單幅干涉條紋圖相位提取新算法

郭 媛，陳小天，毛 琦，趙麗娜

(齊齊哈爾大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，黑龍江齊齊哈爾161006)

1 引言

電子散斑干涉測(cè)量技術(shù)具有非接觸、全場(chǎng)測(cè)量、精度高和隔震要求低的特點(diǎn)［1－3］，已成為動(dòng)態(tài)和靜態(tài)物體變形測(cè)量的一種重要方法。散斑測(cè)量得到干涉條紋圖，需要從變形的條紋圖中提取相位信息，從而獲得所測(cè)的物理量。應(yīng)用于相位解調(diào)的方法主要有相移法［4－5］和傅里葉變換法［6－7］。相移法不僅過(guò)程復(fù)雜，而且得到的是包裹相位，需要進(jìn)行解包裹運(yùn)算。傅里葉變換法雖然簡(jiǎn)單，但得到的也是包裹相位，同樣需要再進(jìn)行相位解包裹［6－7］。

相移法中常用的相位解包裹有路徑跟蹤法、最優(yōu)估計(jì)法和最小范數(shù)法［8－10］。其中用到最多的是最小范數(shù)法中的最小二乘相位解包裹方法。最小二乘相位解包裹方法的原理是得到一個(gè)泊松方程，通過(guò)求解泊松方程就可以得到相移法所求的相位［11－12］。本文融合最小二乘相位解包裹得到泊松方程求解相位的方法和從單幅干涉條紋圖中恢復(fù)相位的方法，提出新的單幅干涉條紋圖恢復(fù)相位的新方法。通過(guò)對(duì)單幅干涉條紋圖進(jìn)行兩次希爾伯特變換提取干涉條紋圖中的余弦分量和正弦分量，由正弦分量和余弦分量求取相位的正切值，即相位的梯度［13］。從相位梯度得到泊松方程，從而變成了求解泊松方程。這種方法不僅能夠從單幅干涉條紋圖中恢復(fù)真實(shí)相位，并且由希爾伯特變換可以濾除干涉條紋圖中的直流分量的噪聲，達(dá)到濾波的效果，而且減小了相移法的復(fù)雜性。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性和正確性。

2 單幅干涉條紋圖提取相位基本理論

2．1 希爾伯特變換

希爾伯特變換Hilbert transform(HT)是在時(shí)域中進(jìn)行的一種特殊正交變換。在一維實(shí)空間中，信號(hào)f(x)的希爾伯特變換是f(x)和1/πx的卷積。定義信號(hào)f(x)的希爾伯特變換為［14－15］:

在頻域中，希爾伯特變換的結(jié)果來(lái)自sign函數(shù)的簡(jiǎn)單乘積，即:

其中，F(xiàn)T為傅里葉變換;k為角頻率，并且:

希爾伯特變換等同于一個(gè)濾波器，一個(gè)信號(hào)經(jīng)過(guò)希爾伯特變化后，只是把它在頻域相移π/2。在頻域內(nèi)，希爾特變換的關(guān)系可表示為

式中，V(f)是函數(shù)v(x)的傅里葉變換;U(f)是函數(shù)f(x)的傅里葉變換;j是虛數(shù)單位。由希爾伯特變換的性質(zhì)可知信號(hào)cos的希爾伯特變換就是sin，并且能夠?yàn)V除原信號(hào)的直流分量，即可以有效地濾除原信號(hào)所攜帶的噪聲。

2．2 基于離散余弦單幅圖相位提取

通常，從動(dòng)態(tài)散斑術(shù)中獲得的散斑干涉圖可以用式(5)表示:

式中，Ia(x，y)為背景光強(qiáng);Ib(x，y)為條紋幅值;f0為 載波的角頻率;(x，y)為調(diào)制相位。Ia(x，y)和Ib(x，y)是緩變函數(shù)，可以視為常數(shù)。對(duì)于散斑條紋圖進(jìn)行希爾伯特變換得到正弦分量:

可看到希爾伯特變換很好地濾除了散斑干涉圖中的直流分量，達(dá)到濾除噪聲的效果。再次對(duì)I1(x，y)進(jìn)行希爾伯特變換得到余弦分量:

令 (x，y)=2πf0x+(x，y)，則可以得到相位在x方向上的梯度［13，16］:

同理，相位在y方向上的梯度為:

由式(8)和式(9)可以得到:

顯然式(10)是M×N矩陣網(wǎng)格上的離散泊松方程，即:

因此，計(jì)算相位在數(shù)學(xué)上等于求解離散泊松方程，用離散余弦變換(DCT)即可求出(x，y)，也就可得到本文中所求的真實(shí)相位。

在最小二乘相位解包裹［11］中常用DCT解泊松方程，但當(dāng)殘差點(diǎn)較多時(shí)DCT非加權(quán)最小二乘相位解包裹算法的計(jì)算結(jié)果比較平滑，從而有學(xué)者引入權(quán)重，抑制誤差的傳播，稱為加權(quán)離散余弦變換(WDCT)［17］。為補(bǔ)償其平滑作用，采用加權(quán)處理。權(quán)重定義為:

式(13)中，unit(·)為歸一化處理;filt［·］為均值濾波。求出權(quán)重ui，j后，用ui，j對(duì)ρi，j進(jìn)行加權(quán)處理:

其中，ρ*(x，y)是ρ(x，y)加權(quán)處理的結(jié)果，然后利用對(duì)泊松方程的求解即可求出真實(shí)相位。鑒于WDCT算法的優(yōu)勢(shì)，實(shí)驗(yàn)采用WDCT算法解泊松方程。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

相移法提取散斑干涉條紋圖首先需要經(jīng)過(guò)相移(如四步相移法)提取包裹相位，再通過(guò)相位解包裹運(yùn)算才能夠解開(kāi)包裹相位得到真實(shí)相位。而本文提出的基于離散余弦的的方法能夠簡(jiǎn)便的完成相移法的過(guò)程，從散斑干涉條紋圖中直接得到真實(shí)相位。相移法和本文提出的方法基本流程對(duì)比圖如圖1所示。

圖1 相移法和本文提出的方法從干涉條紋圖提取相位對(duì)比流程圖Fig．1 The flow chart of phase-shift and the proposed method extracted phase from interference fringe patterns

用MATLAB生成400×400的散斑干涉條紋圖，條紋圖的強(qiáng)度分布為:

其中，f0為載波頻率，大小取0．125，(x，y)=2peaks(400)。相移法是對(duì)干涉條紋圖提取相位最常用的方法，用相移法提取干涉條紋相位如圖2所示，首先模擬四幅光柵干涉條紋圖，用四步相移法從中提取包裹相位，四步相移法提取包裹相位方法見(jiàn)參考文獻(xiàn)［4］。再用最小二乘方法得到泊松方程［11－12］，最后用WDCT方法求解泊松方程得到真實(shí)相位。

圖2 用4步相移法從4幅干涉條紋圖中提取相位的結(jié)果Fig．2 Results of the phase extracted from 4 interference fringe patterns by phase-shift method

用本文提出的基于離散余弦的方法從干涉條紋提取相位結(jié)果如圖3所示，從圖3中可以看出本文提出的方法同樣能夠很好地干涉條紋圖中提取真實(shí)相位。圖3(d)中最小二乘求解相位(LSDCT)曲線是經(jīng)過(guò)四步相移提取包裹相位，再經(jīng)過(guò)最小二乘法解包裹提取的真實(shí)相位，與本文提出的基于離散余弦提取相位的曲線是重合的，圖中小坐標(biāo)是x等于150處的局部放大圖。盡管相移法提取相位和本文提出的方法提取相位的誤差是一樣的，但是本文提出的算法只需要一幅干涉條紋圖，就能夠發(fā)到相移法所能夠達(dá)到的結(jié)果。大大降低了從干涉條紋圖提取相位的現(xiàn)實(shí)要求，降低了相位提取的繁瑣程度，而且縮短了相位提取的時(shí)間，相移法提取真實(shí)相位時(shí)間為6．8 s，而本文提出的方法提取真實(shí)相位時(shí)間為2．8 s。同時(shí)，現(xiàn)實(shí)中相移法受環(huán)境因素會(huì)更大，故本文提出的算法更適合應(yīng)用于實(shí)際干涉條紋相位提取。

對(duì)于現(xiàn)實(shí)含有噪聲的干涉條紋圖提取相位如圖4所示，如圖4(a)所示的含有噪聲的干涉條紋圖，用相移法提取的相位如圖4(b)所示，用本文提出的方法提取的相位如圖4(c)所示。

圖3 用本文從單幅干涉條紋圖中提取相位的結(jié)果Fig．3 Results of the phase extracted from a single interference fringe pattern by the proposed method

圖4 用兩種方法對(duì)含有噪聲的相位提取Fig．4 Comparing of phase extracted with noise by two method

從圖4中可以看出本文提出的基于離散余弦的方法同樣能夠很好地從單幅圖中提取真實(shí)相位，并沒(méi)有因?yàn)樵摲椒ㄟ^(guò)程簡(jiǎn)單而導(dǎo)致誤差增多。相反，在現(xiàn)實(shí)情況中相移法，需要多幅條紋圖，導(dǎo)致每幅圖含有不一的噪聲，從而導(dǎo)致更多的誤差。

4 結(jié)論

通過(guò)上面一系列的實(shí)驗(yàn)可以看出本文提出的方法能夠很好地從單幅干涉條紋圖中提取真實(shí)相位，與之相比，相移法需要4幅干涉條紋圖，過(guò)程復(fù)雜，對(duì)光學(xué)采集系統(tǒng)的要求較高，提取的4幅干涉條紋圖進(jìn)行計(jì)算得到包裹相位，還需相位解包裹才能得到真實(shí)相位。而本文提出的算法只需要1幅干涉條紋圖就能夠解出真實(shí)相位，環(huán)境因素的影響比相移法小。同時(shí)相位提取的誤差在理想的情況下是相同的，但由于各種因素的影響，現(xiàn)實(shí)情況下本文提出的算法得到的結(jié)果會(huì)更好。

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