基于Kalman 濾波的ECT 圖像重建算法*

李 佳，張立峰，田 沛

(華北電力大學 自動化系，河北 保定071003)

0 引 言

兩相流或多相流廣泛存在于化工、石油、電力等行業(yè)，精確檢測出兩相流或多相流的各相分布信息對生產過程的安全、經濟、高效地運行具有重要意義。

電容層析成像(electrical capacitance tomography，ECT)技術基于電磁場敏感機理，利用重建算法實現(xiàn)對管道內部介質分布的二維或三維成像，在兩相流或多相流的測量領域有一定應用［1～3］。使用ECT 技術在現(xiàn)場進行測量時，測量數(shù)據往往會攜帶噪聲，降低了成像精度。本文對Kalman濾波的去噪效果進行研究，對三種流型在不同程度噪聲下進行仿真，同時進行靜態(tài)實驗。

1 ECT 測量原理

ECT 利用管內不同相介質通常具有不同的介電常數(shù)，通過陣列電極的電容變化，反映管內相分布的變化，使用重建算法構造管道中的相分布圖像。ECT 系統(tǒng)如圖1 所示，主要由三部分構成:陣列電容傳感器、數(shù)據采集系統(tǒng)和成像計算機。

圖1 12 電極ECT 系統(tǒng)結構圖Fig 1 Structure chart of 12 electrodes-ECT system

ECT 系統(tǒng)通過均勻安裝在絕緣管壁外的陣列電容傳感器獲得管內的物場信息，數(shù)據采集系統(tǒng)接收傳感器的測量數(shù)據并傳遞給計算機，通過重建算法進行圖像重建和顯示。

由于ECT 為靜電場模型，場域中不存在自由電荷，可以用麥克斯韋方程來表示［4］

式中 ε(x，y)為被測截面介電常數(shù)分布，E(x，y)為電場強度分布。將式(1)簡化，并進行線性化可得到離散模型

式中 λ 為歸一化后的電容值向量;G 為圖像灰度值矩陣;S 為靈敏度矩陣;M 為獨立測量數(shù);N 為場域內剖分網格單元數(shù)。

2 基于Kalman 濾波的ECT 圖像重建

Kalman 濾波是一種最優(yōu)估計方法，以最小均方誤差為估計準則，建立信號與噪聲的狀態(tài)空間模型，通過前一時刻的狀態(tài)預測值和當前時刻的測量值來實現(xiàn)對當前時刻狀態(tài)值的估計。為將Kalman 濾波應用到ECT 中，需要建立ECT 的狀態(tài)空間模型。假設在測量電容值期間管內相分布不發(fā)生變化，即在圖像重建過程中不考慮系統(tǒng)噪聲，前一時刻的圖像灰度等于當前時刻的圖像灰度，則ECT 的狀態(tài)方程為

式中 gk為k 時刻圖像灰度，gk－1為k－1 時刻圖像灰度。

由式(2)中圖像灰度與電容值的關系建立測量方程為

式中 zk為k 時刻的歸一化電容，S 為靈敏度矩陣，vk為k時刻的測量噪聲，且噪聲的協(xié)方差陣在實驗中通常保持不變Rk=R，則ECT 系統(tǒng)的Kalman 濾波方程為［5～7］

基于Kalman 濾波的ECT 圖像重建有兩個過程:預測和校正。預測過程估計當前圖像灰度值和誤差方差矩陣，作為下一時刻的先驗估計信息;校正過程在先驗估計的基礎上，結合當前時刻電容值對先驗估計值進行校正，得到最優(yōu)圖像灰度估計值，工作原理見圖2。

圖2 基于Kalman 濾波的ECT 圖像重建原理圖Fig 2 ECT image reconstruction principle diagram based on Kalman filtering

3 仿真與實驗結果

3.1 仿真結果

仿真環(huán)境:酷睿i5 1.7 GHz CPU，4 G 內存筆記本電腦。采用有限元方法求解ECT 正問題，并分別使用Kalman 濾波和Landweber 迭代進行圖像重建，在Matlab 中編寫軟件包實現(xiàn)這些功能。采用的ECT 系統(tǒng)為12 電極，獨立測量數(shù)66 個，管內剖分有限元網格768 個。

本文實驗中得到的測量噪聲協(xié)方差矩陣為R(方差數(shù)量級為－5)。為觀察去噪效果，選取三種流型，分別向歸一化電容值中加入均值為0，協(xié)方差矩陣為R，10R，100R的隨機噪聲，采用Kalman 濾波和Landweber 迭代進行圖像重建。Kalman 濾波的灰度初始值取0，誤差協(xié)方差矩陣初值取5×10kI66×66，其中，k 取對應噪聲協(xié)方差矩陣數(shù)量級高2 個數(shù)量級，取迭代10 次時重建圖像。Landweber 迭代灰度初始值取線性反投影(LBP)結果，迭代因子取1.5，取迭代100 次時重建圖像，重建結果如圖3 ～圖5 所示。為定量比較重建圖像的質量，采用圖像相對誤差(RE)作為評價參數(shù)［8］，且將計算得到的圖像相對誤差一并標注在圖中。

圖3 測量噪聲協(xié)方差矩陣為R 時重建圖像Fig 3 Image reconstruction when the measurement noise covariance matrix is R

圖4 測量噪聲協(xié)方差矩陣為10R 時重建圖像Fig 4 Reconstructed images when measurement noise covariance matrix is 10R

圖5 測量噪聲協(xié)方差矩陣為100R 時重建圖像Fig 5 Reconstructed image when measurement noise covariance matrix is 100R

由圖3 ～圖5 可看出:在歸一化電容值中添加噪聲后，三種流型均為Kalman 濾波成像效果更好，相對應的圖像相對誤差更小。尤其當噪聲協(xié)方差矩陣增加到100R 后，Landweber迭代算法重建結果中流型1 和流型3 出現(xiàn)嚴重失真，而Kalman 濾波仍可以重建出與原型較為接近的圖像。

3.2 靜態(tài)實驗

靜態(tài)實驗采用天津大學研制的基于FPGA 的雙模態(tài)(電容/電阻)成像系統(tǒng)，相關指標見文獻［9］。Kalman 濾波初始灰度值取0，誤差方差矩陣初值取5×10－3I66×66，取迭代10 次時重建圖像，Landweber 算法初始灰度值取LBP結果，迭代因子取1.5，取迭代100 次時重建圖像，如圖6 所示。

圖6 靜態(tài)實驗結果Fig 6 Results of static experiment

第一種分布，一根有機玻璃棒靠近管壁，Landweber 算法成像偽影較大，Kalman濾波的重建圖像邊界清晰，圓度較好，大小更接近玻璃棒原型;第二種分布，兩根有機玻璃棒都位于管壁與中心之間，Landweber 算法不能明顯區(qū)分兩棒，Kalman 濾波成像輪廓清晰，兩棒之間有明顯分割。

4 結 論

本文采用Kalman 濾波對ECT 進行圖像重建，研究了Kalman 濾波算法的去噪效果。仿真與靜態(tài)實驗表明:與Landweber 算法相比，Kalman 濾波算法能夠有效地降低噪聲對測量值的影響，當噪聲較小時，重建圖像質量更高，相對誤差更小;當噪聲較大時，Kalman 濾波仍可以重建出與原型相近的圖像，失真更小。

［1］ 郝魁紅，范文茹，馬 敏，等.平面式電容傳感器陣列測量復合材料技術研究［J］.傳感器與微系統(tǒng)，2014，33(2):35－38.

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［3］ 姜 凡，劉 靖，劉 石，等.電容層析成像技術應用于冰水兩相測試研究［J］.中國電機工程學報，2010，30(5):49－53.

［4］ 王化祥.電學層析成像［M］.北京:科學出版社，2013.

［5］ Vauhkonen M，Karjalainen P A.A Kalman filter approach to track fast impedance changes in electrical impedance tomography［J］.IEEE Transactions on Bio-medical Engineering，1998，45(4):486－493.

［6］ Kim K Y，Kim B S，Kim M C，et al.Image reconstruction in time-varying electrical impedance tomography based on the extended Kalman filter［J］.Measurement Science＆Technology，2001，12(8):1032－1039.

［7］ 裴 珂，彭黎輝，張寶芬.基于Kalman 濾波的電容成像圖像重建算法［J］.清華大學學報:自然科學版，2005，45(10):1332－1334，1351.

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［9］ Zhang L F，Wang H X.Identification of oil-gas two-phase flow pattern based on SVM and electrical capacitance tomography technique［J］.Flow Measurement ＆ Instrumentation，2010，21(1):20－24.