參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法

左廷英，陳仲兒，宋迎春

（中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙410083）

在測量平差中，通常以G－M模型為平差模型，同時顧及非線性模型線性化的誤差［1－2］，求得的簡化模型往往是不準確的，因而參數(shù)估值也非其準確值，即參數(shù)存在不確定性［3－4］。尤其是在一些特殊情況下（如高精度GPS變形監(jiān)測網(wǎng)），由于模型給的不準、觀測誤差、參數(shù)的不確定性等不確定性因素的影響，從而使得參數(shù)的最小二乘估值可能是與實際相違背的，即最小二乘的平滑、去噪性掩蓋了形變的真實信息，其原因在于沒有考慮系統(tǒng)的物理特性或先驗信息，運用純數(shù)學方法來處理，導致估值“失真”。

在參數(shù)估計問題上，整體最小二乘法是對以上不確定性的一個改進。其將系統(tǒng)中不確定因素擴展到了模型問題上，綜合考慮設計矩陣與觀測噪聲誤差，估計得到的參數(shù)值在某些場合下［5－7］優(yōu)于最小二乘解。

整體最小二乘參數(shù)估計方法存在不足，其最大限制因素是必須了解觀測信息的統(tǒng)計特性和隸屬函數(shù)，而由于不確定性因素的出現(xiàn)，往往較難獲得上述統(tǒng)計信息。最小二乘法、整體最小二乘法都是通過人為的手段對其確定，這樣顯然是不合適的。相反，較之統(tǒng)計特性，獲取參數(shù)的上下界、誤差的極限值等［8］相對較容易些。國內外學者對此類問題也做探討和研究 并成功摸索出一條求解上述不確定問題的道路［9－11］。就目前研究情況而言，較為成熟的解決辦法是區(qū)間分析，其已在巖土力學、結構力學等地質、材料方面取得了一些成績［9－11］。但由于區(qū)間分析的缺點和不足，多數(shù)學者更多關注的是其理論研究［12－13］。在測繪領域方面，陶本藻、王新洲和楊元喜等都對測量不確定度理論進行研究，拓展了測量平差數(shù)據(jù)處理的理論和方法。本文基于參數(shù)有界性，構建了參數(shù)有界約束下的平差模型，利用最小二乘原理，將問題轉化為附有箱型約束的二次規(guī)劃問題，運用最優(yōu)化理論知識［14－15］來處理，進而得到參數(shù)的一個可行解，并將其應用到沉降監(jiān)測網(wǎng)實例中，得出較為合理的結果。

1 參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法

1．1 建立平差模型

參數(shù)有界約束下的平差模型：

其中，B是一個n×t的設計矩陣；X＝［x1…xt］Τ是t×1的參數(shù)向量；Δ是隨機誤差向量，Δ～N（0，σ2I），I是單位矩陣；c＝［c1…ct］Τ，d＝［d1…dt］Τ分別為參數(shù)的上、下界。

1．2 轉化為附有箱型約束的二次規(guī)劃問題

式（1）的解不只一組，故需附加最小二乘約束來求得參數(shù)的最優(yōu)解。

從而轉化為附有箱型約束的二次規(guī)劃問題：

當網(wǎng)中各觀測量為等權觀測量時，上式轉化為

其中，BΤPB是一個對稱正定（半正定）矩陣，式（3）中可簡化為

上式是一個凸函數(shù)。其中，N＝BΤPB，W＝BΤPL。故式（3）可等價為一個凸二次規(guī)劃問題：

其中，F(xiàn)（X）＝f（X）－LΤPL。

1．3 由分解算法計算參數(shù)估值

求解上述凸二次規(guī)劃問題的算法有很多，如內點算法、積極集法、對偶方法等［16－18］，需要具有深厚的最優(yōu)化理論及數(shù)學知識，且沒有一個通用、簡單的算法來實現(xiàn)。本文采用文獻［19］中提到的一種分解算法來處理，以下稱“分解算法”。具體內容如下：

N∈Rt×t是對稱矩陣，且N滿足下述條件：

N＝N1＋N2；N1－N2是對稱正定矩陣，其中N1，N2∈Rt×t。

則稱（N1，N2）為N的一正則分裂。

設＾X為問題（1）的最優(yōu)解，顯然有X＝＾X＋（X－＾X），因此

故而轉化為等價問題：

其中，Ω是式（3）的解集。

箱型約束二次規(guī)劃問題的分解算法：

2 算例與分析

圖1所示為南方某城市工業(yè)區(qū)部分沉降監(jiān)測網(wǎng)略圖，由于工業(yè)需要，大量開采地下水造成較為嚴重的地面下沉，為避免安全事故及不必要的人員和財產(chǎn)損失，在近幾年已響應相關部門要求，禁止了地下水的過度開采 同時采用二等水準測量方法獲得了前后兩期高差觀測值，其中BM1點為已知點（國家二等水準點），高程為27．329 m，觀測周期為1年，觀測精度為0．86 mm。表1為兩期高差觀測成果。通過前后兩期水準測量獲得的高差觀測值來分析地面沉降量。在具體處理過程中，以網(wǎng)中BM1點為固定點，其他點為待定點，由此建立參數(shù)有界約束下的平差模型：

相應的附有箱型約束的凸二次規(guī)劃問題為

其中，N對稱正定，F(xiàn)（X）為嚴格凸函數(shù)。

圖1 沉降監(jiān)測網(wǎng)

表1 兩期高差觀測成果

解決上述問題關鍵在于如何確定參數(shù)（高程）的上下界，即上述模型中的c，d值。經(jīng)過對Ⅰ期水準網(wǎng)做經(jīng)典自由網(wǎng)平差處理 可以得到參數(shù)的最或然值，在做Ⅱ期平差處理時，以Ⅰ期平差得到的參數(shù)值作為本次平差參數(shù)初值。根據(jù)已有資料顯示，在過去幾年，該地區(qū)年沉降量最大值不超過10 mm，由變形機理可知，由于禁止令的實施，其沉降量不應超過往年最大值，故可近似認為前后兩期沉降量不超過一個10 mm，如此就確定了參數(shù)的上下界。即

為了比較傳統(tǒng)最小二乘平差法與參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法的優(yōu)劣性，在具體處理過程中，本文還對前后兩期水準網(wǎng)做了經(jīng)典自由網(wǎng)平差處理。同時為便于描述，分別將經(jīng)典自由網(wǎng)平差法和參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法記為LS、BLS。經(jīng)過MATLAB編程實現(xiàn)，兩種方法求得的參數(shù)估值及沉降量如表2、表3所示。

表2 兩種方法的參數(shù)估計結果 mm

表3 兩種方法得到的沉降量 mm

由上述結果可見，當限定前后兩期網(wǎng)中待定點沉降量不超過10 mm時，由經(jīng)典自由網(wǎng)平差得到的參數(shù)估值已明顯不能滿足該要求，如P4點的沉降量已超出約束界限。而在同一個水準網(wǎng)中，各待定點沉降量應該相差不大，故參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法得到的結果較符合真實情況。

3 結束語

經(jīng)典最小二乘平差法基于傳統(tǒng)高斯—馬爾科夫模型 具有諸多優(yōu)良特性 可以得到參數(shù)的最優(yōu)估值，但由于不確定性問題的出現(xiàn)，依靠其單一平滑去噪的特點已然不能滿足高精度變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理要求，因此亟待構建一個與真實系統(tǒng)更為接近的模型并提出相應算法，較為有效的解決辦法是利用已知的先驗信息或通過其他相關途徑，對模型附加約束條件，如參數(shù)有界，建立參數(shù)有界約束下的平差模型，并運用相關知識來求解。實踐證明，經(jīng)過最優(yōu)化處理，得到的模型全局最優(yōu)點為參數(shù)的最佳估值，且滿足在參數(shù)有界下殘差平方和最小的原則，得到的估計結果在某些情況下可能比最小二乘更能反映系統(tǒng)真實狀態(tài)。對于小型變形監(jiān)測網(wǎng)數(shù)據(jù)處理較為適用。

本文以某一沉降監(jiān)測網(wǎng)為算例，分別采用經(jīng)典最小二乘法和基于參數(shù)有界約束下的最小二乘平差算法來處理，新算法的估值更符合實際。但在實際工作中，往往無法獲知系統(tǒng)的先驗信息，因此如何更為有效確定參數(shù)初值及上下界還有待深入研究。事實上，多數(shù)情況下的變形監(jiān)測網(wǎng)為GPS變形監(jiān)測網(wǎng)，此時參數(shù)為三維且方程維數(shù)較大，對于該類問題，需進一步延伸。同時，分解算法雖簡單實用，但在具體執(zhí)行時，效率不高，需迭代多次才接近收斂，故迫切需要提出一種新的最優(yōu)化算法來解決參數(shù)有界問題。

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