橢圓共軛直徑的三個(gè)新命題

近年來，解析幾何中關(guān)于橢圓共軛直徑的問題成為高考和數(shù)學(xué)競賽的熱點(diǎn)內(nèi)容.筆者對這類問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，概括得到用途廣泛的三個(gè)新命題，現(xiàn)整理成文與大家交流.

為了方便大家學(xué)習(xí)研究，我們先來介紹橢圓共軛直徑相關(guān)的定義.

定義1 連接橢圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

定義2 經(jīng)過橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑.

定義3 平行于橢圓一條直徑的弦的中點(diǎn)的軌跡和該直徑叫做橢圓的一對共軛直徑.

性質(zhì) 已知AB，CD是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一對共軛直徑，設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），則x1x2a2+y1y2b2=0.

圖1

證明 如圖1，設(shè)EF是與直徑AB平行的任意一條弦，它與直徑CD相交于P（x0，y0）點(diǎn)，則點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn).

設(shè)E（x3，y3），F(xiàn)（x4，y4），則x23a2+y23b2=1， ①

x24a2+y24b2=1. ②

由①-②得

x23-x24a2=-y23-y24b2.

當(dāng)x23-x24≠0時(shí)，y23-y24x23-x24=-b2a2.

直線EF與直線CD的斜率之積為kEF·kCD=y3-y4x3-x4·y0x0=y3-y4x3-x4·y3+y4x3+x4=y23-y24x23-x24=-b2a2.

即kAB·kCD=-b2a2，y1y2x1x2=-b2a2.

所以x1x2a2+y1y2b2=0.

當(dāng)x23-x24=0時(shí)，即x3=x4或x3=-x4.

當(dāng)x3=x4時(shí)，共軛直徑AB，CD分別成為橢圓的短軸和長軸;當(dāng)x3=-x4時(shí)，共軛直徑AB，CD分別成為橢圓的長軸和短軸.顯然有x1x2a2+y1y2b2=0.所以總有x1x2a2+y1y2b2=0.

從上面的證明可以看到，當(dāng)一對共軛直徑所在直線的斜率都存在時(shí)，它們的斜率之積為-b2a2;當(dāng)一直徑所在直線斜率為0，另一直徑所在直線斜率不存在.這樣我們可以把橢圓的共軛直徑定義為：

定義4 （1）若橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩條直徑的斜率之積為-b2a2，則稱它們是橢圓的一對共軛直徑.（2）當(dāng)一直徑所在直線斜率為0，另一直徑所在直線斜率不存在，即橢圓的長軸和短軸，也把它們稱為一對共軛直徑.

反之，若AB，CD是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的直徑，且x1x2a2+y1y2b2=0，可以證明AB，CD是橢圓的一對共軛直徑.這樣我們還可以把橢圓的共軛直徑定義為：

定義5 若AB，CD是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的直徑，設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），且x1x2a2+y1y2b2=0，則稱AB，CD是橢圓的一對共軛直徑.

由于現(xiàn)行的中學(xué)課本中沒有橢圓共軛直徑的定義，高考和競賽的試題中往往通過直線的斜率之積或者坐標(biāo)來反映.

命題1 A，B，M是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的三點(diǎn).若OM=λOA+μOB，且A，B是一對共軛直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則λ2+μ2=1.

證明 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由OM=λOA+μOB，得到M（λx1+μx2，λy1+μy2）.

因?yàn)镸在橢圓x2a2+y2b2=1上，所以（λx1+μx2）2a2+（λy1+μy2）2b2=1，即λ2（x21a2+y21b2）+μ2（x22a2+y22b2）+2λμ（x1x2a2+y1y2b2）=1.因?yàn)锳，B在橢圓x2a2+y2b2=1上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1.所以λ2+μ2+2λμ（x1x2a2+y1y2b2）=1.由共軛直徑的性質(zhì)知x1x2a2+y1y2b2=0，所以λ2+μ2=1.

命題2 A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一對共軛直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，若ON=pOA+qOB（p，q是非零常數(shù)），則動點(diǎn)N的軌跡方程是x2a2+y2b2=p2+q2.

證明 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由共軛直徑的性質(zhì)知x1x2a2+y1y2b2=0.因?yàn)锳，B在橢圓x2a2+y2b2=1上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1.由ON=pOA+qOB得N（px1+qx2，py1+qy2）.所以（px1+qx2）2a2+（py1+qy2）2b2=p2（x21a2+y21b2）+q2（x22a2+y22b2）+2pq（x1x2a2+y1y2b2）=p2+q2.所以動點(diǎn)N的軌跡方程是x2a2+y2b2=p2+q2.

命題3 A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一對共軛直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則

（1）x21+x22=a2;

（2）y21+y22=b2;

（3）x1y1+x2y2=0;

（4）x1y2-x2y1=ab;

（5）OA2+OB2=a2+b2;

（6）△AOB的面積S△AOB=12ab.

圖2

證明 如圖2，（1）由共軛直徑的性質(zhì)知x1x2a2+y1y2b2=0，即a2y1y2=-b2x1x2.

因?yàn)辄c(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓C上，

所以b2x21+a2y21=a2b2， ①

b2x22+a2y22=a2b2， ②

即b2x21-a2b2=-a2y21， ③

b2x22-a2b2=-a2y22. ④

由③×④得b4（x21-a2）（x22-a2）=a4y21y22=b4x21x22，所以x21+x22=a2.

（2）由①+②得b2（x21+x22）+a2（y21+y22）=2a2b2，所以y21+y22=b2.

（3）因?yàn)椋▁1y1+x2y2）2=x21y21+x22y22+2x1x2y1y2=b2x21（1-x21a2）+b2x22（1-x22a2）-2b2a2x21x22

=b2（x21+x22）-b2a2（x21+x22）2=a2b2-b2a2a4=0，所以x1y1+x2y2=0.

（4）因?yàn)椋▁1y2-x2y1）2+（x1y1+x2y2）2=（x21+x22）·（y21+y22），所以（x1y2-x2y1）2=a2b2，x1y2-x2y1=ab.

（5）OA2+OB2=x21+y21+x22+y22=

（x21+x22）+（y21+y22）=a2+b2.

（6）S△AOB=12x21+y21x22+y22sin∠AOB

=12x21+y21·x22+y22·1-cos2∠AOB

=12x21+y21·x22+y22·1-（x1x2+y1y2）2（x21+y21）（x22+y22）

=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12（x1y2-x2y1）2

=12x1y2-x2y1=12ab.

本文得到的三個(gè)命題是橢圓中的基本的命題，用途十分廣泛，下舉例說明.

圖3

例1 如圖3，若AB、CD是過橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中心的兩條直線，且直線AB與CD的斜率的積kAB·kCD=-b2a2，點(diǎn)E是橢圓上異于A、C的任意一點(diǎn)，AE交直線CD于K，CE交直線AB于L，求證：EKAK2+ELCL2為定值.

證明 如圖3，過點(diǎn)E作EM∥AB交直線CD于點(diǎn)M，作EN∥CD交直線AB于點(diǎn)N，設(shè)ON=λOB，OM=μOD，則OE=ON+OM=λOB+μOD.設(shè)點(diǎn)B，D的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）.因?yàn)閗AB·kCD=-b2a2即kOB·kOD=-b2a2，故y1x1·y2x2=-b2a2，

所以x1x2a2+y1y2b2=0.

由命題1可知λ2+μ2=1.又因?yàn)镋KAK=EMOA=ONOB=|λ|，ELCL=ENOC=OMOD=|μ|，所以EKAK2+ELCL2=|λ|2+|μ|2=1.

例2 如圖4，已知橢圓C的方程為x24+y2=1，A，B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的矩形的兩個(gè)頂點(diǎn).若M，N是橢圓上兩個(gè)動點(diǎn)，且直線OM，ON的斜率之積等于直線OA，OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由.

解 因?yàn)橹本€OM，ON的斜率之積kOM·kON=-b2a2=-14，所以由命題3得△OMN的面積為定值S△MON=12ab=12×2×1=1.

圖4 圖5

例3 如圖5，已知A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一對共軛直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.設(shè)OP=tOE，求實(shí)數(shù)t的值.

解 設(shè)OP=λOA+μOB，由命題1知λ2+μ2=1.因?yàn)镋為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E=12OA+12OB.又因?yàn)镺P=tOE，所以O(shè)P=t2OA+t2OB.因?yàn)镺A，OB是不共線的向量，所以λ=t2，μ=t2.所以t24+t24=1，t2=2.因?yàn)閠>0，所以t=2.

高考中的許多解析幾何試題的背景是圓錐曲線的性質(zhì)，對這些性質(zhì)采用特殊化的手段可以命制鮮活的高考題.由于以橢圓共軛直徑為背景的試題往往與圖形的本質(zhì)特性和運(yùn)動不變性有關(guān)，涉及定值、軌跡等問題，因此這類問題成為解析幾何中熱點(diǎn)問題，希望大家復(fù)習(xí)中要引起足夠的重視.深入研究圓錐曲線的性質(zhì)，充分揭示這類試題的背景，我們仿佛漫步于一個(gè)絢爛多姿的花園，被它美妙的形式，和諧的內(nèi)容，深刻的結(jié)果，奇妙的聯(lián)系所深深吸引，流連忘返.

作者簡介 張乃貴，男，1966年生，江蘇興化人，江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育、初等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)競賽研究，在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等雜志發(fā)表論文300多篇.