2014年高考線性規(guī)劃“亮題”

綜觀近幾年線性規(guī)劃的命題，最初單純考查可行域的畫法、目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，經(jīng)過幾年的演變，現(xiàn)在更關(guān)注線性規(guī)劃與其它知識模塊之間的綜合.題型越來越活潑開放，從單一的、靜態(tài)的線性規(guī)劃發(fā)展到較為全面的、動態(tài)的線性規(guī)劃.本文例舉幾道2014年高考線性規(guī)劃“亮題”與諸位共同欣賞.

1 線性規(guī)劃與函數(shù)交匯

例1 （2014年山東理）已知x，y滿足約束條件x-y-1≤0，

2x-y-3≥0，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）在該約束條件下取到最小值25時，a2+b2的最小值為（ ）.

A.5 B.4 C.5 D.2

答案 B.

解析 畫出可行域（如圖1），由于a>0，b>0，所以z=ax+by經(jīng)過直線2x-y-3=0與直線x-y-1=0的交點A（2，1）時，z取最小值25.將A（2，1）代入目標(biāo)函數(shù)，得2a+b=25，以下用兩種方法求a2+b2的最小值：

圖1

方法1 （轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值）：a2+b2=a2+（25-2a）2=5a2-85a+20（0<a<5），當(dāng)a=455時，a2+b2的最小值是4.

方法2 （利用幾何意義）轉(zhuǎn)化為求直線2a+b=25上的點到原點距離平方的最小值，即原點到直線2a+b=25的距離的平方，利用點到直線的距離公式即得.

考點 將簡單的線性規(guī)劃與非線性目標(biāo)函數(shù)的最值相結(jié)合，考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，點到直線距離的幾何意義.對于解決非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的關(guān)鍵在于深挖目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求出最值.

拓展探究 若實數(shù)x，y 滿足不等式組

y≤x-1，

x≤3，x+5y≥4，則x2y 的最小值是（ ）.

2 線性規(guī)劃與全稱、存在量詞結(jié)合

例2 （2014年全國課標(biāo)1）不等式組

x+y≥1，

x-2y≤4的解集記為D.有下面四個命題：

p1：（x，y）∈D，x+2y≥-2，

p2：（x，y）∈D，x+2y≥2，

p3：（x，y）∈D，x+2y≤3，

p4：（x，y）∈D，x+2y≤-1.

其中真命題是（ ）.

A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3

答案 C.

圖2

解析 畫出可行域（如圖2），將四個命題依次代入檢驗，對于命題p1，可行域內(nèi)的點恒在直線x+2y=-2的上方，即對所有可行域內(nèi)的點都滿足不等式x+2y≥-2（圖3）;

圖3 圖4

同理對命題p2，可行域內(nèi)存在點在直線x+2y=2的上方，即（x，y）∈D，x+2y≥2（圖4）.

其他兩個命題經(jīng)檢驗不合適.

考點 考查不等式（組）表示的平面區(qū)域，全稱、存在量詞的含義.

3 線性規(guī)劃與“不等式恒成立”問題融合

例3 （2014年浙江）當(dāng)實數(shù)x，y滿足

x+2y-4≤0，

x-y-1≤0，

x≥1，時，1≤ax+y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 .

答案 1，32.

解析 畫出可行域，欲使不等式組1≤ax+y≤4恒成立，即使可行域內(nèi)的點恒在兩條平行線之間，兩條平行線斜率為-a，分別恒過（0，1），（0，4）點，如圖5、圖6可得a的取值范圍.

圖5

圖6

考點 本題將線性規(guī)劃與不等式恒成立問題相結(jié)合，本質(zhì)是動態(tài)可行域問題，所謂動態(tài)的可行域，即在約束條件中含有使可行域發(fā)生變化的參數(shù).對于動態(tài)的可行域問題，要注意切入的角度、方向，抓住一些不變的量，變動為靜，向熟悉的、已有的知識轉(zhuǎn)化，從而化解問題.本題兩條平行線斜率含有參變量a，不變的量是兩條平行線所過的定點，切入點是直線所過的定點.

拓展探究 （2014年湖南）若變量x，y滿足約束條件y≤x，

x+y≤4，

y≥k，且z=2x+y的最小值為-6，則k= .

4 線性規(guī)劃與概率融匯

例4 （2014年湖北）由不等式

x≤0，

y≥0，

y-x-2≤0，確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式x+y≤1，

x+y≥-2，確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為（ ）.

A.18 B.14 C.34 D.78

答案 D.

圖7

解析 依題意，不等式組表示的平面區(qū)域（如圖7），

由幾何公式知，該點落在Ω2內(nèi)的概率為P=

12×2×2-12×1×1212×2×2=78，選D.

考點 本題考查不等式組表示的平面區(qū)域，面積型的幾何概型，屬于中檔題.

拓展探究 （2014年重慶）某校早上8：00上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30—7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時間到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為.（用數(shù)字答）

2014年線性規(guī)劃高考題多以客觀題形式考查，小巧玲瓏，韻味十足.綜合課標(biāo)卷，各省市自主命題卷，都在創(chuàng)新上不遺余力，在能力立意的基礎(chǔ)上，大膽的深化，為題目的命制提供新穎的背景，巧妙的條件，深度的設(shè)問.因此對于線性規(guī)劃的高考復(fù)習(xí)要拓寬思路，改變程序化，特別注重線性規(guī)劃與其他知識模塊之間的綜合.在牢固掌握基礎(chǔ)知識和基本思想方法的同時，注重橫向聯(lián)系，善于挖掘其中的幾何背景，抓住問題的實質(zhì)，并通過一定的訓(xùn)練，切實提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

作者簡介 劉亮，女，1979年生，山東濟南人，一級教師.榮獲全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課二等獎，山東省中學(xué)數(shù)學(xué)教師創(chuàng)新課堂一等獎，山東省中學(xué)數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課一等獎.多篇論文分別獲得教育部全國高中數(shù)學(xué)課程論文比賽二等獎，山東省教育科研成果評選一等獎.發(fā)表多篇文章.