（2＋1）維Kaup－Kupershmidt方程的精確行波解①

賈 榮，馮大河，程源泉，余晶晶

（桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

求解非線性偏微分方程（組）的精確解一直是數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的重要研究課題之一，非線性方程的波解描述了眾多重要現(xiàn)象和動(dòng)力學(xué)過(guò)程，因此被廣泛應(yīng)用于物理、工程技術(shù)和數(shù)學(xué)等領(lǐng)域，如非線性光學(xué)、量子論、流體力學(xué)、彈性理論和凝聚態(tài)物理等。到目前為止，眾多有效的求解非線性偏微分方程（組）的方法已被提出，包括反散射方法［1］、Backlund變換法［2］、Darboux變換法［2］、Hirota雙曲線性法［2］、齊次平衡法［3－5］、動(dòng)力系統(tǒng)分支理論方法［6－8］、Tanh函數(shù)法［1］、Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法［9］。其中，Tanh函數(shù)法是求解非線性偏微分方程精確解的一種有效方法。2003年，F(xiàn)an Engui［10］提出了一種新的代數(shù)方法，即Fan子方程法，2007年，F(xiàn)eng Dahe等［11］改進(jìn)了這種方法。與Tanh函數(shù)法相比，利用Fan子方程法求解方程易得更多一般的行波解。目前，不少學(xué)者利用該方法研究非線性偏微分方程的問(wèn)題。Feng Dahe等［12］利用該方法求解ageneralized Hirota－Satsuma coupled KdV equation的精確行波解。元艷香等［13］獲得Zhiber－Shabat方程更多豐富的精確解，Lu Hailing等［14］利用對(duì)稱函數(shù)方法研究了（2＋1）維Kaup－Kupershmidt（KK）方程的精確解，Hrawy等［15］利用指數(shù)函數(shù)法得到了（2＋1）維KK方程新的精確解。為此，利用Fan子方程法研究（2＋1）維Kaup－Kupershmidt方程，并給出該方程的精確解和相應(yīng)的波形圖。

1 利用Fan子方程法求解（2＋1）維Kaup－Kupershmidt方程

利用Fan子方程法研究（2＋1）維Kaup－Kupershmidt方程：

作行波變換u（x，y，t）＝U（ξ），ξ＝x＋ky＋et，其中，k、e為常數(shù)，方程組（3）轉(zhuǎn)化為：

根據(jù)Fan子方程法，設(shè)方程組（4）的解為：

其中ai、bi為待定系數(shù)。新變量φ＝φ（ξ）滿足子方程：

其中ε＝±1，cj（j＝0，1，…，4）為待定常數(shù)。因此，對(duì)于變量ξ的微分則轉(zhuǎn)化為新變量φ（ξ）的微分：

把式（5）～（8）代入方程組（4），然后平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和最高階非線性項(xiàng)，可得n1＝n2＝2。方程組（4）的解可表示為：

令ε＝1，φi和φi的系數(shù)為0，由此得到一系列關(guān)于ai、bi（i＝0，1，2）的代數(shù)方程，應(yīng)用符號(hào)計(jì)算軟件Maple求解此方程，得到該方程組15種情況的解，從而得到方程組（3）的30組精確解。

2 （2＋1）維Kaup－Kupershmidt方程的30組精確解

2.1 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0的有理函數(shù)解

設(shè)a2＝0，a1＝－c3／4，a0＝－kσ／3，b2＝0，b1＝－kc3／4，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0，可得方程（6）的1組有理函數(shù)解：

把方程（10）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.2 c2＝0，c4＝0，c3＞0的Weierstrass橢圓函數(shù)解

設(shè)a2＝0，a1＝－c3／4，a0＝－σk／3，b2＝0，b1＝－kc3／4，b0＝（80σk2＋3c1c3－144e）／240σ，其中σ2＝1，c1≠0，c0、k、e為任意常數(shù)，由c2＝0，c4＝0，c3＞0，可得方程（6）的1組Weierstrass橢圓函數(shù)解：

其中g(shù)2＝－4c1／c3、g3＝－4c0／c3為雙周期Weierstrass橢圓函數(shù)的變量。把方程（12）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.3 c0＝0，c1＝0，c4＝0的三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設(shè)a2＝0，a1＝－c3／4，a0＝－σk／3－c2／12，b2＝0，b1＝－kc3／4，b0＝（80σk2－20σkc2－c22－144e）／240σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c4＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

把方程（14）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.4 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0的有理函數(shù)解

設(shè)a2＝0，a1＝－2c3，a0＝－σk／3，b2＝0，b1＝－2kc3，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0，可得方程（6）的1組有理函數(shù)解：

把方程（16）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.5 c2＝0，c4＝0，c3＞0的Weierstrass橢圓函數(shù)解

設(shè)a2＝0，a1＝－2c3，a0＝－σk／3，b2＝0，b1＝－2kc3，b0＝（5σk2＋33c1c3－9e）／15σ，其中σ2＝1，c1≠0，c0、k、e為任意常數(shù)，由c2＝0，c4＝0，c3＞0，可得方程（6）的1組Weierstrass橢圓函數(shù)解：

把方程（18）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.6 c0＝0，c1＝0，c4＝0的三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設(shè)a2＝0，a1＝－2c3，a0＝－σk／3－2c2／3，b2＝0，b1＝－2kc3，b0＝（5σk2－10σkc2－11－9e）／15σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c4＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

把方程（20）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.7 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0的有理函數(shù)解

設(shè)a2＝－c4，a1＝0，a0＝－σk／3，b2＝－kc4，b1＝0，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0，得到方程（6）的1組有理函數(shù)解：

把方程（22）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.8 c0＝0，c1＝0，c3＝0的三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設(shè)a2＝－c4，a1＝0，a0＝－σk／3－c2／3，b2＝－kc4，b1＝0，b0＝（5σk2－5σkc2－－9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

把方程（24）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.9 c1＝0，c3＝0的三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解和3組雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解

設(shè)a2＝－c4，a1＝0，a0＝σk／3－c2／3，b2＝－kc4，b1＝0，b0＝（5σk2－c0c4－5σkc2－－9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解、3組雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中m（0＜m＜1）為Jacobi橢圓函數(shù)的模。把方程（26）～（30）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.10 c0＝0，c1＝0，c2＝0的指數(shù)函數(shù)解和有理函數(shù)解

設(shè)a2＝－c4，a1＝－c3／2，a0＝（3－16σkc4）／48c4，b2＝－kc4，b1＝－kc3／2，b0＝（240＋1280σk2，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，可得方程（6）的1組指數(shù)函數(shù)解、1組有理函數(shù)解：

把方程（32）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.11 c0＝0，c1＝0的三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設(shè)a2＝－c4，a1＝－c3／2，a0＝，其中σ2＝1，c3≠0，c4≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

其中當(dāng)c2＝／4c4時(shí)。將方程（34）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.12 c0＝0，c1＝0，c2＝c32／4c4的三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設(shè)a2＝－，其中σ2＝1，c3≠0，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝c32／4c4，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

把方程（36）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.13 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0的有理函數(shù)解

設(shè)a2＝－8c4，a1＝0，a0＝－σk／3，b2＝－8kc4，b1＝0，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0，可得方程（6）的1組有理函數(shù)解

把方程（38）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.14 c0＝0，c1＝0，c3＝0三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解

設(shè)a2＝－8c4，a1＝0，a0＝－σk／3－8c2／3，b2＝－8kc4，b1＝0，b0＝（5σk2－40σkc2－176－9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c0＝0，c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解：

把方程（40）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

2.15 c1＝0，c3＝0的三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解和3組雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解

設(shè)a2＝－8c4，a1＝0，a0＝－σk／3－8c2／3，b2＝－8kc4，b1＝0，b0＝9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e為任意常數(shù)，由c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1組三角函數(shù)解、1組雙曲函數(shù)解、3組雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解：

把方程（42）代入方程（9），方程組（3）的精確解為：

3 （2＋1）維KK方程相應(yīng)的波形圖

（2＋1）維Kaup－Kupershmidt方程30組解的圖形大致分為5類：

1）KK方程的第3、7、10、11、24、26組解有相似的圖形，其中第3組解的波形如圖1所示。

圖1 當(dāng)σ＝1，c2＝－0.04，k＝e＝1，t＝0時(shí)U3、V3的波形Fig.1 The waveforms ofU3，V3 whenσ＝1，c2＝－0.04，k＝e＝1，t＝0

2）KK方程的第4、8、12、13、25、27組解有相似的圖形，其中第8組解的波形如圖2所示。

圖2 當(dāng)σ＝1，c2＝0.04，k＝e＝1，t＝0時(shí)U8、V8的波形Fig.2 The waveforms ofU8，V8 whenσ＝1，c2＝0.04，k＝e＝1，t＝0

3）KK方程的第14、15、16、28、29、30組解有相似的圖形，其中第14組解的波形如圖3所示。

4）KK方程的第18組解的波形如圖4所示。

圖3 當(dāng)σ＝1，c2＝0.28，k＝e＝1，m＝0.8，t＝0時(shí)U14、V14的波形Fig.3 The waveforms ofU14，V14 whenσ＝1，c2＝0.28，k＝e＝1，m＝0.8，t＝0

圖4 當(dāng)σ＝1，c3＝0.2，c4＝0.02，k＝e＝1，t＝0時(shí)U18、V18的波形Fig.4 The waveforms ofU18，V18 whenσ＝1，c3＝0.2，c4＝0.02，k＝e＝1，t＝0

5）KK方程的第20、22組解的波形如圖5所示。

圖5 當(dāng)σ＝1，c2＝－0.01，c3＝0.2，c4＝1，k＝e＝1，t＝0時(shí)U22、V22的波形Fig.5 The waveforms ofU22，V22 whenσ＝1，c2＝－0.01，c3＝0.2，c4＝1，k＝e＝1，t＝0

4 結(jié)束語(yǔ)

利用Fan子方程法，借助符號(hào)計(jì)算軟件Maple求解（2＋1）維KK方程，獲得了該方程的30組精確解。與其他求解（2＋1）維KK方程方法相比，利用Fan子方程法得到的解更豐富、更具一般性。由此可見(jiàn)，F(xiàn)an子方程法是求解非線性偏微分方程精確解的一種有效方法。后續(xù)研究可借助Fan子方程法或推廣的Fan子方程法，解決非線性問(wèn)題。

［1］郭玉翠.非線性偏微分方程引論［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2008：46－217.

［2］陳陸君，梁昌洪.孤立子理論及其應(yīng)用［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1997：53－60.

［3］范恩貴，張鴻慶.非線性波動(dòng)方程的孤波解［J］.物理學(xué)報(bào)，1997，46（7）：1254－1258.

［4］范恩貴，張鴻慶.非線性孤子方程的齊次平衡法［J］.物理學(xué)報(bào)，1998，47（3）：353－362.

［5］Wang Mingliang，Zhou Yubin，Li Zhibin.Application of homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics［J］.Physics Letters A，1996，213：67－75.

［6］郭柏靈，劉正榮.CH－γ方程的兩類新有界波［J］.中國(guó)科學(xué)：A輯，2005，35（6）：651－663.

［7］Liu Zhengrong，Ouyang Zhengyong.A note on solitary waves for modified forms of Camassa－Holm and degasperis－procesi equations［J］.Physics Letters A，2007，366：377－381.

［8］劉正榮，楊喜艷.廣義Camassa－Holm方程的顯示孤子解［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，16（2）：89－94.

［9］趙小山，徐偉.廣義五階KdV方程的新的周期波解與孤立波解［J］.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，33（3）：464－468.

［10］Fan Engui.Uniformly constructing a series of explicit exact solutions to nonlinear equations in mathematical physics［J］.Chaos Solitons ＆Fractals，2003，16：819－839.

［11］Feng Dahe，Li Jibing，Lu Junliang，et al.The improved Fan sub equation method and its application to the Boussinseq wave equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，194：309－320.

［12］Feng Dahe，Li Kezan.Exact traveling wave solutions for a generalized Hirota－Satsuma coupled KdV equation by Fan subequation［J］.Physics Letters A，2012，375：2201－2210.

［13］元艷香，馮大河，韓虎，等.Zhiber－Shabat方程的精確行波解［J］.桂林電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，32（2）：162－166.

［14］Lu Hailing，Liu Xiqiang.Exact solutions to（2＋1）－dimensional Kaup－Kupershmidt equation［J］.Communications in Theoretical Physics，2009，52（5）：795－800.

［15］Bhrawy A H，Biswas A，Javidi M，et al.New solutions to（1＋1）－dimensional and（2＋1）－dimensional Kaup－Kupershmidt equations［J］.Results in Mathematics，2013，63（1／2）：1422－6383.