基于遺傳算法的直流伺服系統(tǒng)PID 參數優(yōu)化*＊

范晉偉 唐宇航 閆洪霞 袁 帥

(北京工業(yè)大學機電學院，北京 100124)

伺服系統(tǒng)的性能直接影響和決定CNC 系統(tǒng)的快速性、穩(wěn)定性和準確性。以伺服電動機為驅動元件的伺服系統(tǒng)是數控裝置與機床的重要連接環(huán)。

PID 控制是工業(yè)過程控制中應用最廣泛的策略之一。目前的PID 參數優(yōu)化方法主要包括間接尋優(yōu)法、專家整定法和單純形法等［1］。單純形法對初值敏感，易陷入局部最優(yōu)解。專家整定法需要大量經驗，不同的經驗對應不同的目標函數?？偨Y文獻資料，遺傳算法克服了單純形法的初值敏感性且不需復雜規(guī)則，操作方便快速。

本研究旨在建立數控機床傳動系統(tǒng)與電氣驅動系統(tǒng)的機電匹配模型，采用計算機建模對機床伺服進給系統(tǒng)的動態(tài)特性進行分析，得到各參數對系統(tǒng)動態(tài)特性影響的定性分析后，利用遺傳算法對系統(tǒng)調節(jié)器的參數進行全局優(yōu)化。

1 直流伺服控制系統(tǒng)建模及模型分析

1.1 直流伺服電動機數學模型分析

令電動機負載擾動Td(s)=0，直流伺服電動機傳遞函數模型為:

式中:Km為磁性材料的磁導率函數;Ra為電樞直流電阻;La為電樞電感;J 為電動機轉動慣量;D 為電動機粘滯阻尼;θ 為電動機輸出角度;Kb為電動機反電勢常數。

1.2 三環(huán)控制系統(tǒng)模型分析

在伺服控制系統(tǒng)中，為保證精確性，輸出量的反饋控制不可或缺。依由內向外的設計順序，以及各環(huán)節(jié)的設計要求，獲得簡化的三環(huán)控制模型。

一般情況下電流環(huán)要求有很好的跟隨性能，超調小，故選用典型的I 型系統(tǒng)。獲得其等效傳遞函數為:

速度環(huán)反饋取電動機轉速為輸出節(jié)點。系統(tǒng)轉速輸入要求動態(tài)性能好，穩(wěn)態(tài)時無靜差。將電流環(huán)用其等效傳遞函數代替。為滿足系統(tǒng)無靜差要求，速度環(huán)按Ⅱ型系統(tǒng)設計，獲得速度環(huán)等效傳遞函數為:

將速度環(huán)信號經積分即可獲得位置信號。位置信號要求穩(wěn)態(tài)無靜差。傳遞函數為:

2 PID 參數的初步整定

2.1 參數選取

以北京數控設備廠FB -15 型直流伺服電動機數據(表1)為例進行仿真，其參數如下［2］:

要求系統(tǒng)無靜態(tài)誤差，電流超調量σi≤5%，空載啟動到額定轉速時的轉速超調量σn≤10%。

該電動機晶閘管調速系統(tǒng)采用三相橋式裝置整流，晶閘管放大系數Ks=40。其滯后時間常數Ts=三相橋式電路平均失控時間=0.001 7 s，所需基本濾波時間為T0i=2 ms=0.002 s。故，按小時間常數近似處理，得:

根據設計手冊，當σi≤5%時，KIT∑i=0.5 。由式(2)得電流環(huán)比例系數:

根據設計手冊，該電動機速度環(huán)濾波時間常數Tn=0.01 s。

取速度環(huán)小時間常數:

按照抗干擾性能較好的原則，取h=5，得速度環(huán)積分時間常數:

因此，由式(3)，速度環(huán)比例系數為:

表1 FB-15 型直流伺服電動機數據

2.2 初步整定參數仿真

在Simulink 中建立仿真模型，帶入初步整定的調節(jié)器參數可獲得三環(huán)時域響應和頻域相應參數。

(1)電流環(huán)仿真結果

電流環(huán)超調量σ=4.83%，在電動機最大電流允許范圍內。系統(tǒng)上升時間tr=0.009 56 s，調節(jié)時間ts=0.027 7 s，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0。電流環(huán)的幅值裕度Gm=4dB，相角裕度Pm=49.8°，經初步整定的電流環(huán)即達到穩(wěn)定。

保持電流調節(jié)器積分時間常數τi不變，改變比例系數Ki，由繪制的電流環(huán)時域響應曲線可知，電流調節(jié)器的比例系數影響系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性。Ki越大，系統(tǒng)響應越快，同時系統(tǒng)超調量越大。

(2)速度環(huán)仿真結果

系統(tǒng)超調量σ=20.3%，偏大。系統(tǒng)上升時間tr=0.0315 s，調節(jié)時間，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0。獲得速度環(huán)的幅值裕度Gm=7.5dB，相角裕度Pm=33.8°，速度環(huán)的抗干擾性能滿足要求。

(3)位置環(huán)仿真結果

按照傳統(tǒng)方法整定的位置調節(jié)器比例系數偏大，系統(tǒng)出現了超調，需手動調節(jié)，減小參數，使超調量減為0。位置環(huán)幅值裕度也較小，但滿足系統(tǒng)穩(wěn)定要求。

3 遺傳算法設計及求解

3.1 染色體編碼

為使計算過程調試更為直觀，采用實數編碼方式，取Size=30 個樣本進行編碼。依手動調節(jié)獲得的經驗值，電流調節(jié)器比例系數Kip的取值范圍為［0，0.005］，電流調節(jié)器積分常數Kii取值范圍為［0，3］，速度調節(jié)器比例系數Knp的取值范圍為［0，8］，速度調節(jié)器積分常數Kni取值范圍為［0，0.1］，位置調節(jié)器比例系數取值范圍為［0，10］。

將兩變量在其各自定義域上離散化為Size 個實數，獲得兩條初始染色體編碼序列Kpid為

3.2 種群初始化及適應度函數計算

采用了隨機初始化方法進行種群初始化。編寫了優(yōu)化目標函數程序和遺傳算法參數整定程序。在程序執(zhí)行過程中，為獲取滿意的過渡過程動態(tài)特性，采用誤差絕對值時間積分性能指標作為參數選擇的最小目標函數。為防止控制能量過大，在目標函數中加入控制輸入的平方項。選用下式作為參數選取的最優(yōu)指標:

式中:e(t)為系統(tǒng)誤差;u(t)為控制器輸出;tu為上升時間;W1、W2、W3為權值。在多目標優(yōu)化問題中，權值代表各子目標在多目標優(yōu)化問題中的重要程度。通過權值系數將各子目標函數線性加權，從而使多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題，即可以利用單目標優(yōu)化的遺傳算法求解多目標優(yōu)化問題。

本文采用了幾種不同的優(yōu)化目標函數，作為參數選擇的最小目標函數J，并取個體適應度函數F=1/J。

3.3 選擇算子

選擇運算使用比例算子。比例選擇因子是利用與個體適應度大小成比例的概率決定其子孫的遺傳可能性。個體被選中的概率為:

如果個體的選擇概率大，則它的遺傳基因就會在種群中擴大;如果個體的選擇概率小，則被淘汰。

3.4 交叉操作

交叉操作決定遺傳算法的全局搜索能力。采用單點交叉運算，過程如圖1 所示。

任意挑選經過選擇操作后種群中的兩個個體作為交叉對象，隨機產生一個交叉點位置。兩個個體在交叉點位置互換部分基因代碼，形成兩個子個體。

3.5 變異操作

按照個體的適應度進行變異評估。適應度越大，變異概率越小。將被選擇變異位置基因座上的值變異為在目標值定義域內的其它隨機值。

4 計算結果分析對比

4.1 電流環(huán)仿真結果分析

經過100 代進化獲得的優(yōu)化參數Kip=0.004 1，Kii=0.958 2，τi=0.004 28，最佳性能指標值J=6.833 4。目標函數J 的優(yōu)化過程和采用整定PID 參數的系統(tǒng)時域、頻域響應曲線如圖2、3、4 所示。

與初次整定仿真結果對比見表2。

對比表2 數據不難得出結論，經遺傳算法整定的電流環(huán)超調量減小，響應速度變快，頻域穩(wěn)定性也增強。該結果足以顯示本文采取的PID 參數整定方法的有效性。

表2 電流環(huán)仿真結果對比

4.2 三環(huán)參數整體尋優(yōu)結果分析

為使電動機在啟動與制動階段有足夠大的轉矩，加快電動機運動加速度，一般廠家都會對自己產品的電流環(huán)參數進行出廠設置，故整體優(yōu)化環(huán)節(jié)中不對電流環(huán)參數進行優(yōu)化，選用前一節(jié)整定后的電流調節(jié)器參數。

針對整體系統(tǒng)對位置環(huán)控制參數尋優(yōu)。為避免超調，采用了懲罰功能，即一旦產生超調，將超調量作為最優(yōu)指標的一項，此時最優(yōu)指標為:

式中:W4為權值，且W4?W1。

經計算獲得的優(yōu)化參數速度環(huán)比例系數Knp=4.804，速度環(huán)積分數Kni=0.008，位置環(huán)比例系數Ksp=9.242。繪制系統(tǒng)位置環(huán)單位階躍響應曲線如圖5所示。獲得的系統(tǒng)主要性能指標對比見表3。

表3 三環(huán)整體優(yōu)化仿真結果對比

經遺傳算法優(yōu)化的位置環(huán)仿真結果滿足了位置環(huán)無超調的要求。上升時間減慢不少，但調整時間延遲不大，并且獲得了較大的幅值裕量和相角裕量，證明了利用遺傳算法優(yōu)化后的系統(tǒng)穩(wěn)定性提高。該結果證明了遺傳算法用于PID 控制器參數整定的可行性和有效性。

4.3 關于優(yōu)化目標函數的選擇

現代控制理論假設系統(tǒng)工程師以量化的形式提出期望的性能指標。利用遺傳算法對伺服系統(tǒng)的調節(jié)器參數進行優(yōu)化時，目標函數是對系統(tǒng)的綜合性評價，它是控制系統(tǒng)預想輸出值與實際輸出值之差的某個函數的積分。對目標函數的選擇，能直接影響到伺服系統(tǒng)的動態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)精度，所以目標函數既要能反映系統(tǒng)的特性，又要方便計算。

幾種常用的目標函數有以下幾種:

代入不同目標函數獲得的仿真結果見表4。

在優(yōu)化中，采用ISE 和IAE 準則，沒有引入積分時間的參量，對各個時刻誤差是平等對待的。因此，優(yōu)化變量將使系統(tǒng)的單位階躍響應在最短時間內達到目標值，會造成很大的超調，因此在這兩種方法的基礎上引入時間環(huán)節(jié)加大后期誤差的權重，將使系統(tǒng)的單位階躍響應超調小，即為ITSE 和ITAE。用ITAE 優(yōu)化的系統(tǒng)具有快速、平穩(wěn)、超調小的特性。

而本文使用的目標函數不但考慮誤差和時間，而且考慮到控制器輸出以及超調懲罰因素。雖響應速度變慢，但系統(tǒng)可達到無超調的要求，且具有較大的幅值裕度和相角裕度，即系統(tǒng)抗干擾能力較強。對比以上因素，可見本文采用了較適當的目標函數。

表4 常用目標函數優(yōu)化結果對比

故決定遺傳算法的目標函數時，要綜合考慮系統(tǒng)的重要參數，權衡比重?？赏ㄟ^多次仿真實驗確定最優(yōu)目標函數。

5 實際系統(tǒng)測試

基于配有半閉環(huán)伺服系統(tǒng)的立式數控銑床進行試驗。實驗中使用了KH2000 穩(wěn)壓電源，SC -10 型光線示波器，HP 雙頻激光干涉儀，SONYA -69 磁帶記錄儀，Y6D-2 三通道動態(tài)電阻應變儀，位移傳感器。實驗裝置原理見圖6。

在加工中心X 向工作臺上安裝位移測量裝置。在工作臺一端安裝頂桿，在導軌與床身上安裝一個彈性良好的鋼板，其根部貼電阻應變片，在床身上貼溫度補償片?？刂其摪遄冃?即控制工作臺行程)在彈性范圍內。用高精度雙頻激光干涉儀進行標定，從而間接地測量到工作臺的實際位置變化。為了排除或減少其他噪聲的影響，頂桿和彈性鋼板有一定的預壓緊量。啟動CNC 系統(tǒng)，依照所需工況調節(jié)參數，再使工作臺加速運動，則鋼板發(fā)生變形，應變片將應變信號送入動態(tài)電阻應變儀并轉化為電信號，再將輸出信號送入磁帶記錄儀記錄下來。

系統(tǒng)X 軸及Z 軸的實驗結果與仿真結果基本吻合。Y 軸滑座由于負有重約1 t 的X 向工作臺，位置環(huán)超調量達17%，并容易引起震蕩。此結果表明，工作載荷變化對系統(tǒng)特性有著重要影響，重載情況下參數設定需考慮載荷干擾。

6 結語

本文提出了用遺傳算法整定直流伺服系統(tǒng)PID 參數的方法。利用Matlab 編寫遺傳算法程序，并通過Simulink 仿真獲得系統(tǒng)響應參數。仿真及試驗證明，利用遺傳算法進行PID 參數整體優(yōu)化，可以獲得滿足系統(tǒng)要求且使系統(tǒng)較為穩(wěn)定的優(yōu)化結果。選取遺傳算法的目標函數，要綜合考慮系統(tǒng)對誤差、時間等參數的要求?？梢酝ㄟ^加入權值的方法調節(jié)各因素在目標函數中的比重。

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