旋轉(zhuǎn)舵面非線性自由振動(dòng)研究

黃瑞泉，胡 豪

（中航工業(yè)洪都，江西 南昌330024）

0 引 言

現(xiàn)代飛機(jī)通常采取電傳飛控系統(tǒng)通過(guò)多組機(jī)構(gòu)、環(huán)節(jié)操縱伺服作動(dòng)器，進(jìn)而驅(qū)動(dòng)操縱面實(shí)現(xiàn)不可逆的動(dòng)力操縱。分析飛機(jī)操縱系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型時(shí)，主要問(wèn)題是阻尼特性、其次是間隙問(wèn)題[1]。周志文[2]提到由機(jī)械液壓組成的操縱系統(tǒng)存在間隙、摩擦、阻尼等非線性因素，但其研究側(cè)重于簡(jiǎn)化操縱系統(tǒng)動(dòng)剛度計(jì)算方法，將非線性因素等效線性處理。管德、宗捷[3]研究了水平尾翼結(jié)構(gòu)非線性對(duì)顫振特征的影響，指出帶間隙狀態(tài)飛機(jī)顫振速度變化情況。張偉偉、王忠波等[4]進(jìn)一步研究了在迎角改變的情況下帶間隙操縱面極限環(huán)振動(dòng)，指出間隙為影響氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性的要素之一。姚起航、屈見(jiàn)忠[5]給出了模態(tài)試驗(yàn)中幾種典型的非線性例子，但只提到受間隙影響的剛度變化定性描述，未開(kāi)展詳細(xì)論述。沃德·海倫、斯蒂芬·拉門茲、波爾·薩斯[6]展示了不同激振力下非線性系統(tǒng)頻響函數(shù)變化趨勢(shì)，指出正弦激勵(lì)為研究非線性系統(tǒng)的最佳工具。

從上述文獻(xiàn)看，飛機(jī)操縱系統(tǒng)造成的非線性問(wèn)題會(huì)改變飛機(jī)顫振速度，進(jìn)而影響飛行安全。故此顫振分析者往往需要知道不同振動(dòng)量值下的操縱系統(tǒng)固有頻率，給出更加合理的飛行包線。舵面操縱系統(tǒng)是由多個(gè)連桿機(jī)構(gòu)串聯(lián)而成的復(fù)雜空間機(jī)構(gòu)，從力學(xué)的角度其可作為一個(gè)帶間隙、摩擦、阻尼的非線性系統(tǒng)，因此，研究此種系統(tǒng)的自由振動(dòng)衰減周期，可以為操縱面動(dòng)力學(xué)分析及模態(tài)試驗(yàn)提供理論參考。

1 模型簡(jiǎn)化

典型的不可逆助力飛行操縱系統(tǒng)原理圖及其操縱桿桿力特性見(jiàn)圖1所示[7]。

某型飛機(jī)操縱面剛度試驗(yàn)曲線見(jiàn)圖2所示。

從上述桿力特征曲線和操縱剛度試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)看，真實(shí)飛機(jī)操縱系統(tǒng)存在間隙、摩擦等因素，間隙值表現(xiàn)為操縱桿的空行程段，也是顫振飛行中出現(xiàn)極限環(huán)振動(dòng)的主要原因，摩擦力與操縱剛度在不同轉(zhuǎn)角下變化量較小，可視為常數(shù)。因此可將此種操縱系統(tǒng)模型簡(jiǎn)化為圖3所示的力學(xué)模型。

圖1 典型操縱系統(tǒng)原理圖及桿力特性圖

圖2 某型飛機(jī)操縱面剛度試驗(yàn)曲線

圖3 簡(jiǎn)化力學(xué)模型

模型為一質(zhì)量為m的彈簧振子在兩個(gè)間隙為δ的彈簧中運(yùn)動(dòng)，其中，兩彈簧剛度為k，粘性阻尼系數(shù)為c，在振動(dòng)過(guò)程中摩擦力f不變。取處x坐標(biāo)為0，向上為正，建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。

模型中的m對(duì)于操縱面繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，彈簧剛度k對(duì)應(yīng)操縱剛度即單位轉(zhuǎn)角下的力矩，間隙δ為舵面空行程的最大值，c為操縱系統(tǒng)阻尼 （當(dāng)做粘性阻尼考慮）。

此模型整個(gè)階段的剛度曲線見(jiàn)圖4所示。從圖上看，此模型能夠反映帶間隙、摩擦的操縱系統(tǒng)基本特征。

圖4 模型剛度曲線

2 分段求解運(yùn)動(dòng)方程

彈簧振子振動(dòng)過(guò)程可分為兩個(gè)部分。一是彈簧振子處于δ的間隙區(qū)內(nèi)，彈簧振子m為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，二是超出間隙區(qū)的有阻尼、摩擦的彈性振動(dòng)。振子在兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間交替，即間隙區(qū)的終值為彈簧阻尼區(qū)的初值，彈簧阻尼區(qū)的終值又為下一個(gè)間隙區(qū)的初值。

設(shè)其初始條件為x0，，其運(yùn)動(dòng)方程為：

設(shè)其初始條件為 x0，，，設(shè)則，其運(yùn)動(dòng)方程為：

則上式表示為：

僅考慮欠阻尼狀態(tài)即ξ<1的情況，解得：

回代上式，得：

對(duì)t求導(dǎo)得：

將初始條件代入，求得c1，c2：

可以看出，帶摩擦力的粘性阻尼彈性振動(dòng)，就是將粘性阻尼彈性振動(dòng)曲線在速度小于零階段曲線上移r，速度大于零階段曲線下移r，對(duì)于一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)，其自振頻率仍為ωd。

3 模型自由衰減周期求解

假定振動(dòng)起始于彈簧阻尼區(qū)，其初始位移為x0=a (a>0)，初始速度定義自由衰減振動(dòng)周期T為第一個(gè)位移峰峰值之間的時(shí)間間隔，其分為六個(gè)時(shí)間組成，即

其中：t1為從x0=a，到的彈簧阻尼區(qū)衰減時(shí)間；

t2為以 t1狀態(tài)結(jié)束時(shí)的 xt1、為初始狀態(tài)到的勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

t3為以t2狀態(tài)結(jié)束時(shí)的xt2、為初始狀態(tài)到xt3最大負(fù)位移、的彈簧阻尼區(qū)衰減時(shí)間；

t4為以 t3狀態(tài)結(jié)束時(shí)的 xt3、為初始狀態(tài)到的彈簧阻尼區(qū)衰減時(shí)間；

t5為以t4狀態(tài)結(jié)束時(shí)的xt4為初始狀態(tài)到xt5=的勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

t6為以t5狀態(tài)結(jié)束的xt5、為初始狀態(tài)到xt5最大負(fù)位移、的彈簧阻尼區(qū)衰減時(shí)間。

3.1 第一階段

由于第一階段為存在摩擦的有阻尼衰減振動(dòng)，摩擦力影響位移曲線，導(dǎo)致超越方程的求解困難，故此采取泰勒展開(kāi)方式求解。限于篇幅，本文在第一階段詳述求解過(guò)程，其他階段僅給出結(jié)果，不做詳述。

將初始條件x0=a代入(6)式中，求得：

(4)式變?yōu)椋?/p>

(5)式變?yōu)椋?/p>

此方程為超越方程無(wú)法求解出t1的表達(dá)式。

由(7)式可以看出，在此階段摩擦力f使粘性阻尼位移曲線上移r，其中立位置為此時(shí)振子振動(dòng)時(shí)間可代入(7)式得：

求解方程，得：

此時(shí)刻進(jìn)行受力分析：

我們將公式(7)在tz-1時(shí)刻點(diǎn)用二階泰勒(Taylor)中值定理展開(kāi)為

忽略高階無(wú)窮小量，可以看出，這明顯為勻加速直線運(yùn)動(dòng)的公式，其物理意義表現(xiàn)為：在tz_1時(shí)刻點(diǎn)到第一階段末時(shí)刻點(diǎn)）這個(gè)時(shí)間段中Δt，我們將彈簧振子的運(yùn)動(dòng)看為以tz_1時(shí)刻點(diǎn)的速度為初速度，以tz_1時(shí)刻點(diǎn)的加速度為恒定加速，運(yùn)動(dòng)位移為r的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，代入上式，求得：

可以看出Δt→0，即r→0。這種等效的誤差是比Δt3高階的無(wú)窮小，在實(shí)際工程中可近似為精確解。

第一階段的末速度為：

3.2 第二階段：

此階段為勻減速直線運(yùn)動(dòng)。初始條件為第一階段結(jié)束狀態(tài)。

3.3 第三階段：

第三階段的初始狀態(tài)即第二階段末時(shí)刻的狀態(tài)。彈簧振子的運(yùn)動(dòng)為有阻尼、摩擦的自由衰減振動(dòng)。此過(guò)程求解得：

3.4 第四階段：

第四階段的初始狀態(tài)即第三階段末時(shí)刻的狀態(tài)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)為有阻尼、摩擦的自由衰減振動(dòng)。此過(guò)程求解得：，此階段與第一階段相同，出現(xiàn)求解超越方程的問(wèn)題。因此需用泰勒公式在tz_4時(shí)刻展開(kāi)。tz_4時(shí)刻狀態(tài)為

3.5 第五階段

此階段為勻減速直線運(yùn)動(dòng)。初始條件為第四階段結(jié)束狀態(tài)。

3.6 第六階段

第六階段的初始狀態(tài)即第五階段末時(shí)刻的狀態(tài)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)為有阻尼、摩擦的自由衰減振動(dòng)，將初始條件代入(4)、(5)、(6)式中，得：

彈簧振子位移為：

至此，六個(gè)時(shí)間段求解全部完成。其中，第1、3、4、6階段合成即為一個(gè)完整的有摩擦、阻尼的自由振動(dòng)，存在：

彈簧振子完成一個(gè)周期振動(dòng)的時(shí)間：

可以看出，帶間隙、摩擦的有阻尼自由振動(dòng)周期不光與彈簧、阻尼有關(guān)還與間隙大小、摩擦力大小有關(guān)，同時(shí)與進(jìn)入振動(dòng)的初始能量大小有關(guān)，即T=f(m, k,ξ,a,f,δ)。進(jìn)入振動(dòng)能量大，t2、t5就小，整個(gè)周期就小，振動(dòng)頻率就大，反之亦然。這里的進(jìn)入振動(dòng)的能量即初始狀態(tài)的位移a的大小?？梢韵胂螽?dāng)a→+∞時(shí)，t2+t5→0，即為有阻尼自由振動(dòng)周期。

4 算 例

為研究各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)自由衰減振動(dòng)周期的影響，我們假設(shè)一個(gè)基準(zhǔn)模型如下：

圖5 位移、速度及加速度歸一化后的時(shí)間歷程

其位移、速度及加速度歸一化后的時(shí)間歷程圖見(jiàn)圖5所示?？匆钥闯?，位移曲線與有阻尼自由衰減曲線很相似，而速度曲線在峰值出出現(xiàn)平臺(tái)，而加速度在零值附近出現(xiàn)跳變。

由上一節(jié)推導(dǎo)公式可計(jì)算得，其有阻尼自振頻率為fd=9.8141Hz，帶摩擦、間隙的有阻尼系統(tǒng)自振頻率為：f=9.2487Hz。為方便研究，將所有參數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱化，定義整個(gè)帶摩擦、間隙的有阻尼自由振動(dòng)頻率與有阻尼振動(dòng)頻率的誤差設(shè)為Δ，即對(duì)于基準(zhǔn)模型，其Δ=-5.76%。假設(shè)初始位移a與間隙值δ的比例為λ，即摩擦力f對(duì)系統(tǒng)彈簧所產(chǎn)生的靜變形量與間隙值的比值設(shè)為γ，即計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖6所示。

圖6 摩擦力、間隙對(duì)系統(tǒng)周期的影響

圖7為二維投影圖，從圖中可以看出，隨著λ的增大，Δ趨于0，γ僅在λ較小時(shí)有影響，在相同λ情況下γ值越大，則Δ越小。即：當(dāng)初始振動(dòng)幅值遠(yuǎn)大于間隙值時(shí)，系統(tǒng)自振頻率接近有阻尼振動(dòng)頻率；在振動(dòng)幅值與間隙值接近時(shí)，摩擦越大，系統(tǒng)自振頻率越低。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)研究現(xiàn)代飛機(jī)舵面操縱系統(tǒng)，構(gòu)建帶間隙、摩擦和阻尼的非線性系統(tǒng)，求解其自由衰減振動(dòng)頻率的解析表達(dá)式，研究間隙、摩擦對(duì)系統(tǒng)自振頻率的影響，得出以下結(jié)論：

1)當(dāng)初始振動(dòng)幅值非常大時(shí)，非線性系統(tǒng)自振頻率等于阻尼振動(dòng)頻率；

2)間隙值越大，非線性系統(tǒng)自振頻率越低；

3)摩擦力僅在系統(tǒng)振動(dòng)幅值較小的情況下有影響，且隨著摩擦力增大，系統(tǒng)自振頻率降低。

圖7 投影圖

隨著振動(dòng)幅值的增大，非線性系統(tǒng)頻率逐漸增大并趨穩(wěn)于有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)頻率，這種現(xiàn)象與模態(tài)試驗(yàn)中力頻曲線后階段一致[8]。在模態(tài)試驗(yàn)中要得到操縱面旋轉(zhuǎn)頻率的穩(wěn)定值，需要足夠大的振動(dòng)量值。從此模型看，在舵面上預(yù)加力矩方式，亦可測(cè)得操縱面旋轉(zhuǎn)頻率的穩(wěn)定值。

[1]徐鑫福 .飛機(jī)飛行操縱系統(tǒng).北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1989.

[2]周志文.直升機(jī)飛行操縱系統(tǒng)動(dòng)剛度特性研究.直升機(jī)技術(shù),2010(3).

[3]管德,宗捷.結(jié)構(gòu)非線性對(duì)顫振特性的影響.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),1994(4).

[4]張偉偉,王忠波,等.迎角對(duì)間隙舵面的非線性顫振特性影響研究.機(jī)械強(qiáng)度,2011,33(2).

[5]姚起杭,屈見(jiàn)忠.實(shí)用振動(dòng)工程（3）振動(dòng)測(cè)量與試驗(yàn).北京：航空工業(yè)出版社,1997.

[6]沃德·海倫,斯蒂芬·拉門茲,波爾·薩斯著.白化同,郭繼忠譯.模態(tài)分析理論與試驗(yàn).北京：北京理工大學(xué)出版社，2001.

[7]王永熙 .飛機(jī)設(shè)計(jì)手冊(cè),第12冊(cè).飛行控制系統(tǒng)和液壓系統(tǒng)設(shè)計(jì).北京：航空工業(yè)出版社,2003.

[8]管德.俄羅斯專家談?lì)澱駟?wèn)題的處理經(jīng)驗(yàn).北京：航空科學(xué)技術(shù),1995.