Paladino，A. M.. The development of numerical estimation： Evidence against a representational shift. Developmental Science，2011，14（1）：125-135.④Ebersbach，M.，Luwel，K.，F(xiàn)rick，A.，Onghena，P.，＆ Verschaffel，L.. The relationship between the shape of the mental number line and familiarity with numbers in 5- to 9-year old children： Evidence for a segmented linear model. Journal of Experimental Child Psychology，2008，99（1）：1-17.⑤Geary，D. C.，Hoard，M. K.，Nugent，L.，＆ Byrd-Craven，J.. Development of number line representations in children with mathematical learning disability. Developmental Neuropsychology，2008，33（3）：277-299.⑥Moeller，K.，Pixner，S.，Kaufmann，L.，＆ Nuerk，H. C.. Children’s early mental number line： Logarithmic or decomposed linear？Journal of Experimental Child Psychology，2009，103（4）：503-515.⑦M(jìn)uldoon，K.，Simms，V.，Towse，J.，Menzies，V.，＆ Yue，G.. Cross-cultural Comparisons of 5-year-olds’estmating and mathematical ability. Cross-Cutural Psychology，2011，42（4）：669-681.⑧Siegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.⑨Siegler，R. S.，＆ Opfer，J. E.. The development of numerical estimation： Evidence for multiple representations of numerical quantity. Psychological Science，2003，14（3）：237-243.⑩Slusser，E. B.，Santiago，R. T.，＆ Barth，H. C.. Developmental change in numerical estimation. Journal Experimtental Psychology： General，2013，142（1）：193-208.??Young，C. J.，＆ Opfer，J. E.. Psychophysics of numerical representation： A unified approach to single- and multi-digit magnitude estimation. Zeitschrift fu¨ r Psychologie／Journal of Psychology，2011，219（1）：58-63.。采用數(shù)字線任務(wù)的研究結(jié)果既說(shuō)明了個(gè)體的數(shù)字估計(jì)能力，更揭示了個(gè)體的數(shù)字心理表征。數(shù)字估計(jì)能力是兒童早期數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵經(jīng)驗(yàn)，它可幫助兒童建立關(guān)于數(shù)字順序、數(shù)量大小、數(shù)字之間相互關(guān)系以及數(shù)字空間表征的相關(guān)概念，從而為兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的深入發(fā)展奠定基礎(chǔ)。兒童數(shù)字估計(jì)能力的研究結(jié)果既可豐富有關(guān)、兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知、兒童認(rèn)知發(fā)展等方面的相關(guān)理論，又可豐富兒童數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容，為建構(gòu)相關(guān)課程提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)與實(shí)證支持。縱觀已有的相關(guān)研究，研究者首先探討了多種數(shù)字心理表征即數(shù)字估計(jì)的模型，以嘗試回答不同大小的數(shù)字如何映射到心理數(shù)字線上。在此基礎(chǔ)上，研究者又進(jìn)一步探討了數(shù)字估計(jì)能力與數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的關(guān)系，影響個(gè)體數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展的家庭與文化因素、數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展的干預(yù)策略等。以下本文將從上述幾個(gè)方面梳理有關(guān)兒童數(shù)字估計(jì)能力的研究進(jìn)展，并嘗試闡明作者對(duì)今后研究方向的思考。

一、數(shù)字估計(jì)模型

基于數(shù)字線任務(wù)的考察，研究者提出了對(duì)數(shù)模型、線性模型、對(duì)數(shù)—線性表征轉(zhuǎn)換模型、雙線性模型與單／雙循環(huán)比例冪模型等五種數(shù)字估計(jì)模型即數(shù)字心理表征模型。

（一）對(duì)數(shù)模型

對(duì)數(shù)模型（logarithmic model）是指?jìng)€(gè)體表征數(shù)字時(shí)采用了一種對(duì)數(shù)關(guān)系的分布模型，前疏后密，夸大了低端數(shù)字間的距離，縮小了中高端數(shù)字間的距離，如數(shù)字1 和75 間的心理距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于75 到1000 的距離。研究者借用費(fèi)希納定律提出該模型?Bank，W. P.，＆ Hill，D. K.. The apparent magnitude of number scaled by random production. Journal of Experimental Psychology，1974，102（2）： 353-376. Dehaene，S.. The number sense： How the mind creates mathematics.New York： Oxford University Press，1997.，并將嬰兒和動(dòng)物表征數(shù)字的距離效應(yīng)作為有力證明?Dehaene，S.，Dehaene-Lambertz，G.，＆ Cohen，L.. Abstract representations of numbers in the animal and human brain. Trends in Neuroscience，1998，21（8）：355-361.?Starkey，P.，＆ Cooper，R. G.. Perception of numbers by human infants. Science，1980，210（4473）：1033-1035.。除來(lái)自嬰兒與動(dòng)物的研究證據(jù)外，Dehaene 等的研究發(fā)現(xiàn)，亞馬遜地區(qū)的Mnundurucu 人，無(wú)論是成人還是兒童，對(duì)0-10符號(hào)與非符號(hào)數(shù)字線的估計(jì)都呈現(xiàn)對(duì)數(shù)表征?Dehaene，S.，Izard，V.，Spelke，E.，＆ Pica，P.. Log or linear？Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures. Science，2008，320（5880）：1217-1220.。研究者認(rèn)為，此結(jié)果可能源于Mnundurucu 人既無(wú)結(jié)構(gòu)化的數(shù)字系統(tǒng)，也無(wú)正規(guī)的學(xué)校教育?；谏鲜鲅芯浚珼ehaene 等試圖證明一個(gè)觀點(diǎn)：個(gè)體將數(shù)字映射到空間上的最初、最直觀的表征方式是對(duì)數(shù)表征①Dehaene，S.，Izard，V.，Spelke，E.，＆ Pica，P.. Log or linear？Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures. Science，2008，320（5880）：1217-1220.Booth，J. L.，＆ Siegler，R. S.. Numerical magnitude representations influence arithmetic learning. Child Development，2008，79（4）：1016-1031.。

（二）線性模型

另一些研究者則提出了線性模型（linear model），是指?jìng)€(gè)體對(duì)數(shù)量的估計(jì)符合線性函數(shù)，即個(gè)體對(duì)所有數(shù)字的表征具有相等的空間距離，相鄰數(shù)字之間的距離不隨著數(shù)量的增加幅度而改變②Brannon，E. M.，Wusthoff，C. J.，Gallistel，C. R. ＆ Gibbon，J.. Numerical Subtraction in the Pigeon： Evidence for a Linear Subjective Number Scale. Psychological science，2001，12（3）：238-243.③Gibbon，J.，＆ Church，R. M.. Time left： Linear versus logarithmic subjective time. Journal of the Experimental Analysis of Behavior，1981，7 （2）：87-107.。線性表征符合現(xiàn)實(shí)中數(shù)字的分布情況，因此，使用線性表征對(duì)兒童能否準(zhǔn)確估計(jì)具有重大意義。通過(guò)研究，線性模型的支持者探討了兒童獲得線性表征的年齡，Case 和Okamoto 指出，4 歲兒童甚至不能準(zhǔn)確估計(jì)兩個(gè)個(gè)位數(shù)中哪個(gè)距離第三個(gè)數(shù)更近（如3 與8 哪個(gè)距離6 更近），4-5 歲兒童只擁有一種數(shù)字表征的定性中央概念結(jié)構(gòu)，如僅僅能比較多和少，而6 歲或者更大點(diǎn)的兒童開始并一直使用線性表征④Case，R.，＆ Okamoto，Y.. The role of conceptual structures in the development of children’s thought. Monographs of the Society for Research in Child Development，1996，61（246）： Nos.1-2.。Case 和Sowder 又進(jìn)一步指出，在獲得線性表征之前，兒童似乎不可能擁有精確的數(shù)字估計(jì)⑤Case，R. ＆ Sowder，J. T.. The Development of Computational Estimation： A Neo-Piagetian Analysis. Cognition and Instruction，1990，7（2）：79-104.。然而，Huntley-Fenner發(fā)現(xiàn)，在點(diǎn)估計(jì)任務(wù)中，5-7 歲兒童的估計(jì)符合線性模型的預(yù)測(cè)⑥Huntley-Fenner G.. Children’s understanding of number is similar to adults’ and rats’：numerical estimation by 5-7-year-olds. Cognition，2001，78（3）： B27-B40.。

（三）對(duì)數(shù)—線性表征轉(zhuǎn)換模型

基于對(duì)數(shù)模型和線性模型，Siegler 等提出了對(duì)數(shù)—線性模型轉(zhuǎn)換（logarithmic-to-linear shift）的假設(shè)，以此來(lái)解釋兒童數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展的表征轉(zhuǎn)換⑦Siegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.⑧Siegler，R. S.，＆ Opfer，J. E.. The development of numerical estimation： Evidence for multiple representations of numerical quantity. Psychological Science，2003，14（3）：237-243.⑨Young，C. J.，＆ Opfer，J. E.. Psychophysics of numerical representation： A unified approach to single- and multi-digit magnitude estimation. Zeitschrift fu¨ r Psychologie／Journal of Psychology，2011，219（1）：58-63.⑩Booth，J. L.，＆ Siegler，R. S.. Developmental and individual differences in pure numerical estimation.Developmental Psychology，2006，42（1）：189-201.??Laski，E. V.，＆ Siegler，R. S.. Is 27 a big number？Correlational and causal connections among numerical categorization，number line estimation，and numerical magnitude comparison. Child Development，2007，78（6）：1723-1743.?Opfer，J. E.，＆ Siegler，R. S.. Representational change and children’s numerical estimation. Cognitive Psychology，2007，55（3）：169-195.?Opfer，J. E.，Siegler，R. S.，＆ Young，C. J.. The powers of noise- fitting： Reply to Barth and Paladino.Developmental Science，2011，14（5）：1194-1204.?Opfer，J. E.，＆ Thompson，C. A.. The trouble with transfer：Insights from microgenetic changes in the representation of numerical magnitude. Child Development，2008，79（3）：788-804.?Ramani，G. B.，＆ Siegler，R. S.. Promoting broad and stable improvements in low-income children’s numerical knowledge through playing number board games. Child Development，2008，79（2）：375-394.?Siegler，R. S.，＆ Mu，Y. Chinese children excel on novel mathematics problems even before elementary school.Psychological Science，2008，19（8）：759-763.?Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear numerical board games promotes low-income children’s numerical development. Developmental Science，2008，11（5）：655-661.?Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear number board games—but not circular ones—improves low-income preschoolers’ numerical understanding. Journal of Educational Psychology，2009，101（3）：545-560.。與Case 等采用階段性觀點(diǎn)來(lái)解釋這種發(fā)展不同，Siegler 秉持重波理論（Overlapping Waves Theory），認(rèn)為個(gè)體了解并能夠使用多種數(shù)字表征方式，發(fā)展不是一種表征取代另一種，而是各種表征共存并競(jìng)爭(zhēng)，不同的情境下使用不同的表征模式，隨著年齡和經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)，兒童會(huì)逐漸依賴于特定情境中最適合的表征模式。

Siegler 等進(jìn)行了一系列研究來(lái)證明對(duì)數(shù)—線性數(shù)字估計(jì)模型轉(zhuǎn)換的存在①Siegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.Ebersbach，M.，Luwel，K.，F(xiàn)rick，A.，Onghena，P.，＆ Verschaffel，L.. The relationship between the shape of the mental number line and familiarity with numbers in 5- to 9-year old children： Evidence for a segmented linear model. Journal of Experimental Child Psychology，2008，99（1）：1-17.②Siegler，R. S.，＆ Opfer，J. E.. The development of numerical estimation： Evidence for multiple representations of numerical quantity. Psychological Science，2003，14（3）：237-243.③Booth，J. L.，＆ Siegler，R. S.. Developmental and individual differences in pure numerical estimation.Developmental Psychology，2006，42（1）：189-201.④Laski，E. V.，＆ Siegler，R. S.. Is 27 a big number？Correlational and causal connections among numerical categorization，number line estimation，and numerical magnitude comparison. Child Development，2007，78（6）：1723-1743.⑤Opfer，J. E.，＆ Siegler，R. S.. Representational change and children’s numerical estimation. Cognitive Psychology，2007，55（3）：169-195.⑥Opfer，J. E.，＆ Thompson，C. A.. The trouble with transfer：Insights from microgenetic changes in the representation of numerical magnitude. Child Development，2008，79（3）：788-804.⑦Ramani，G. B.，＆ Siegler，R. S.. Promoting broad and stable improvements in low-income children’s numerical knowledge through playing number board games. Child Development，2008，79（2）：375-394.⑧Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear numerical board games promotes low-income children’s numerical development. Developmental Science，2008，11（5）：655-661.⑨Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear number board games—but not circular ones—improves low-income preschoolers’ numerical understanding. Journal of Educational Psychology，2009，101（3）：545-560.。如在同一數(shù)量情境中，學(xué)前班兒童對(duì)0-100 數(shù)字線的估計(jì)更擬合對(duì)數(shù)函數(shù)，一年級(jí)學(xué)生的估計(jì)同等擬合對(duì)數(shù)與線性函數(shù)，二年級(jí)學(xué)生的估計(jì)則更擬合線性函數(shù)。對(duì)于同一年齡段兒童，二年級(jí)學(xué)生對(duì)0-100 數(shù)字線的估計(jì)更擬合線性函數(shù)，對(duì)0-1000 數(shù)字線的估計(jì)更擬合對(duì)數(shù)函數(shù)。對(duì)成人的研究也證明了個(gè)體同時(shí)擁有兩種表征模式，Dehaene 等研究表明，美國(guó)成年人對(duì)0-10 符號(hào)與1-10 點(diǎn)數(shù)字線的估計(jì)呈線性模式，但對(duì)于0-100 點(diǎn)數(shù)字線與0-10 聲音數(shù)字線的估計(jì)則呈現(xiàn)對(duì)數(shù)模式⑩Dehaene，S.，Izard，V.，Spelke，E.，＆ Pica，P.. Log or linear？Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures. Science，2008，320（5880）：1217-1220.。

（四）雙線性模型

盡管有大量研究結(jié)果可支持對(duì)數(shù)—線性轉(zhuǎn)換模型，仍有研究者對(duì)此模型提出異議。Ebersbach等不同意幼兒最初的數(shù)字估計(jì)擬合對(duì)數(shù)表征的理論，提出在解釋學(xué)前班、一年級(jí)兒童0-100 數(shù)字線任務(wù)的表現(xiàn)時(shí)，雙線性模型（two-linear model）比對(duì)數(shù)模型具有更好的解釋力?Siegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.Ebersbach，M.，Luwel，K.，F(xiàn)rick，A.，Onghena，P.，＆ Verschaffel，L.. The relationship between the shape of the mental number line and familiarity with numbers in 5- to 9-year old children： Evidence for a segmented linear model. Journal of Experimental Child Psychology，2008，99（1）：1-17.。Ebersbach 等認(rèn)為，心理表征模式反映兒童在不同數(shù)量范圍的數(shù)字技能，因此，在數(shù)字估計(jì)中存在一種由至少兩條線段組成圖像的表征模式，兩條線段的分界點(diǎn)在于幼兒熟悉與非熟悉的數(shù)字。年幼兒童在面對(duì)熟悉的數(shù)字時(shí)，心理表征符合斜度較大的線性函數(shù)；在面對(duì)不熟悉的數(shù)字時(shí)，心理表征符合斜度較小的線性函數(shù)。Ebersbach 等對(duì)學(xué)前班到三年級(jí)兒童的研究結(jié)果支持了該模型。

Moeller 等?Moeller，K.，Pixner，S.，Kaufmann，L.，＆ Nuerk，H. C.. Children’s early mental number line： Logarithmic or decomposed linear？. Journal of Experimental Child Psychology，2009，103（4）：503-515.?Moeller，K.，Huber，S.，Nuerk，H.-C. ＆ Willmes，K.. Two-digit number processing： holistic，decomposed or hybrid？A computational modelling approach. Psychological Research，2011，75（4）：290-306.支持雙線性模型，但基于一系列有關(guān)一位數(shù)與兩位數(shù)分離加工的研究證據(jù)，他們提出，對(duì)于尚未完全將兩種加工機(jī)制整合于阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)數(shù)位結(jié)構(gòu)的低齡幼兒，其雙線性模型的分界點(diǎn)應(yīng)位于一位數(shù)和兩位數(shù)之間。Moeller 等采用0-100 數(shù)字線任務(wù)對(duì)一年級(jí)兒童的研究結(jié)果支持了這一觀點(diǎn)。Moeller 等推斷，隨著年齡的增長(zhǎng)和教育的影響，個(gè)體從一位數(shù)和兩位數(shù)或兩位數(shù)和三位數(shù)為分界點(diǎn)的雙線性表征，逐漸轉(zhuǎn)換為單一線性表征，這一轉(zhuǎn)換與對(duì)數(shù)—線性表征轉(zhuǎn)換相比，更能合理地解釋個(gè)體的數(shù)量表征。

（五）單／雙循環(huán)比例冪模型

Barth 和Plaladino 是對(duì)數(shù)—線性表征轉(zhuǎn)換模型的堅(jiān)定反對(duì)者，認(rèn)為該模型存在三個(gè)問(wèn)題：首先，如果對(duì)數(shù)—線性表征轉(zhuǎn)換模型是兒童心理表征中的一個(gè)普遍轉(zhuǎn)換，此轉(zhuǎn)換也應(yīng)該存在于其它估計(jì)任務(wù)中，但非數(shù)字線任務(wù)的研究并無(wú)證據(jù)支持該轉(zhuǎn)換模型；其次，對(duì)于兒童所表現(xiàn)出的系統(tǒng)高估或低估模式，對(duì)數(shù)—線性表征轉(zhuǎn)換模型無(wú)法提供充分解釋；第三，對(duì)數(shù)—線性表征轉(zhuǎn)換模型不能反映出解決數(shù)字線估計(jì)任務(wù)需要進(jìn)行比例判斷的特性①Barth，H. C. ，Slusser，E. B. ，Cohen，D. ，＆ Paladino，A. M. . A sense of proportion： Commentary on Opfer，Siegler and Young. Developmental Science，2011，14（5）： 1205-1206.②Barth，H. C. ，＆ Paladino，A. M. . The development of numerical estimation： Evidence against a representational shift. Developmental Science，2011，14（1）： 125-135.。因此，Barth 和Plaladino 提出了單／雙循環(huán)比例冪模 型 （one- and two-cycle versions of the proportional power model）來(lái)解釋個(gè)體的數(shù)字估計(jì)表現(xiàn)②Barth，H. C. ，＆ Paladino，A. M. . The development of numerical estimation： Evidence against a representational shift. Developmental Science，2011，14（1）： 125-135.。單循環(huán)比例冪模型是指模擬個(gè)體估計(jì)的線段準(zhǔn)確通過(guò)被估數(shù)量范圍的中點(diǎn)，高估了位于前50% 的數(shù)字，低估了位于后50% 的數(shù)字；雙循環(huán)比例冪模型則是模擬個(gè)體估計(jì)的線段準(zhǔn)確通過(guò)位于25% 和75% 的被估值，高估了位于前25% 和50%-75% 之間的數(shù)字，低估了位于25%- 50% 之間和后75% 的數(shù)字。

Barth 等的研究表明，5 歲兒童對(duì)0-100 數(shù)字線的估計(jì)擬合單循環(huán)比例冪模型；7-10 歲兒童對(duì)0-1000 數(shù)字線的估計(jì)、8-10 歲兒童對(duì)0-10000 數(shù)字線的估計(jì)則擬合雙循環(huán)比例冪模型②Barth，H. C. ，＆ Paladino，A. M. . The development of numerical estimation： Evidence against a representational shift. Developmental Science，2011，14（1）： 125-135.③Slusser，E. B.，Santiago，R. T.，＆ Barth，H. C.. Developmental change in numerical estimation. Journal Experimtental Psychology： General，2013，142（1）：193-208.。Barth 等認(rèn)為，單／雙循環(huán)比例冪模型與對(duì)數(shù)模型同樣為低齡幼兒數(shù)字估計(jì)表征提供了很好的解釋，而與線性模型相比，單／雙循環(huán)比例冪模型能為高齡兒童的數(shù)字估計(jì)表征提供更好的解釋。與對(duì)數(shù)—線性表征轉(zhuǎn)換不同，比例判斷依據(jù)兩種顯著的改變來(lái)解釋個(gè)體數(shù)字估計(jì)表征的變化：一為參數(shù)β 的值會(huì)隨著個(gè)體年齡和經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)而逐漸趨向于1，從而數(shù)字估計(jì)結(jié)果會(huì)越來(lái)越準(zhǔn)確；二為隨著個(gè)體年齡和經(jīng)驗(yàn)增長(zhǎng)而變化的參照數(shù)字，最初參照數(shù)字只是所估計(jì)數(shù)字范圍的兩個(gè)端點(diǎn)，接著加入了位于25% 和75% 的兩個(gè)數(shù)字③Slusser，E. B.，Santiago，R. T.，＆ Barth，H. C.. Developmental change in numerical estimation. Journal Experimtental Psychology： General，2013，142（1）：193-208.。

二、數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展的相關(guān)因素研究

對(duì)于數(shù)字估計(jì)能力的相關(guān)因素，為數(shù)不多的研究者探討了個(gè)體數(shù)字估計(jì)能力與數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展之間的關(guān)系。研究表明，估計(jì)的絕對(duì)錯(cuò)誤率與學(xué)前班至二年級(jí)兒童數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在顯著負(fù)相關(guān)，兒童數(shù)字估計(jì)的絕對(duì)錯(cuò)誤率越低，其數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)礁?。兒童?shù)字估計(jì)的線性函數(shù)擬合度與其數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在顯著正相關(guān)，兒童數(shù)字估計(jì)的線性擬合度越高，其數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)礁撷躍iegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.⑤Booth，J. L.，＆ Siegler，R. S.. Developmental and individual differences in pure numerical estimation.Developmental Psychology，2006，42（1）：189-201.。在此基礎(chǔ)上，Siegler 等進(jìn)一步考察了數(shù)字估計(jì)的線性表征對(duì)一、二年級(jí)兒童即將進(jìn)行的加法學(xué)習(xí)的貢獻(xiàn)率，結(jié)果表明，數(shù)字估計(jì)的線性擬合程度是兒童后期加法學(xué)習(xí)效果的唯一預(yù)測(cè)源⑥Booth，J.L.，＆ Siegler，R. S.. Numerical magnitude representations influence arithmetic learning. Child Development，2008，79（4）：1016-1031.。

我國(guó)研究者李曉芹重復(fù)了Siegler 等的研究，考察了一、二、三年級(jí)兒童在0-100 數(shù)字線上的估計(jì)表現(xiàn)與其數(shù)學(xué)認(rèn)知的關(guān)系，獲得了一致的研究結(jié)果，即數(shù)字估計(jì)越準(zhǔn)確、越符合線性函數(shù)，兒童數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)礁撷倮顣郧郏骸缎W(xué)兒童數(shù)字線估計(jì)的發(fā)展研究》，曲阜：曲阜師范大學(xué)學(xué)位論文，2008年。Perry，M.. Explanations of mathematical concepts in Japanese，Chinese and U.S. first- and fifth-grade classrooms.Cognition and Instruction，2000，18，181-207.。Geary 對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難、數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就低和正常兒童的數(shù)字估計(jì)能力的追蹤研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難和低數(shù)學(xué)成績(jī)的兒童其估計(jì)準(zhǔn)確性顯著低于正常兒童②Geary，D. C.，Hoard，M. K.，Nugent，L.，＆ Byrd-Craven，J.. Development of number line representations in children with mathematical learning disability. Developmental Neuropsychology，2008，33（3）：277-299.。Muldoon 等選取運(yùn)算能力相等的中國(guó)兒童（平均4.5 歲）與蘇格蘭兒童（平均5.3 歲）作為被試，考察其在0-10與0-100 數(shù)字線上的估計(jì)表現(xiàn)，研究結(jié)果表明，雖然中國(guó)兒童年齡低于蘇格蘭兒童，但二者數(shù)字線估計(jì)的線性擬合度不存在顯著差異，這一結(jié)果也間接說(shuō)明數(shù)字估計(jì)能力與數(shù)學(xué)認(rèn)知之間存在正向關(guān)系③Muldoon，K.，Simms，V.，Towse，J.，Menzies，V.，＆ Yue，G.. Cross-cultural Comparisons of 5-year-olds’estmating and mathematical ability. Cross-Cutural Psychology，2011，42（4）：669-681.。究其原因，Case 等認(rèn)為心理數(shù)字線為學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)提供了一個(gè)核心概念結(jié)構(gòu)④Case，R.，＆ Okamoto，Y.. The role of conceptual structures in the development of children’s thought. Monographs of the Society for Research in Child Development，1996，61（246）： Nos.1-2.。數(shù)字估計(jì)線性程度比之前算術(shù)知識(shí)更能預(yù)測(cè)兒童后期算術(shù)學(xué)習(xí)的事實(shí)則表明，兒童對(duì)數(shù)值大小的表征可能是影響其學(xué)習(xí)新算術(shù)知識(shí)的關(guān)鍵因素①李曉芹：《小學(xué)兒童數(shù)字線估計(jì)的發(fā)展研究》，曲阜：曲阜師范大學(xué)學(xué)位論文，2008年。Perry，M.. Explanations of mathematical concepts in Japanese，Chinese and U.S. first- and fifth-grade classrooms.Cognition and Instruction，2000，18，181-207.。

少數(shù)研究者考察了家庭與文化背景對(duì)兒童數(shù)字心理表征發(fā)展的影響。已有研究結(jié)果表明，來(lái)自不同社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位家庭的幼兒其數(shù)字估計(jì)能力存在顯著差異。Siegler 與Ramani 考察了美國(guó)中產(chǎn)階級(jí)家庭與低收入家庭幼兒（平均年齡4.7歲）0-10 數(shù)字線的估計(jì)表征，研究發(fā)現(xiàn)，與低收入家庭的幼兒相比，中產(chǎn)階級(jí)家庭幼兒的估計(jì)更擬合線性函數(shù)（沒(méi)有擬合對(duì)數(shù)函數(shù)的數(shù)據(jù)報(bào)告）⑤Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear numerical board games promotes low-income children’s numerical development. Developmental Science，2008，11（5）：655-661.。跨文化比較發(fā)現(xiàn)，中國(guó)兒童比西方兒童更早出現(xiàn)線性表征。Siegler 和Mu 的研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于0-100 的數(shù)字線估計(jì)，美國(guó)學(xué)前班兒童的估計(jì)更擬合對(duì)數(shù)函數(shù)，而中國(guó)大班兒童的估計(jì)更擬合線性函數(shù)⑥Siegler，R. S.，＆ Mu，Y.. Chinese children excel on novel mathematics problems even before elementary school.Psychological Science，2008，19（8）：759-763.。許曉暉等研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于0-10 數(shù)字線，中國(guó)小班幼兒的估計(jì)呈現(xiàn)對(duì)數(shù)與線性表征并存的模式，中、大班幼兒呈現(xiàn)線性表征；對(duì)于0-100 數(shù)字線，中國(guó)大班幼兒估計(jì)的線性擬合度顯著高于美國(guó)同齡幼兒，等同于美國(guó)一、二年級(jí)兒童估計(jì)的線性擬合度；對(duì)于0-1000 數(shù)字線，中國(guó)大班幼兒估計(jì)的線性擬合度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于美國(guó)二年級(jí)兒童的線性擬合度⑦Xu，X.，Chen，C.，Pan，M. ＆ Li，N.. Development of numerical estimation in Chinese preschool children. Journal of Experimental Child Psychology，2013，116（2）：351-366.。亞馬遜地區(qū)的Mnundurucu人則是一個(gè)更為極端的案例，即使是Mnundurucu成年人，其對(duì)0-10 數(shù)字線的估計(jì)仍呈現(xiàn)對(duì)數(shù)表征，研究者將其歸因?yàn)镸nundurucu 人沒(méi)有系統(tǒng)的數(shù)字符號(hào)以及正式的數(shù)學(xué)教育。

其他研究者同樣以教育的原因來(lái)解釋東西方兒童數(shù)字估計(jì)能力及數(shù)學(xué)成就的差異。研究者認(rèn)為，東亞兒童在課堂上、放學(xué)后花費(fèi)更多的時(shí)間學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)⑧Chen，C.，＆ Stevenson，H.W.. Homework： A cross-cultura examination. Child Development，1989，60，551-561.⑨Stigler，J.W.，＆ Hiebert，J.. The teaching gap： Best ideas from the world’s teachers for improving education in the classroom. New York： Free Press，1999.；相比于美國(guó)教師，東亞教師理解更多的數(shù)學(xué)基本概念，可采用更多有針對(duì)性的教學(xué)方法⑩Ma，L.. Knowing and teaching elementary mathematics：Teachers’ understanding of fundamental mathematics in China and the United States. Mahwah，NJ： Erlbaum，1999.，可提供更多實(shí)質(zhì)性解釋?李曉芹：《小學(xué)兒童數(shù)字線估計(jì)的發(fā)展研究》，曲阜：曲阜師范大學(xué)學(xué)位論文，2008年。Perry，M.. Explanations of mathematical concepts in Japanese，Chinese and U.S. first- and fifth-grade classrooms.Cognition and Instruction，2000，18，181-207.，并且可針對(duì)學(xué)生提問(wèn)提供多種解答方案?Geary，D. C.. Children’ s mathematical development： Research and practical Applications. Washington，DC：American Psychological Association，1994.；相比于美國(guó)的家長(zhǎng)，中國(guó)的家長(zhǎng)更加重視子女的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，且更多地參與孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)①Huntsinger，C.S.，Jose，P.E.，Liaw，F(xiàn).R.，＆ Ching，W.. Cultural differences in early mathematics learning： A comparison of Euro- American，Chinese- American，and Taiwan- Chinese families. International Journal of Behavioral Development，1997，21，371-388.②Zhou，X.，Huang，J.，Wang，Z.，Wang，B.，Zhao，Z.，Yang，L.，＆ Y，Z.. Parent- child interaction and children’s number learning. Early Child Development and Care，2006，176（7），763-775.，不同社經(jīng)地位家長(zhǎng)的投入與此同理，同時(shí)低收入父母與高收入父母還存在教育能力的差異，可為子女提供的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)較少。另有研究者從學(xué)習(xí)方式來(lái)解釋東西方兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差異，認(rèn)為提供多樣的、同步的、冗余的學(xué)習(xí)線索可促進(jìn)兒童多類型的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。如中國(guó)兒童會(huì)使用數(shù)手指或者其它物體來(lái)幫助其解決算術(shù)問(wèn)題或者確定集合的大小，其中包含了豐富的關(guān)于數(shù)量的觸覺(jué)、視覺(jué)、聽覺(jué)的信息，從而促進(jìn)了其各類數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與理解③Siegler，R. S.，＆ Mu，Y.. Chinese children excel on novel mathematics problems even before elementary school.Psychological Science，2008，19（8）：759-763.。

三、數(shù)字估計(jì)能力的干預(yù)

如上所述數(shù)字估計(jì)能力與兒童數(shù)學(xué)成就之間存在顯著正相關(guān)，為此，探索促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)估計(jì)能力發(fā)展的干預(yù)措施，以間接促進(jìn)其數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的發(fā)展也成為研究者著重探討的問(wèn)題。目前已有三類促進(jìn)兒童數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展的干預(yù)策略：估計(jì)數(shù)字訓(xùn)練、數(shù)字分類和數(shù)字棋游戲。

估計(jì)數(shù)字訓(xùn)練包括對(duì)所有被估數(shù)字和特定被估數(shù)字的估計(jì)反饋訓(xùn)練兩種。Siegler 和Booth 對(duì)幼兒園大班、小學(xué)一、二年級(jí)兒童進(jìn)行所有被估數(shù)字的反饋訓(xùn)練，即請(qǐng)被試將所有被估數(shù)字估計(jì)在同一條數(shù)字線上，在估計(jì)的過(guò)程中被試可以隨時(shí)進(jìn)行修改和調(diào)整。研究結(jié)果表明，干預(yù)訓(xùn)練可顯著提高一、二年級(jí)兒童數(shù)字估計(jì)的線性度，但無(wú)法顯著提高大班兒童數(shù)字估計(jì)的線性度④Siegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.。特定被估數(shù)字的反饋訓(xùn)練則基于對(duì)數(shù)差異假設(shè)（log discrepancy hypothesis），該假設(shè)認(rèn)為，針對(duì)線性模式與對(duì)數(shù)模式之間差異最大區(qū)域的數(shù)字進(jìn)行估計(jì)反饋訓(xùn)練將促使兒童由對(duì)數(shù)表征轉(zhuǎn)為線性表征，且這種變化是突然的、整體性的?；诖?，Opfer與Siegler 對(duì)二年級(jí)兒童進(jìn)行了0-1000 數(shù)字線估計(jì)的干預(yù)，確定150 周圍的數(shù)字作為特定數(shù)字，研究結(jié)果顯示，與5、725 和無(wú)反饋組相比，150 反饋組兒童成功地由對(duì)數(shù)表征轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性表征⑤Opfer，J. E.，＆ Siegler，R. S.. Representational change and children’s numerical estimation. Cognitive Psychology，2007，55（3）：169-195.。李曉芹對(duì)國(guó)內(nèi)小學(xué)生的研究也得出基本一致的結(jié)論⑥李曉芹：《小學(xué)兒童數(shù)字線估計(jì)的發(fā)展研究》，曲阜：曲阜師范大學(xué)學(xué)位論文，2008年。。

數(shù)字分類是指兒童基于數(shù)量對(duì)數(shù)字形成主觀的大小分類，即請(qǐng)被試把給定數(shù)字分別放入不同的組別中，如將0-100 的數(shù)字分為非常小至非常大五組（非常小：1-20，小：21-40，中等：41-60，大：61-80，非常大：81-100）。Laski 與Siegler采用此方案對(duì)大班兒童進(jìn)行0-100 數(shù)字線估計(jì)的干預(yù)，實(shí)驗(yàn)組和控制組兒童同時(shí)接受一對(duì)一的數(shù)字分類訓(xùn)練，但只對(duì)實(shí)驗(yàn)組兒童給予反饋。研究結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)組兒童后測(cè)的估計(jì)線性擬合度比前測(cè)的線性擬合度顯著提升，控制組兒童線性擬合度提升幅度微小，說(shuō)明對(duì)兒童進(jìn)行數(shù)字分類反饋訓(xùn)練可有效促進(jìn)其表征模式的轉(zhuǎn)變⑦Laski，E. V.，＆ Siegler，R. S.. Is 27 a big number？Correlational and causal connections among numerical categorization，number line estimation，and numerical magnitude comparison. Child Development，2007，78（6）：1723-1743.。究其原因，研究者認(rèn)為數(shù)字分類可幫助幼兒對(duì)所有被估數(shù)字按數(shù)量大小進(jìn)行主觀判斷，從中獲得有關(guān)這些數(shù)字的新信息，以此來(lái)簡(jiǎn)化估計(jì)任務(wù)，達(dá)到分而治之的作用，從而可更準(zhǔn)確地判斷某個(gè)數(shù)字在數(shù)字線上的位置。

Siegler 與Ramani 提出，玩線性數(shù)字棋游戲可幫助兒童生成線性表征模式，因?yàn)槠灞P游戲可提供排序和數(shù)量的知識(shí)，且能以實(shí)物的形式幫助兒童認(rèn)識(shí)線性或是心理數(shù)字線。所謂數(shù)字棋游戲是指在呈線性排列、大小相同、標(biāo)有數(shù)字的方格棋盤上，兒童通過(guò)擲骰子的點(diǎn)數(shù)確定需走的格數(shù)，一邊走棋一邊說(shuō)出所走過(guò)的數(shù)字。Siegler 等人對(duì)來(lái)自低收入家庭的中班兒童進(jìn)行了0-10 的數(shù)字棋干預(yù)（控制組為顏色棋），研究結(jié)果表明，玩數(shù)字棋游戲的幼兒其數(shù)字估計(jì)線性度得到顯著提升，玩顏色棋游戲的幼兒其數(shù)字估計(jì)線性度反而有所下降，說(shuō)明數(shù)字棋游戲可有效提升幼兒0-10 數(shù)字估計(jì)表征的線性擬合度①Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear numerical board games promotes low-income children’s numerical development. Developmental Science，2008，11（5）：655-661.②Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear number board games—but not circular ones—improves low-income preschoolers’ numerical understanding. Journal of Educational Psychology，2009，101（3）：545-560.。

四、啟示

綜上所述，研究者已對(duì)數(shù)字估計(jì)的模型、數(shù)字估計(jì)與數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的關(guān)系、數(shù)字估計(jì)的家庭與文化影響因素及數(shù)字估計(jì)的干預(yù)進(jìn)行了深入的探索，獲得了豐富的研究結(jié)果，但仍有一些問(wèn)題值得進(jìn)一步探討。在借鑒已有研究成果的基礎(chǔ)上，我們將提出對(duì)今后研究方向與思路的初步思考：

（一）進(jìn)一步驗(yàn)證模型之爭(zhēng)。首先，研究者提出了五個(gè)數(shù)字估計(jì)模型，并都力證自己所提模型的科學(xué)與準(zhǔn)確。但已有研究分別針對(duì)不同被試進(jìn)行考察得出了不同模型，國(guó)外尚無(wú)采用同一批被試數(shù)據(jù)模擬五個(gè)模型以直接比較模型擬合程度的研究結(jié)果，為此，無(wú)法獲得確定五個(gè)模型優(yōu)劣的直接證據(jù)。許曉暉等采用0-100 和0-1000 數(shù)字線任務(wù)對(duì)中國(guó)大班城市兒童進(jìn)行了考察，對(duì)其估計(jì)結(jié)果分別擬合了五個(gè)不同的模型，結(jié)果顯示，中國(guó)大班城市兒童的數(shù)字估計(jì)更加擬合雙線性模型與線性模型③Xu，X.，Chen，C.，Pan，M. ＆ Li，N.. Development of numerical estimation in Chinese preschool children. Journal of Experimental Child Psychology，2013，116（2）：351-366.。但是，許曉暉的研究也僅是針對(duì)平均年齡為6 歲的中國(guó)兒童進(jìn)行了考察，仍缺乏來(lái)自低齡幼兒的研究證據(jù)，應(yīng)進(jìn)一步擴(kuò)大被試的年齡范圍，如對(duì)3-5 歲中國(guó)兒童的數(shù)字估計(jì)能力進(jìn)行深入探討，以進(jìn)一步驗(yàn)證不同估計(jì)模型對(duì)中國(guó)兒童的適宜性，同時(shí)驗(yàn)證模型擬合的優(yōu)劣程度。其次，對(duì)數(shù)—線性表征轉(zhuǎn)換模型意在清晰刻畫兒童估計(jì)表征的發(fā)展，但已有研究?jī)H采用橫斷研究數(shù)據(jù)來(lái)證明此轉(zhuǎn)換的存在，仍存在一些不足，如可采用追蹤研究數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證則更為科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)。此外，當(dāng)前研究所考察最小年齡的被試為平均4歲的兒童，迄今仍無(wú)幼兒數(shù)字估計(jì)擬合對(duì)數(shù)表征優(yōu)于線性表征的研究結(jié)果，應(yīng)對(duì)更低齡如3 歲的幼兒進(jìn)行考察，以揭示在接受正式數(shù)學(xué)教育前，個(gè)體的數(shù)字估計(jì)是否更符合對(duì)數(shù)表征。

（二）深刻揭示數(shù)字估計(jì)能力與數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的關(guān)系。研究者采用橫斷研究數(shù)據(jù)表明，兒童數(shù)字估計(jì)能力與當(dāng)前數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在顯著正相關(guān)，即數(shù)字估計(jì)線性度越高，數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展水平越高。正如前文提及，數(shù)字心理表征參與了測(cè)量、空間幾何、有理數(shù)、坐標(biāo)系統(tǒng)、真實(shí)數(shù)字線等一系列的學(xué)習(xí)，是個(gè)體數(shù)學(xué)認(rèn)知能力深入發(fā)展的基礎(chǔ)。為此，是否前期個(gè)體數(shù)字估計(jì)能力的線性擬合度可預(yù)測(cè)其后期數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的發(fā)展，鮮有追蹤研究說(shuō)明該問(wèn)題，因此，今后應(yīng)嘗試運(yùn)用追蹤研究以更深入揭示數(shù)字估計(jì)能力與數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展二者之間的預(yù)測(cè)關(guān)系。同時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步細(xì)致分析數(shù)字估計(jì)能力與數(shù)學(xué)認(rèn)知各維度之間的特異關(guān)系。

（三）深入探討個(gè)體數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展的影響因素及其作用機(jī)制。已有研究表明，家庭社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位是兒童數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展的重要影響因素。低收入家庭幼兒數(shù)字估計(jì)能力的線性擬合度顯著低于中產(chǎn)階級(jí)家庭的幼兒，但當(dāng)前對(duì)低收入家庭幼兒的研究甚少，只有來(lái)自Siegler 等的一篇研究。為此，應(yīng)針對(duì)性選取低收入家庭幼兒，如我國(guó)的流動(dòng)（低收入家庭）兒童作為被試，深入探討3-6 歲流動(dòng)兒童數(shù)字估計(jì)能力的發(fā)展，比較其與城市（高收入家庭）兒童數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展的差異。同時(shí)，進(jìn)入到流動(dòng)兒童的家庭和幼兒園，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)觀察，分析流動(dòng)兒童家庭、幼兒園的數(shù)學(xué)教育環(huán)境，家長(zhǎng)、幼兒園教師與流動(dòng)兒童進(jìn)行數(shù)學(xué)游戲的互動(dòng)質(zhì)量等，以深入揭示家庭、幼兒園影響流動(dòng)兒童數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展的具體因素及其作用機(jī)制。

（四）開發(fā)促進(jìn)中國(guó)兒童數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展的干預(yù)措施。國(guó)外研究者已針對(duì)不同數(shù)量情境的數(shù)字線開發(fā)了3 類干預(yù)措施，并通過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)證明其可有效提升兒童數(shù)字估計(jì)的線性表征擬合度。但是，此三類措施是否適用于中國(guó)兒童，仍需通過(guò)本土化研究進(jìn)行驗(yàn)證。同時(shí)，針對(duì)中國(guó)兒童數(shù)字估計(jì)能力與數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展水平顯著高于西方兒童的現(xiàn)狀，我們需在借鑒國(guó)外研究者思路的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步開發(fā)適用于中國(guó)各年齡段兒童的干預(yù)策略，以更好地促進(jìn)中國(guó)兒童數(shù)字心理表征與數(shù)學(xué)認(rèn)知的有效發(fā)展。