高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的研究與實(shí)踐

摘要:傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育一般是從公理體系出發(fā),沿著“定義→假設(shè)→定理→證明→推論”這樣一條演繹的道路進(jìn)行的。但隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展,數(shù)學(xué)教學(xué)有了全新的輔助工具。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)改變了數(shù)學(xué)只用紙和筆進(jìn)行研究的傳統(tǒng)方式,給數(shù)學(xué)研究帶來(lái)了最先進(jìn)的工具,在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算和模擬實(shí)驗(yàn)已成為一種新的科學(xué)方法和技術(shù),計(jì)算機(jī)使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法達(dá)到了一個(gè)新水平,計(jì)算機(jī)的使用正在改變數(shù)學(xué)的性質(zhì),數(shù)學(xué)正在成為一門“實(shí)驗(yàn)科學(xué)”。

關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);實(shí)驗(yàn)教學(xué)

1高校實(shí)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)、軟件引入教學(xué)后出現(xiàn)的新事物。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展可以在數(shù)學(xué)教育中體現(xiàn)學(xué)生的主體意識(shí),讓學(xué)生做到會(huì)學(xué)、會(huì)用、會(huì)做數(shù)學(xué),提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí),并培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)去認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,它強(qiáng)調(diào)以學(xué)生動(dòng)手為主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,由于計(jì)算機(jī)的引入和數(shù)學(xué)軟件包的應(yīng)用,為數(shù)學(xué)的思想與方法注入了更多、更廣泛的內(nèi)容,使學(xué)生擺脫了繁重的乏味的數(shù)學(xué)演算和數(shù)值計(jì)算,促進(jìn)了數(shù)學(xué)同其他學(xué)科之間的結(jié)合,從而使學(xué)生有時(shí)間去做更多的創(chuàng)造性工作。

2 高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容的確立

從問(wèn)題出發(fā)組織教學(xué)內(nèi)容。雖然有意識(shí)讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)學(xué)會(huì)一些基本的方法, 但是并不以這些方法為線索組織課程內(nèi)容。而是設(shè)計(jì)了一些能夠引起學(xué)生興趣的問(wèn)題, 這些問(wèn)題的引入不需很深的數(shù)學(xué)知識(shí),便于入門,但這些問(wèn)題具有深刻的內(nèi)涵,包括科學(xué)發(fā)展歷史上經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題,以及具有應(yīng)用價(jià)值的問(wèn)題。每個(gè)實(shí)驗(yàn)圍繞解決一個(gè)或幾個(gè)問(wèn)題來(lái)展開,教學(xué)生使用若干種方法來(lái)解決所給的問(wèn)題,在解決問(wèn)題中學(xué)習(xí)和熟悉這些方法,自己觀察結(jié)果,得出結(jié)論。并激發(fā)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。

盡管數(shù)學(xué)專業(yè)和非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生的數(shù)學(xué)課程的難易程度有很大的差別,但數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課對(duì)他們來(lái)說(shuō)卻不必有多大的差別,基本的部分完全可以是共同的, 只有一些理論較深的部分可以根據(jù)各自的情況有所取舍。所以,在開課時(shí)完全可以將數(shù)學(xué)系學(xué)生和非數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)一起上課。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以包括兩部分主要內(nèi)容: 第一部分是基礎(chǔ)部分, 圍繞高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容, 讓學(xué)生充分利用計(jì)算機(jī)及軟件的數(shù)值功能和圖形功能展示基本概念與結(jié)論,去體驗(yàn)如何發(fā)現(xiàn)、總結(jié)和應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)律。另一部分是高級(jí)部分,以高等數(shù)學(xué)為中心向邊緣學(xué)科發(fā)散, 可涉及到微分幾何, 數(shù)值方法, 數(shù)理統(tǒng)計(jì),圖論與組合, 微分方程, 運(yùn)籌與優(yōu)化等, 也可涉及到現(xiàn)代新興的學(xué)科和方向, 如分形、混沌等。這部分的內(nèi)容可以是新的, 但不必強(qiáng)調(diào)完整性, 教師介紹一點(diǎn)主要的思想, 提出問(wèn)題和任務(wù), 讓學(xué)生嘗試通過(guò)自己動(dòng)手和觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)其中的規(guī)律。即使總結(jié)不出來(lái)也沒有關(guān)系, 留待將來(lái)再學(xué), 有興趣的可以自己去找參考書尋找答案。

3 高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)施

開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課以二年級(jí)或一年級(jí)下學(xué)期為宜, 讓學(xué)生學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)中必要的基本概念即可, 不必學(xué)過(guò)很多的數(shù)學(xué)定理。這樣, 就可以有比較多的未知的東西供他們?nèi)ヌ剿?。已學(xué)的東西太多, 學(xué)生對(duì)探索的興趣反而下降。

每學(xué)期安排9個(gè)實(shí)驗(yàn), 每?jī)芍茏鲆粋€(gè)實(shí)驗(yàn)。每次實(shí)驗(yàn)先由教師講兩個(gè)課時(shí), 兩周中的其余 3次課都是安排學(xué)生上機(jī), 教師輔導(dǎo), 希望學(xué)生在兩周中完成實(shí)驗(yàn)作業(yè)。教師主要是提出問(wèn)題, 適當(dāng)介紹問(wèn)題的背景, 介紹主要的實(shí)驗(yàn)原理和方法。然后就讓學(xué)生自己動(dòng)手去做, 去觀察, 通過(guò)觀察得出結(jié)論。教師不宜花時(shí)間去作理論推導(dǎo), 最好也不要預(yù)先告訴學(xué)生實(shí)驗(yàn)的結(jié)果, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果讓學(xué)生自己去觀察得出。在教學(xué)過(guò)程中, 有的學(xué)生希望少講一些理論, 多給他們留一些自己探索的空間; 也有的學(xué)生希望多講一些理論。能夠通過(guò)實(shí)驗(yàn)使學(xué)生希望多學(xué)理論, 這就是好事情。將學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的興趣激發(fā)起來(lái)了, 胃口吊起來(lái)了, 這門課的目的就達(dá)到了。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是“開胃湯”, 而不是大餐。胃口吊起來(lái)之后希望多“吃”一些,可以通過(guò)看參考書和學(xué)習(xí)其它課程來(lái)滿足對(duì)于理論學(xué)習(xí)的渴求。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的具體內(nèi)容可設(shè)定為:

實(shí)驗(yàn)一、微積分基礎(chǔ):學(xué)習(xí)使用 Mathematica 的一些基本功能來(lái)驗(yàn)證或觀察得出微積分學(xué)的一些基本結(jié)論。例如:函數(shù)圖象,導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的遞增、遞減、極值的關(guān)系,泰勒逼近,傅立葉逼近,無(wú)窮乘積逼近,e 的產(chǎn)生,調(diào)和級(jí)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的關(guān)系等。

實(shí)驗(yàn)二、怎樣計(jì)算 p : 利用數(shù)值積分、泰勒級(jí)數(shù)、蒙特卡羅法等各種方法計(jì)算p 的近似值。結(jié)合計(jì)算p 的近似值學(xué)會(huì)應(yīng)用這些方法。

實(shí)驗(yàn)三、最佳分?jǐn)?shù)近似值:仍以p為例,通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法說(shuō)明怎樣用分母小、誤差小的分?jǐn)?shù)近似值逼近實(shí)數(shù),引出連分?jǐn)?shù)理論。

實(shí)驗(yàn)四、數(shù)列與級(jí)數(shù):通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀察,發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證一些數(shù)列與級(jí)數(shù)的規(guī)律。

實(shí)驗(yàn)五、概率:利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的功能,模擬各種隨機(jī)現(xiàn)象,通過(guò)觀察這些現(xiàn)象總結(jié)和驗(yàn)證概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)。

實(shí)驗(yàn)六、幾何變換:觀察各種變換(線性變換、射影變換、非歐幾何變換、復(fù)變換等)下平面圖形的變化情況及不變量,體驗(yàn)幾何學(xué)的核心:愛爾蘭根綱領(lǐng)。

實(shí)驗(yàn)七、天體運(yùn)動(dòng):在計(jì)算機(jī)上模擬產(chǎn)生天體運(yùn)動(dòng)、電場(chǎng)作用等物理現(xiàn)象,學(xué)到微分方程的數(shù)值解等數(shù)學(xué)方法。

實(shí)驗(yàn)八、迭代(一)--方程求解:通過(guò)迭代求方程的近似解。

實(shí)驗(yàn)九、尋優(yōu):以光的折射、最小二乘法等為例,試驗(yàn)各種優(yōu)化方法的原理和方法。

實(shí)驗(yàn)十、最速降線:利用計(jì)算機(jī)求多元函數(shù)極值的功能,用實(shí)驗(yàn)的方法求解最速降線問(wèn)題。而這個(gè)問(wèn)題的理論解涉及到比較深的數(shù)學(xué)(變分法)。

實(shí)驗(yàn)十一、迭代(二)--分形:利用計(jì)算機(jī)迭代過(guò)程畫分形圖形,在欣賞美麗的分形圖案的同時(shí)對(duì)分形幾何這門學(xué)科有一個(gè)直觀的了解。

實(shí)驗(yàn)十二、迭代(三)--混沌:從一個(gè)簡(jiǎn)單的二次函數(shù)的迭代出發(fā),認(rèn)識(shí)混沌現(xiàn)象及其所蘊(yùn)涵的規(guī)律性。

實(shí)驗(yàn)十三、密碼:在計(jì)算機(jī)上自己嘗試加密和破譯的一些基本方法和原理。

實(shí)驗(yàn)十四、初等幾何定理的機(jī)器證明:嘗試將幾何定理代數(shù)化并利用計(jì)算機(jī)證明的過(guò)程。

一個(gè)突出的問(wèn)題是課程內(nèi)容和作業(yè)的分量。實(shí)踐結(jié)果, 學(xué)生普遍反應(yīng)作業(yè)任務(wù)比較繁重。但實(shí)驗(yàn)所涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)難度并不大,主要的困難在于學(xué)生的計(jì)算機(jī)水平不夠, 因此完成作業(yè)要花很多時(shí)間。他們雖然也學(xué)過(guò)或正在學(xué)計(jì)算機(jī)課程, 但學(xué)過(guò)不用就忘了。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課幾乎是逼迫學(xué)生重新揀起或現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用計(jì)算機(jī)知識(shí), 用來(lái)完成作業(yè),當(dāng)然就顯得緊張了?？磥?lái), 一學(xué)期做 5個(gè)實(shí)驗(yàn)比較適中, 也能達(dá)到讓學(xué)生動(dòng)手體驗(yàn)數(shù)學(xué)的目的。但實(shí)驗(yàn)涉及的內(nèi)容嫌單薄了些。設(shè)想可以這樣解決: 老師上課仍然安排 9 至10 個(gè)實(shí)驗(yàn), 但學(xué)生不必在這學(xué)期內(nèi)全部完成, 可以在下學(xué)期自己將它補(bǔ)作完, 交出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

實(shí)驗(yàn)課評(píng)定成績(jī)的主要依據(jù)是平時(shí)的實(shí)驗(yàn)報(bào)告。當(dāng)然也可以集中做一兩個(gè)綜合性較輕的實(shí)驗(yàn),將其實(shí)驗(yàn)報(bào)告作為考試試卷。實(shí)驗(yàn)報(bào)告的評(píng)分的最基本標(biāo)準(zhǔn)是要自己動(dòng)手, 要寫上自己觀察到的現(xiàn)象并進(jìn)行分析。實(shí)話實(shí)說(shuō), 不能造假, 哪怕觀察到的現(xiàn)象與預(yù)計(jì)不一致,或者與理論推導(dǎo)的結(jié)果不一致, 也不能在實(shí)驗(yàn)報(bào)告中說(shuō)假話, 而應(yīng)當(dāng)分析其原因,找出改進(jìn)的辦法, 重做實(shí)驗(yàn), 重新得出結(jié)論。對(duì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告的更高的標(biāo)準(zhǔn)是創(chuàng)造性。對(duì)于有創(chuàng)造性的報(bào)告, 要給以高分作為鼓勵(lì)。教師批改了實(shí)驗(yàn)報(bào)告之后, 要在下一次實(shí)驗(yàn)開始時(shí), 對(duì)以前的實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)進(jìn)行評(píng)講, 包括讓學(xué)生參加討論和演示。

由于學(xué)生實(shí)驗(yàn)的主要工具是計(jì)算機(jī)。教師的教學(xué)手段應(yīng)盡量采用多媒體教學(xué)。課堂基本內(nèi)容可用計(jì)算機(jī)幻燈片(powerpoint)顯示, 而且在課堂上演示用計(jì)算機(jī)軟件作出來(lái)的部分實(shí)驗(yàn)的結(jié)果(包括圖形和計(jì)算結(jié)果等), 使課堂更生動(dòng), 教師的講解更貼近學(xué)生的實(shí)驗(yàn)過(guò)程。對(duì)實(shí)驗(yàn)報(bào)告評(píng)講時(shí)應(yīng)盡量鼓勵(lì)學(xué)生介紹和演示自己的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

[1]溫倩,胡家朋.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的研究[J] .中國(guó)西部科技,2009.3

[2]程濤.淺析將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性[J] .高校理科研究.

[3]盧誠(chéng)波.關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的研究[J] .麗水學(xué)院學(xué)報(bào),2008.4

作者簡(jiǎn)介:邢進(jìn)喜,男,畢業(yè)于牡丹江師范學(xué)院數(shù)學(xué)教育專業(yè),現(xiàn)工作于黑龍江農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)職業(yè)學(xué)院,副教授。