數(shù)學(xué)公式的教學(xué)應(yīng)關(guān)注公式的來龍去脈（三）

筆者在文[1]和文[2]中提出“數(shù)學(xué)公式的教學(xué)應(yīng)關(guān)注公式的來龍去脈”這一觀點(diǎn).具體而言，文[1]以“扇形面積公式”的教學(xué)為例，指出在公式教學(xué)中，推導(dǎo)公式、明確公式的意義以及公式的應(yīng)用上要下功夫;文[2]以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的教學(xué)為例，提出公式的推導(dǎo)要順、公式的幾何意義要明確、公式的應(yīng)用要關(guān)注數(shù)學(xué)思想.本文就“公式的推導(dǎo)要順”（或者更廣泛地講，是“數(shù)學(xué)教學(xué)要講順”）做進(jìn)一步的敘述.

鄭毓信教授多次提到要把數(shù)學(xué)課“講活”“講懂”和“講深”.所謂“講活”，是指教師應(yīng)通過自己的教學(xué)活動向?qū)W生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學(xué)研究工作，而不是死的數(shù)學(xué)知識;所謂“講懂”，則是教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生真正理解有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗，死記硬背;所謂“講深”，是指教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅應(yīng)使學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識，而且也能很好地領(lǐng)會與把握內(nèi)在的思想方法[3].

在筆者看來，數(shù)學(xué)教學(xué)要講活、講懂和講深，前提是講順.講順了，各個知識點(diǎn)才可以活起來，展現(xiàn)出知識的發(fā)生發(fā)展過程;講順了，學(xué)生才聽的懂，記的住，而且理解了;講順了，可以掌握其思想方法，并順著知識點(diǎn)將其拓展、延伸和深入.那么，什么是講順？講順的數(shù)學(xué)課應(yīng)該是有邏輯（講因果、有條理、成系統(tǒng)），連貫的（知識點(diǎn)與知識點(diǎn)之間連貫而不跳躍），也就是講清楚來龍去脈.

下文，我們以對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)為例，進(jìn)行分析說明.

人民教育出版社《數(shù)學(xué)（必修1）》是這樣處理的：首先利用指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到logaMN=logaM+logaN，書中寫出了完整的推導(dǎo)（證明）過程.然后，要求學(xué)生仿照這一過程，得出logaMN=logaM-logaN和logaMn=nlogaM（n∈R）.

對于教科書的這一處理，我們作如下簡單的分析和評價.

順序：教科書主要呈現(xiàn)了三個作為知識結(jié)果的公式.三個公式按照加、減、乘、除、乘方的順序，依次呈現(xiàn).

聯(lián)系：三者是并列關(guān)系，而不是“衍生”關(guān)系.公式之間是孤立的，而不是一個“渾然一體”的整體.公式之間的聯(lián)系在于它們的推導(dǎo)方法.即利用第一個公式的推導(dǎo)方法，簡單遷移，得到另兩個公式.

優(yōu)點(diǎn)：簡潔明了，且第三個公式有很大的包容性，不需要將n為單位分?jǐn)?shù)和-1時的情況分別羅列，學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)不重.

不足：

（1）書本上的“仿照”要求，限制了學(xué)生的思維.事實(shí)上還有其他推導(dǎo)方法，不應(yīng)“關(guān)門”而應(yīng)幫助學(xué)生打開思路.

（2）按書本的要求去做，另外兩個公式的推導(dǎo)，只是機(jī)械的模仿、低水平的重復(fù).學(xué)生的思維沒有任何提高.

（3）學(xué)生容易獲得三個公式，但是否明白：公式間的深層聯(lián)系在哪里？是不是一個整體？如果學(xué)生對這些問題有清晰的理解，那么，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，他們不僅有知識容量的增加，還有思維水平的提高.

（4）這樣的設(shè)計(jì)，以及依此而行的教學(xué)，是重“證明”還是重視公式的“應(yīng)用”？答案是很顯然的，“重用輕理”的教學(xué)使公式本身所蘊(yùn)含的思維價值被大大抹殺.

針對以上的問題，該如何來處理和改進(jìn)呢？

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)呈現(xiàn)知識發(fā)生發(fā)展的順序，自然而然，有邏輯、連貫地展開.教科書這樣設(shè)計(jì)，制約了我們的教學(xué);我們要做的是，從“教教科書”到“用教科書教”，經(jīng)歷“教學(xué)重建”.“教學(xué)重建”的突破點(diǎn)在哪里？突破點(diǎn)就在公式之間的深層聯(lián)系！——這是本課教學(xué)設(shè)計(jì)的線索.

基于上述認(rèn)識，我們對此進(jìn)行如下的教學(xué)設(shè)計(jì).

先按教科書上的方法得到第一個公式，然后根據(jù)幾個公式之間的聯(lián)系依次推出.

①logaMN=logaM+logaN

→②logaMn=logaMM…M=logaM+logaM+…+logaM=nlogaM

→③當(dāng)n=-1時，loga1M=logaM-1=-logaM

→由①和③得，④logaMN=logaM·1N=logaM+loga1N=logaM-logaN

→當(dāng)②中的n取1n時，⑤loganM=logaM1n=1nlogaM.

圖1

可由圖1來表示這些公式間的關(guān)系：

這樣的處理就非常地“順”.更進(jìn)一步，我們可以做如下分析：

（1）由“打包”到“串線”，并形成知識網(wǎng)絡(luò).

原有的教科書，僅僅是簡單地羅列幾個公式;或者說，僅是將幾個公式打包后呈現(xiàn)給學(xué)生，幾個公式之間是孤立的.而我們的設(shè)計(jì)，則通過“線索”——公式之間的深層聯(lián)系，將它們緊密地串在了一起，而學(xué)生對它們的理解和記憶是深刻的，形成了良好的知識結(jié)構(gòu)（認(rèn)知結(jié)構(gòu)），這也會影響到其后對這些公式的提取和應(yīng)用.

鄭毓信教授認(rèn)為，對于所謂的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識”我們就不能理解成各個孤立的知識點(diǎn)，恰恰相反，以下即應(yīng)被看成相關(guān)的數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)活動的關(guān)鍵所在：“不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)”;類似地，為了幫助學(xué)生很好地掌握“數(shù)學(xué)基本技能”，我們也“不應(yīng)求全，而應(yīng)求變”，從而就能在各種變化了的情況下很好地加以辨識和應(yīng)用[4].

這里的五個公式，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，是個聯(lián)系的整體，而不是一個個孤立的、割裂開的個體.公式的證明方法，是數(shù)學(xué)基本技能，不應(yīng)單純模仿，而應(yīng)靈活地運(yùn)用.借助已知的方法和結(jié)論，去簡便地獲得新的結(jié)果.有效地掌握了公式及其證明，由于有了“聯(lián)”與“變”的基礎(chǔ)，其后靈活的應(yīng)用也會順理成章地展開.（對于此，我們也可以類似地提出，對于數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的教學(xué)，“不應(yīng)求全，而應(yīng)求通”.）

（2）從“教教科書”到“用教科書教”，教師進(jìn)行教學(xué)深加工.

教師要正確處理好教科書和教學(xué)的關(guān)系，做到“用教科書教，而不是教教科書”.或者說，教師不是教科書的執(zhí)行者，而是教學(xué)方案（課程）的開發(fā)者.教師教教科書，不需要太多的創(chuàng)造，只要按照教科書和教學(xué)參考書的方法和步驟，按序進(jìn)行，就可以順利地完成教學(xué)任務(wù).但是，教師的工作絕對不是機(jī)械的，不是單純模仿和重復(fù)他人的工作，教師應(yīng)利用自己的知識和經(jīng)驗(yàn)，去創(chuàng)造具有個性色彩，更合適、更有效的教學(xué).

教科書提供的是“藍(lán)本”，而不是“劇本”;教科書不是權(quán)威，它只是教師在教學(xué)過程中被加工和重新創(chuàng)造的對象，是教師在教學(xué)活動中需要加以利用的課程資源.教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的情況對教科書進(jìn)行選擇、組織和排序等方式的“再度開發(fā)”，對課程內(nèi)容進(jìn)行“校本化”、“生本化”的處理，并適當(dāng)引入一些與生活聯(lián)系緊密的實(shí)例，使課堂內(nèi)容更貼近學(xué)生的生活和經(jīng)驗(yàn)，特別要精心設(shè)計(jì)“知識與能力”的教學(xué)過程和方法，保證課堂教學(xué)中能“突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)”，并從人力、物力、時間、方法與過程上保證重點(diǎn)內(nèi)容的教學(xué)與難點(diǎn)的突破.

在教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注那些對學(xué)生終身發(fā)展起著“基礎(chǔ)”和“核心”作用的知識技能，創(chuàng)造性地使用教科書是教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式綜合優(yōu)化的過程，是課程標(biāo)準(zhǔn)、教科書內(nèi)容與學(xué)生生活實(shí)際相聯(lián)系的結(jié)晶，是教師智慧與學(xué)生創(chuàng)造力的有效融合.張奠宙教授認(rèn)為：一個數(shù)學(xué)教師的職責(zé)，是把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易接受的教育形態(tài).那么，究意該如何創(chuàng)造性地使用教科書呢？可以從學(xué)的層面對教科書進(jìn)行“學(xué)習(xí)化”的加工，對教科書從內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、順序、呈現(xiàn)方式、教學(xué)方法等多個角度做出理性重構(gòu)，力圖使學(xué)生手中的數(shù)學(xué)教科書成為一本能有效激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能、引導(dǎo)學(xué)生自主探索的“學(xué)習(xí)資源”.

筆者在文[5]、文[6]中提出數(shù)學(xué)教學(xué)“要在教材的深加工上下工夫”.具體而言，數(shù)學(xué)是中學(xué)課程中最富有系統(tǒng)性和內(nèi)部聯(lián)系的學(xué)科，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系以及運(yùn)動與變化.考慮到教材的編寫是線性的、封閉的體系，而真正的教學(xué)是生動的、靈活的，這就需要教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，深入挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系，對教材進(jìn)行處理，設(shè)計(jì)出一個既以教材內(nèi)容為基礎(chǔ)的，又不同于教材編排順序的教學(xué)過程，使之成為非線性的、開放的教學(xué).

（3）優(yōu)化學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)，促進(jìn)知識的深入理解.

對于上文（1）中提及的知識網(wǎng)絡(luò)，我們還可以進(jìn)一步從CPFS結(jié)構(gòu)理論進(jìn)行分析.

喻平教授將概念域、概念系、命題域、命題系形成的結(jié)構(gòu)稱作CPFS結(jié)構(gòu).CPFS是一種優(yōu)良的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平的提升和遠(yuǎn)遷移的產(chǎn)生[7].吳慶麟認(rèn)為數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)是學(xué)習(xí)者在頭腦中建立了關(guān)于這個知識的圖式，即形成了該知識的內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)[8].學(xué)生理解水平的高低是由該內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)中知識點(diǎn)之間聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來確定的.優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，事實(shí)上，學(xué)生頭腦中的CPFS結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化、完善的過程就是學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平層次不斷提升的過程.因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)時，教師可通過優(yōu)化學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)來促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深入理解.

學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識與經(jīng)驗(yàn)在頭腦中的穩(wěn)固程度直接影響到遷移的發(fā)生.學(xué)生必須對所學(xué)知識做到深入的理解與內(nèi)化，才有可能在遇到新的問題情境時快速準(zhǔn)確地辨認(rèn)出“相同要素”和“共同原理”.換言之，學(xué)生若擁有完善的CPFS結(jié)構(gòu)，更容易實(shí)現(xiàn)應(yīng)用過去的知識經(jīng)驗(yàn)來解決當(dāng)前問題的遷移[9].因此，教師在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)有意識地去完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)：一方面需要豐富學(xué)生頭腦中儲存的陳述性知識與程序性知識，另一方面需要明晰這些知識點(diǎn)之間的聯(lián)系以及在長時記憶中的定位，完善知識網(wǎng)絡(luò).

本文中的五個公式，通過相互之間的關(guān)系推導(dǎo)出來，明晰了各個公式之間的聯(lián)系，這些公式構(gòu)成了如圖1的命題網(wǎng)絡(luò)，該命題網(wǎng)絡(luò)均與對數(shù)的運(yùn)算有關(guān)，學(xué)生如果能對該命題網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行內(nèi)化，完善關(guān)于對數(shù)運(yùn)算的命題系，那么以后在解決與對數(shù)運(yùn)算有關(guān)的命題時就能迅速激活長時記憶中的相關(guān)知識點(diǎn)，有效調(diào)用適當(dāng)?shù)哪Ｊ絹斫鉀Q問題.

參考文獻(xiàn)

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