基于幾何字典學(xué)習(xí)和耦合約束的超分辨率重建

莫建文，曾兒孟，張 彤，袁 華

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基于幾何字典學(xué)習(xí)和耦合約束的超分辨率重建

莫建文1，曾兒孟1，張 彤2，袁 華1

（1. 桂林電子科技大學(xué) 信息與通信學(xué)院，廣西 桂林 541004；2. 桂林電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣西 桂林 541004）

傳統(tǒng)的基于稀疏表示的超分辨率重建算法對(duì)所有圖像塊，應(yīng)用單一冗余字典表示而不能反映不同幾何結(jié)構(gòu)類(lèi)型圖像塊間的區(qū)別。針對(duì)這一問(wèn)題，本文探索圖像局部幾何結(jié)構(gòu)特性，提出一種基于結(jié)構(gòu)特性聚類(lèi)的幾何字典學(xué)習(xí)和耦合約束的超分辨率重建方法。該方法首先對(duì)訓(xùn)練樣本圖像塊進(jìn)行幾何特性聚類(lèi)，然后應(yīng)用K-SVD算法為每個(gè)聚類(lèi)塊聯(lián)合訓(xùn)練得到高低分辨率字典。此外，在重建過(guò)程中引入局部可控核回歸和非局部相似性耦合約束，以提高重建圖像質(zhì)量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與單一字典超分辨率算法相比，本文方法重建圖像邊緣和細(xì)節(jié)部分明顯改善，評(píng)價(jià)參數(shù)較大提高。

幾何聚類(lèi)；字典學(xué)習(xí)；稀疏表示；局部可控核回歸；非局部相似

0 引言

圖像超分辨率（Super-Resolution，SR）技術(shù)是指利用硬件或者軟件方法，從一幅或者一組低分辨率（Low-Resolution，LR）重建相同場(chǎng)景高分辨率圖像（High-Resolution，HR）的過(guò)程。因其能最大限度恢復(fù)圖像中丟失的高頻細(xì)節(jié)信息，該技術(shù)在醫(yī)學(xué)圖像、衛(wèi)星圖像和監(jiān)控圖像領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[1]。在軟件研究領(lǐng)域，與傳統(tǒng)的基于插值方法[2]和基于重建方法[3]相比，基于學(xué)習(xí)方法[4-8]重建圖像質(zhì)量更優(yōu)，所以大多數(shù)學(xué)者的研究都建立在該方法之上。

為了獲得可靠的HR圖像，Yang等[4-5]應(yīng)用稀疏表示算法，利用高低分辨率圖像塊之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，提出了耦合字典訓(xùn)練思想，即同時(shí)訓(xùn)練生成出高分辨率冗余字典h和低分辨率冗余字典l，保證了高低分辨率圖像稀疏表示系數(shù)的一致性。但是作者并沒(méi)有對(duì)生成字典的過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化，導(dǎo)致字典訓(xùn)練時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。Zeyde[9]對(duì)Yang[4]的方法存在的問(wèn)題進(jìn)一步研究，采用效率更高的K-SVD算法兩步生成字典l和h，其做法是首先用PCA（Principal Component Analysis）對(duì)LR圖像塊做降維處理；其次采用K-SVD對(duì)LR圖像塊訓(xùn)練得到LR字典l；最后利用高低分辨率圖像塊對(duì)應(yīng)的關(guān)系求其偽逆得到高分辨率字典h。Wang[10]借鑒聯(lián)合字典學(xué)習(xí)方法，提出半耦合字典訓(xùn)練模型，生成高低分辨率字典以及高低分辨率稀疏系數(shù)空間的映射矩陣。雖然該方法能確保了訓(xùn)練誤差的最小化，但是生成的矩陣不能表示兩個(gè)字典之間的關(guān)系，導(dǎo)致重建結(jié)果不夠理想。

近年來(lái)，隨機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)的快速發(fā)展，很多非參數(shù)回歸方法[10]應(yīng)用到圖像恢復(fù)中。其中，由于可控核回歸（Steering Kernel Regresssion，SKR）[11]算法有較強(qiáng)的局部結(jié)構(gòu)自適應(yīng)能力和噪聲魯棒性，因而得到廣泛應(yīng)用。另外，自然圖像中的局部塊的非局部相似性（Non-local simi-larity，NLS）[12]有助于保持邊緣細(xì)節(jié)和抑制噪聲，并且與稀疏編碼的有機(jī)組合可以極大提高重建圖像的性能。

雖然基于稀疏表示重建方法[4,9,13]都取得一定的成績(jī)，但這些方法僅訓(xùn)練單一的冗余字典對(duì)，而單一字典對(duì)所有圖像塊進(jìn)行稀疏編碼時(shí)，不足以反映不同結(jié)構(gòu)類(lèi)型圖像塊間的區(qū)別，從而導(dǎo)致重建得到的圖像在一定程度上出現(xiàn)偽影效應(yīng)。針對(duì)這一問(wèn)題，本文提出了基于結(jié)構(gòu)特性聚類(lèi)的幾何字典學(xué)習(xí)和耦合約束的SR重建方法。該方法在稀疏表示算法的基礎(chǔ)上探索圖像局部幾何結(jié)構(gòu)特征，對(duì)具有幾何特性相似的圖像塊聚類(lèi)，并應(yīng)用K-SVD算法[14]對(duì)每類(lèi)圖像塊聯(lián)合訓(xùn)練對(duì)應(yīng)的高低分辨率字典；然后應(yīng)用學(xué)習(xí)到的聚類(lèi)字典進(jìn)行圖像SR重建；最后引入局部可控核回歸和非局部相似性耦合約束，從而提高重建HR圖像質(zhì)量。實(shí)驗(yàn)表明，本文提出方法的重建圖像在主觀(guān)視覺(jué)效果和客觀(guān)評(píng)價(jià)參數(shù)都優(yōu)于相比較的幾種算法。

1 基于稀疏表示的SR重建

單幅圖像的SR重建問(wèn)題是指利用給定的LR圖像，重建恢復(fù)成相同場(chǎng)景的圖像。其降質(zhì)模型為：

＝＋(1)

式中：為下采樣算子；為模糊算子；為額外添加的噪聲。單幅圖像SR重建的目標(biāo)就是從中精確恢復(fù)出。

基于稀疏表示理論[4]的SR重建算法如下：給定圖像塊x＝RX和HR的過(guò)完備字典h，其中R是指從圖像中線(xiàn)性提取圖像塊的操作，利用h中系列合適的原子線(xiàn)性表示x，數(shù)學(xué)的表達(dá)式為：

式中：是HR塊的稀疏系數(shù)；同時(shí)也可以作為對(duì)應(yīng)LR塊的稀疏系數(shù)y＝l。這里的高低分辨率字典h和l由對(duì)應(yīng)的高低分辨率圖像塊訓(xùn)練生成。所以第個(gè)圖像塊的稀疏表示系數(shù)可由以下公式最優(yōu)化求出：

由上式得到的最優(yōu)解*，結(jié)合HR字典h，即可得到重建的HR塊x＝h*，最后把所有的重建HR圖像塊通過(guò)以下公式(4)線(xiàn)性加權(quán)得到重建的HR圖：

2 本文算法

為增強(qiáng)冗余字典的稀疏編碼能力，本文探索自然圖像中局部塊的幾何結(jié)構(gòu)特性，對(duì)訓(xùn)練字典的圖像塊樣本進(jìn)行幾何結(jié)構(gòu)聚類(lèi)。按照結(jié)構(gòu)不同進(jìn)行平滑塊聚類(lèi)、不規(guī)則塊聚類(lèi)和邊緣塊聚類(lèi)；然后再對(duì)邊緣塊按相同梯度角聚類(lèi)；進(jìn)而應(yīng)用改進(jìn)的K-SVD算法對(duì)每個(gè)聚類(lèi)塊訓(xùn)練冗余字典對(duì)；最后對(duì)圖像塊進(jìn)行稀疏編碼重建，并按照重疊對(duì)應(yīng)關(guān)系恢復(fù)HR圖像。

2.1 幾何結(jié)構(gòu)特征聚類(lèi)

圖像塊聚類(lèi)算法有多種。為了減少計(jì)算量，本文應(yīng)用方差進(jìn)行平滑塊類(lèi)和非平滑類(lèi)區(qū)分，圖像塊方差的計(jì)算公式如下：

設(shè)圖像塊中像素點(diǎn)x的梯度為g＝[gh, gn]，其梯度矩陣為＝[1,2, …,g]，根據(jù)文獻(xiàn)[15-16]在中所有像素點(diǎn)梯度g的平均值與圖像塊的軸向正交，軸向估計(jì)問(wèn)題可通過(guò)求解向量表示為：

圖像塊梯度場(chǎng)的主方向是最小奇異值所對(duì)應(yīng)的奇異分量，對(duì)進(jìn)行奇異值分解＝，其中是2×2的正交矩陣，第一列1表示圖像塊的梯度場(chǎng)主導(dǎo)方向；矩陣大小為×2，可以得到的奇異值1和2，1代表梯度場(chǎng)主導(dǎo)方向上的能量，2代表與梯度場(chǎng)主導(dǎo)方向正交方向上的能量。

設(shè)定參數(shù)判別邊緣塊和不規(guī)則塊：

如果計(jì)算出的小于設(shè)定的閾值*（設(shè)為0.05），則判定為不規(guī)則塊，反之判定為邊緣塊。

最后一步是對(duì)邊緣塊進(jìn)行主導(dǎo)方向的判定。根據(jù)圖像塊主方向1，計(jì)算梯度角度：

對(duì)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到圖像塊的梯度角度，并以此對(duì)邊緣塊進(jìn)行不同角度分類(lèi)。圖1為選取的兩個(gè)角度的圖像塊聚類(lèi)效果。

2.2 字典的構(gòu)造

經(jīng)過(guò)對(duì)圖像塊幾何結(jié)構(gòu)特性聚類(lèi)，我們獲得到了類(lèi)HR圖像塊集{h(1),h(2),…,h(K)}和對(duì)應(yīng)的LR塊集{l(1),l(2),…,l(K)}，字典訓(xùn)練過(guò)程把文獻(xiàn)[4]的聯(lián)合字典生成思想和文獻(xiàn)[9]的K-SVD訓(xùn)練方法相結(jié)合，既保證了保證高低分辨率具有相同的稀疏表示，又發(fā)揮了K-SVD訓(xùn)練的高效性。

圖1 梯度角度聚類(lèi)效果

對(duì)第類(lèi)高、低分辨率圖塊h(i)和l(i))應(yīng)用下列公式(9)訓(xùn)練對(duì)應(yīng)類(lèi)的子字典對(duì)：

和分別表示高、低分辨率圖像塊的維數(shù)，表示高低分辨率塊共同的稀疏編碼系數(shù)，表示稀疏度的閾值。對(duì)上式公式，進(jìn)行如下的變換：

應(yīng)用OMP（Orthogonal Matching Pursuit）算法求解上式得到稀疏編碼系數(shù)，然后結(jié)合HR字典D(K)可恢復(fù)對(duì)應(yīng)的HR塊x＝D(K)。最后把所有重建的HR塊在重疊部分加權(quán)平均處理，按以下公式(12)到重建的HR圖像：

2.3 局部可控核回歸（SKR，Steer Kernel Re-gression）約束

基于圖像局部平滑假設(shè)，SKR在圖像恢復(fù)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用[10]，它能自適應(yīng)圖像局部塊的條形或者橢圓形等邊緣形狀結(jié)構(gòu)，具有較強(qiáng)的邊緣保持能力和較高的噪聲魯棒性，能恢復(fù)出清晰的邊緣。在圖像中，圖像塊的中心像素估計(jì)，表示為：

式中：X為估計(jì)的中心像素值；q是一個(gè)鄰域像素值的列向量，而w則為對(duì)應(yīng)鄰域像素權(quán)重w(,)的列向量。在SKR模型中，權(quán)值通過(guò)以下公式(14)計(jì)算：

式中：是位于x的梯度協(xié)方差矩陣；k為可控核的平滑參數(shù)；表示局部采樣數(shù)據(jù)密度的標(biāo)量（本文設(shè)＝1）。

將局部核回歸與圖像塊的組合，整幅圖像通過(guò)以下公式估計(jì)：

式中：為平衡因子，上式公式(15)可以寫(xiě)成：

其中為單位矩陣，且：

2.4 非局部相似性（NLS，Non-Local Similarity）約束

研究表明自然圖像中包含很多非局部相似的重復(fù)結(jié)構(gòu)和形狀，且這些非局部冗余信息具有增強(qiáng)圖像的稀疏分解穩(wěn)定性和提高圖像質(zhì)量的作用[12-13]。本文引入非局部相似性約束的正則項(xiàng)來(lái)消除振鈴問(wèn)題從而提高重建圖像的質(zhì)量。

給定中心像素為X的圖像塊x，根據(jù)歐幾里德距離最小的準(zhǔn)則在整幅圖像中搜索它的所有相似塊x(＝1, 2, …,)。所以，圖像塊的像素X可以通過(guò)以下公式獲?。?/p>

式中：X表示圖像塊x的中心像素；w(,)表示圖像中像素X和X的相似度權(quán)值，通過(guò)以下公式計(jì)算：

式中：h是權(quán)重的控制項(xiàng)。通過(guò)下式(20)引入NLM約束正則項(xiàng)來(lái)估計(jì)圖像：

式中：為平衡參數(shù)；p為包含所有像素X的列向量，且w是包含權(quán)值w(,)的列向量，上式可以寫(xiě)成如下形式：

式中：為單位矩陣，且：

2.5 局部和非局部約束

考慮圖像的局部和非局部特性，并有效地結(jié)合起來(lái)，把第2.3節(jié)的局部核回歸約束和第2.4節(jié)的非局部相似性約束組合作為圖像重建的耦合約束，重建目標(biāo)函數(shù)可以寫(xiě)成如下形式：

式(23)是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，且式中含有3個(gè)變量、和，其求解過(guò)程是先利用公式(24)對(duì)稀疏重建的圖像塊加權(quán)平均得到初始化估計(jì)的HR圖像：

最后，通過(guò)交替更新變量、和，直到重建誤差小于設(shè)定的閾值或者更新次數(shù)達(dá)到最大，從而獲得重建的HR圖像。

2.6 基于幾何字典學(xué)習(xí)和耦合約束的圖像超分辨率重建方法

本文提出的方法流程如下：

Input：測(cè)試圖像；訓(xùn)練樣本集{h,l}，h為HR訓(xùn)練塊集，l為L(zhǎng)R訓(xùn)練塊集；放大因子；

1）根據(jù)幾何結(jié)構(gòu)特性，對(duì)訓(xùn)練樣本集進(jìn)行幾何特性聚類(lèi){h(i),l(i)}；并對(duì)按公式(10)訓(xùn)練生成對(duì)應(yīng)的子字典對(duì){h(i),l(i)}；

3）分別應(yīng)用公式(19)計(jì)算NLS的權(quán)值矩陣和公式(14)計(jì)算SKR權(quán)值矩陣，通過(guò)最小化公式(25)更新重建的HR圖像；

3 實(shí)驗(yàn)仿真及結(jié)果分析

本文的實(shí)驗(yàn)中，選擇與Yang et al.[4]相同的包括建筑、人、花草和動(dòng)物等69張自然圖像作為訓(xùn)練樣本。并從中抽?。ǎ?000）塊圖像塊作為字典訓(xùn)練樣本塊，圖像塊大小為5×5，按照?qǐng)D像塊的幾何結(jié)構(gòu)特性聚類(lèi)，其中邊緣塊按梯度角度每間隔30°進(jìn)行一次聚類(lèi)，從而樣本總共分成（＝8）類(lèi)訓(xùn)練塊，應(yīng)用K-SVD算法迭代40次分別為每個(gè)聚類(lèi)塊訓(xùn)練原子數(shù)為512、稀疏度＝3的冗余子字典對(duì)。SKR權(quán)值計(jì)算需要的平滑參數(shù)h取0.75，非局部相似平滑參數(shù)h取15。更新迭代重建HR圖像中平衡因子取0.03，取0.05。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程，以雙三次插值算法Bicubic作為基準(zhǔn)算法，把最近提出的訓(xùn)練了單一冗余字典的算法ScSR[4]、SUSR[9]、SCDL[10]與本文提出的方法1和方法2進(jìn)行比較，本文方法1是指未引入耦合約束，僅是幾何結(jié)構(gòu)特性字典稀疏重建結(jié)果，本文方法2是引入耦合約束后的重建結(jié)果。實(shí)驗(yàn)中，采用人臉、斑馬、花朵等10張常用的圖片作為測(cè)試圖像。對(duì)輸入的LR圖像進(jìn)行3倍放大，即放大因子＝3。重建結(jié)果對(duì)比如圖2～3，其中展示僅為截取關(guān)鍵部分進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)重建圖像與原高分辨率圖像的峰值信噪比（PSNR）和結(jié)構(gòu)相似度（SSIM）對(duì)比如表1～表2所示。

觀(guān)察圖2～圖3中flowers的花瓣花粒以及l(fā)ena帽子上的紋理細(xì)節(jié)，基準(zhǔn)算法Bicubic基于平滑假設(shè)得到重建結(jié)果丟失大部分細(xì)節(jié)信息，圖像表面過(guò)于平滑，而基于稀疏表示的SR算法都獲得比插值算法更為尖銳的邊緣，效果更優(yōu)。ScSR稀疏表示重建結(jié)果在紋理細(xì)節(jié)部分得到一定保存，效果優(yōu)于基準(zhǔn)算法，但花粉粒出現(xiàn)模糊不清狀況。SUSR在圖像預(yù)處理和字典訓(xùn)練階段的方法與ScSR的有所區(qū)別，前者采用包含高頻細(xì)節(jié)信息的差值圖像進(jìn)行SR重建，高頻細(xì)節(jié)由原HR圖像減去插值放大的圖像得到，但是由于插值法放大的圖像過(guò)于平滑，得到的差值圖像不能體現(xiàn)圖像的高頻細(xì)節(jié)信息，從而重建的帽子條紋出現(xiàn)平滑和邊緣偽影效果。雖然SCDL方法應(yīng)用了稀疏系數(shù)的映射關(guān)系獲得較低的訓(xùn)練誤差，但是該映射關(guān)系不能保證得到較低的重建誤差，因而重建帽子條紋出現(xiàn)平滑不連續(xù)，恢復(fù)的花瓣花粒細(xì)節(jié)信息較少，視覺(jué)效果不理想。而本文提出的方法1考慮了樣本塊的幾何結(jié)構(gòu)特性的，學(xué)習(xí)的字典自適應(yīng)重建具有不同幾何結(jié)構(gòu)類(lèi)型的圖像塊，恢復(fù)的帽子邊緣尖銳、偽影不明顯，但是對(duì)于局部雜亂無(wú)章結(jié)構(gòu)的花粒仍存在平滑狀況；而在方法2中引入局部和非局部約束并將兩者有效結(jié)合對(duì)重建HR圖像進(jìn)行迭代更新后，重建帽子條紋清晰、尖銳，局部無(wú)規(guī)則的花粉粒重建效果相比方法1也更清晰、細(xì)節(jié)更細(xì)膩，整體視覺(jué)效果與原始圖像更接近。

從客觀(guān)評(píng)價(jià)參數(shù)上比較，表1～表2可以看出，稀疏表示算法的重建結(jié)構(gòu)都比基準(zhǔn)算法有較高的PSNR和SSIM，而本文提出方法2的與其他的方法相比較，PSNR提高最大接近0.6dB，平均也有大約0.3dB的提高，即無(wú)論是從單一數(shù)值和統(tǒng)計(jì)平均上都是最高。另外，在時(shí)間復(fù)雜度上，本文方法采用精簡(jiǎn)字典的稀疏重建方法，相比于ScSR的單一冗余字典，重建時(shí)間縮短1.5～2.5倍；與SUSR相比不相上下；而SCDL由于在高低分辨率特征空間中均訓(xùn)練32個(gè)聚類(lèi)字典，故重建的時(shí)間最長(zhǎng)。

4 總結(jié)

本文提出了基于圖像塊結(jié)構(gòu)特性聚類(lèi)幾何字典學(xué)習(xí)和耦合約束的圖像超分辨率重建方法。該方法探索圖像塊幾何結(jié)構(gòu)特性，對(duì)具有相同結(jié)構(gòu)性質(zhì)的圖像塊聚類(lèi)并應(yīng)用結(jié)合了耦合字典訓(xùn)練思想相結(jié)合的K-SVD算法，為每類(lèi)圖像塊訓(xùn)練冗余字典；在重建階段引入局部可控核回歸和非局部相似性耦合約束，以此獲得質(zhì)量更好的重建圖像。雖然基于幾何字典的方法1重建結(jié)果較之相比的算法略好，但在重建密集雜亂不規(guī)則細(xì)節(jié)時(shí)仍表現(xiàn)不夠理想，然而引入了耦合約束后的方法2改善了這一問(wèn)題，重建的質(zhì)量得到較大的提高。相比文中提到的訓(xùn)練單一字典的稀疏重建算法，本文方法重建結(jié)構(gòu)在主觀(guān)視覺(jué)效果更好、客觀(guān)評(píng)價(jià)參數(shù)更高。

圖2 flowers原始HR及各方法重建結(jié)果對(duì)比

圖3 Lena 原始HR及各方法重建結(jié)果對(duì)比

表1 本文測(cè)試圖像重建結(jié)果PSNR對(duì)比

表2 本文測(cè)試圖像重建結(jié)果SSIM對(duì)比

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Super-resolution Reconstruction Based on Geometric Dictionary Learning and Coupled Regularization

MO Jian-wen1，ZENG Er-meng1，ZHANG Tong2，YUAN Hua1

(1.School of Information and Communication, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China;2.Electromechanical Engineering College, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Traditional super-resolution algorithms based on sparse representation of image patches exploit single redundant dictionary to represent the image patches that contain various textures, which can not reflect the differences of various image patches types. In order to overcome this disadvantage, this paper proposes a single image super resolution reconstruction method based on geometric dictionary learning and coupled regularization, by exploring the local geometric property of image patches. A large number of training image patches are clustered into several groups by their geometric property, from which the corresponding “geometric dictionaries” are learned via K-SVD algorithm which is combined with the idea that the high and low resolution dictionaries can be co-trained. In addition, a coupled regularization of local steering kernel regression and non-local similarity is introduced into the proposed method to further improve the quality of the reconstructed images. Experiment results show that the proposed method both increases the evaluation parameters and improves the visual quality of the edges and the details significantly.

geometric clustering，dictionary learning，sparse representation，local steering kernel regression，non-local similarity

TP393

A

1001-8891(2015)08-0664-08

2015-04-26；

2015-05-13.

莫建文（1972-），男，廣西平男人，博士，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閳D像處理、模式識(shí)別、智能信息處理。E-mail：mo_jianwen@126.com。

國(guó)家自然科學(xué)基金，編號(hào)：61362021；廣西自然科學(xué)基金，編號(hào)：2013GXNSFDA019030，2013GXNSFAA019331，2014GXNSFDA118035；廣西科技開(kāi)發(fā)項(xiàng)目，編號(hào)：桂科攻1348020-6，桂科能1298025-7；廣西教育廳項(xiàng)目，編號(hào)：201202ZD044，2013YB091；桂林市科技攻關(guān)項(xiàng)目，編號(hào)：20130105-6，20140103-5；桂林電子科技大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目，編號(hào)：YJCXS201534。