初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效方式

彭利+周曉娟

數(shù)學(xué)概念是一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的抽象，是導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)定理、法則、公式的邏輯基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念相互聯(lián)系，由簡到繁形成學(xué)科體系。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想和方法的載體，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)質(zhì)量直接影響學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和發(fā)展。結(jié)合初中學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和年齡特點，我們認(rèn)為，初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要重構(gòu)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，再現(xiàn)概念的現(xiàn)實背景，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生、形成、回歸，逐步理解概念的內(nèi)涵和外延，并在運用概念的過程中鞏固概念?；谝陨侠砟睿乙浴朵J角三角函數(shù)（第一課時）》教學(xué)為例，談?wù)劯拍罱虒W(xué)的有效方式。

一、重視學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，拓展聯(lián)想空間

新概念學(xué)習(xí)的前提是學(xué)生具有良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和豐厚的知識積累，必須喚起學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識和生活經(jīng)驗。有些教師認(rèn)為學(xué)生已具備了相關(guān)知識的儲備，沒有必要進(jìn)行復(fù)習(xí)，結(jié)果出現(xiàn)學(xué)生對新概念茫然混沌、理解碎裂的狀況。在案例教學(xué)中，三角函數(shù)也是反映兩個變量之間的關(guān)系，為突出函數(shù)的本質(zhì)，我在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過的函數(shù)，再順勢揭題。

【課堂設(shè)計一】 鋪墊引入：

1. 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？每個函數(shù)中有幾個變量？哪個是自變量，哪個是因變量？每個函數(shù)的表達(dá)式是怎樣的？（體會變量、體會數(shù)學(xué)符號。）

2. 翻開本單元的課本，看學(xué)習(xí)課題是什么？（三角函數(shù)也是函數(shù)，既然是函數(shù)，那么是研究哪兩個變量之間的關(guān)系呢？）

二、再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念現(xiàn)實背景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活。龐加萊曾講過這樣一個故事：教室里，先生對學(xué)生說“圓周是一定點到同一平面上等距離點的軌跡”，可學(xué)生聽后面面相覷，誰也不明白圓周是什么，于是先生拿起粉筆在黑板上畫了一個圓圈，學(xué)生們立即歡呼起來“啊，圓周就是圓圈啊，明白了”，這一故事告訴我們進(jìn)行概念教學(xué)時，教師應(yīng)從實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，讓學(xué)生在滿腹狐疑中覺得有必要學(xué)習(xí)這個概念。新課標(biāo)也提出，數(shù)學(xué)概念應(yīng)從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，選擇學(xué)生身邊的感興趣的事物，讓學(xué)生觀察、交流、反思，讓數(shù)學(xué)概念在緩慢的思維洗滌中自然顯現(xiàn)。案例中，我引入汽車爬坡的生活場景，比較坡的傾斜程度不但可以用傾斜角判斷，還可以用什么量判斷？讓學(xué)生在比較中尋找方法。最終出現(xiàn)比值這個量。（因為比值作為一個量隨另一個量變化是教學(xué)中的難點，應(yīng)逐步化解。）

【課堂設(shè)計二】 提出問題：

1. 在圖1中，有兩個直角三角形，直角邊AC和A1C1表示水平面，斜邊AB和A1B1分別表示兩個不同的坡面，坡面AB和A1B1哪個更陡？你判斷的理由是什么？

[A][C][B][A][C][B][圖1]

生1：坡面A1B1比坡面AB更陡，因為∠A1>∠A（合理解釋，但它是觀察的結(jié)果，還有其它理由嗎？注意鉛直高度不同）

生2：我認(rèn)為理由是B1C1>BC（這種解釋合理嗎？請看圖2.）

2. 在圖2中，類似的，坡面AB和A1B1哪個更陡？你又是怎么解釋？

[A][C][B][A][C][B][圖2]

生3：坡面A1B1比坡面AB更陡，因為∠A1>∠A。

生4：我認(rèn)為理由是A1C1

3. 在圖3中，你又是怎么解釋的呢？（注意水平長度和鉛直高度都不同，學(xué)生發(fā)現(xiàn)比較邊長無法解釋坡度大小，產(chǎn)生了新的思維困惑，求知欲望大增。圖中角的大小是大家觀察的，并沒有標(biāo)明。但圖中標(biāo)明了兩條直角邊長。那么仔細(xì)觀察三組圖形中的直角邊長，它告訴我們什么？與傾斜程度的關(guān)系？）

[A][C][B][A][C][B][圖3]

生5：我發(fā)現(xiàn)圖1中，=0.2，=0.30，有0.3>0.2；圖2中，=0.2，=0.25， 有0.25>0.2；圖3中，=0.2，=0.25，有0.25>0.2。

每組圖形中，第二個圖形的這個比值大，與它的坡面更陡結(jié)論一致。（你的意思是說用這個比值來衡量坡面的傾斜程度嗎？為什么可以？）

生5：是的，這個比值越大，坡角越大，坡面越陡。（看來，這個比值與這個坡角有關(guān)系，是什么關(guān)系呢？我們來看下面的問題。）

三、經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念思維過程，體驗成長快樂

數(shù)學(xué)概念不是靠直截了當(dāng)定義出來的，而是靠千般探究、萬般磨練“做”出來的。在概念教學(xué)中，如果沒有學(xué)生的經(jīng)歷，沒有苦苦的尋求，沒有情感的體驗，學(xué)生很難將概念內(nèi)省為自身的問題意識，也無法生成問題、解決問題。概念教學(xué)教師不應(yīng)該匆匆下定義，不應(yīng)該用講解代替學(xué)生的思維過程。因此數(shù)學(xué)概念的教學(xué)就應(yīng)該成為思維的體操，積極展示思維的發(fā)生、發(fā)展，從具體到抽象，讓概念在條理中、在生動活潑的思維歷練中自然生成。課例中，通過問題的設(shè)計和不斷的探究，讓學(xué)生體會到在直角三角形中：銳角固定，則這個角的對邊與鄰邊的比值固定。自然得出：銳角變化，則這個角的對邊與鄰邊的比值隨之變化。正切概念來之自然、呼之欲出。

【課堂設(shè)計三】 如圖4，銳角A的一邊上任取一點B，自點B向另一邊作垂線，垂足是C，得到直角三角形ABC。再任取一點B1，自點B1作另一邊的垂線，垂足是C1，得到另一個直角三角形。

[圖4][A][C][B][C1][B1][C2][B2]

1. 請一個同學(xué)上黑板測量角A的對邊BC、AC的長度，并計算的值。（動手測量既培養(yǎng)了學(xué)生動手能力，也揭示了可以用測量的方法求比值。）

2. 、的值相等嗎？為什么？呢？（不再測量其它比值，從理論上探究比值的關(guān)系，達(dá)到理性認(rèn)識，加深對銳角固定，比值固定的認(rèn)識。）

3. 以上事實說明什么道理呢？（在學(xué)生動手并充分探究的基礎(chǔ)上，得到結(jié)論，這個結(jié)論教師不要匆忙總結(jié)，要有耐心等待學(xué)生的思考和回答。）

生6：我發(fā)現(xiàn)，在直角三角形ABC中，當(dāng)銳角A的大小固定，它的對邊與鄰邊的比值就固定。

4. 那么當(dāng)銳角A的大小變化時，它的對邊與鄰邊的比值怎樣呢？（用動畫演示圖4中角度增大，BC增大，AC不變，比值怎樣變化？）

5. “角變，比值變”。這里出現(xiàn)了兩個變量，是哪兩個變量？哪個是自變量，哪個是因變量？（讓學(xué)生交流討論）

6. 水到渠成和同學(xué)們一起給出正切函數(shù)定義，并用符號表示。（深挖概念中的字、詞、句、條件、結(jié)論、書寫符號。）

四、理解數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵外延，構(gòu)建問題模式

美國華盛頓州國立兒童圖書館里有一句醒目的標(biāo)語：“我聽過了，就忘記了；我見過了，就記住了；我做過了，就理解了。”數(shù)學(xué)概念教學(xué)不應(yīng)淪為教師喋喋不休的解釋、學(xué)生搖頭晃腦的背誦。也不是概念匆匆過，練習(xí)重復(fù)做。概念教學(xué)必須讓學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵和外延，幫助學(xué)生內(nèi)化概念，建構(gòu)新的知識網(wǎng)絡(luò)，增加概念問題模式。必須讓學(xué)生在具體的解決問題中，深化對概念本質(zhì)的理解和生活化的回歸。因此，多角度、多變式、循序漸進(jìn)的安排概念問題的訓(xùn)練是概念固化的關(guān)鍵，這個環(huán)節(jié)的成功與否直接影響學(xué)生的解題能力的提高。案例中，既回歸生活（坡面），又對概念的內(nèi)涵和外延進(jìn)行了例題設(shè)計，強化了對正切概念的本質(zhì)認(rèn)識，為下課時正弦、余弦概念的學(xué)習(xí)打好了基礎(chǔ)。

【課堂設(shè)計四】 在概念的基礎(chǔ)上，順勢導(dǎo)入問題解決。

1. 回到坡度問題，并介紹坡度概念。

2. 你能說出坡角的正切與坡度的關(guān)系嗎？

3. 題組訓(xùn)練。

英國教育家威廉·詹姆斯評價教師：“平庸的教師說教，好的教師解惑，優(yōu)秀的教師示范，卓越的教師啟迪?！眱?yōu)秀的課堂總是浸透了教者的心血和汗水。作為教師，在數(shù)學(xué)概念這一重要領(lǐng)域的教學(xué)中，一定要下足工夫，重視概念，優(yōu)化設(shè)計，把握過程，學(xué)生主體，教師引導(dǎo)。教師要創(chuàng)造性地使用教材，問題引領(lǐng)，思維闖關(guān)。真正地讓學(xué)生在積極參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗和思維的快樂，切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 中華人民共和國教育部. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

[2] 褚紅英. 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的三個關(guān)注[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（19）.

[3] 高峰官. 學(xué)習(xí)策略方法教學(xué)問題診斷與導(dǎo)引[M]. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2001.

[4] 朱桂鳳. “天高任鳥飛”的教學(xué)情懷[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（8）.