附加誤差修正的GM（1，1）模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報中應(yīng)用

劉鐵柱，楊登科，馬向向

（1．鄭州市市政工程勘測設(shè)計研究院，河南 鄭州450046；2．華亭煤業(yè)集團(tuán)公司，甘肅 平?jīng)?44000）

在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品的實時性與精度是決定系統(tǒng)實時導(dǎo)航定位的關(guān)鍵因素，尤其是精密單點定位技術(shù)（PPP）［1－3］。目前，IGS提供的事后精密鐘差產(chǎn)品有13 d的滯后時間，即便超快速精密鐘差也有3 h的延遲，因此，使得PPP技術(shù)主要停留在事后處理模式中，然而PPP的真正優(yōu)勢在于實時應(yīng)用，因此，針對衛(wèi)星鐘差預(yù)報，已有大量學(xué)者開展相關(guān)研究［4－7］，并得出許多有益的結(jié)論。目前，采用GM（1，1）模型預(yù)報衛(wèi)星鐘差已得到大多數(shù)學(xué)者認(rèn)可［8－9］。為提高 GM（1，1）模型預(yù)報精度，又有學(xué)者對GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)研究［10］，但其改進(jìn)方法較為復(fù)雜，不利于編程實現(xiàn)與實際應(yīng)用。為此，本文通過大量統(tǒng)計實驗，提出一種附加誤差修正的GM（1，1）模型，并與傳統(tǒng) GM（1，1）模型進(jìn)行比較。實驗結(jié)果表明，方法明顯改善衛(wèi)星鐘差的預(yù)報精度。

1 附加誤差修正的GM（1，1）模型

1．1 GM（1，1）模型原理

GM（1，1）模型基本思路如下［11－12］：假定x（0）（k）為原始鐘差數(shù)據(jù)序列，其中k＝1，2，…，n，即

對序列x（0）（k）進(jìn)行一次累加，生成一個新的累加序列，如式（2）所示。

一般來說，可以認(rèn)為累加序列x(1)k 是時間t的連續(xù)函數(shù)，將其用一階微分方程來表示

式中：a為發(fā)展系數(shù)；u為內(nèi)生控制灰數(shù)。通過最小二乘法求解式（3）的微分方程，算式為

式中：B為（n－1）×2階矩陣，Y 為（n－1）×1階矩陣。

由最小二乘求解得模型的時間響應(yīng)函數(shù)為

將時間代入式（7），并對其進(jìn)行一次累減，即可得到原始數(shù)據(jù)模型

其中：當(dāng)k≤n時，得到的值是原始數(shù)據(jù)的擬合值；當(dāng)k＞n時，得到的數(shù)據(jù)為預(yù)報值。

1．2 誤差修正思路

GM（1，1）模型預(yù)報衛(wèi)星鐘差的殘差在短時間內(nèi)一般為系統(tǒng)性的偏差，尤其當(dāng)衛(wèi)星鐘差呈現(xiàn)單調(diào)遞增與遞減時，為此，本文提出利用GM（1，1）模型預(yù)報殘差進(jìn)行二次預(yù)報，其基本思路如下：假定要預(yù)報未來200個數(shù)據(jù)，首先，利用GM（1，1）模型預(yù)報300個數(shù)據(jù)，其中前100個預(yù)報數(shù)據(jù)的觀測值已知；其次，利用前100個數(shù)據(jù)的預(yù)報殘差求解得到一個線性模型；最后，利用該模型對剩下的200個預(yù)報數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)償，從而削弱其系統(tǒng)偏差，提高GM（1，1）模型預(yù)報的精度。同時，為了提高其預(yù)報的可靠性與穩(wěn)定性，應(yīng)對前100個預(yù)報數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，若85%的預(yù)報殘差的絕對值小于1 ns且最大值小于1．5 ns，則進(jìn)行誤差修正，若未能滿足上述條件，則認(rèn)為該GM（1，1）模型的預(yù)報結(jié)果精度較高，因而不進(jìn)行補(bǔ)償，從而避免因錯誤補(bǔ)償而造成更大的誤差。

2 實例分析

為了驗證本文方法的有效性與可靠性，采用IGS網(wǎng)站提供的5 min采樣間隔的事后精密GPS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行實驗分析。本文選用GPS系統(tǒng)第1 791周第一天的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，預(yù)報接下來一天的鐘差。值得注意的是：根據(jù)本文誤差修正的思路，附加誤差修正的GM（1，1）模型采用第一天的第177～188個數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，預(yù)報剩下的鐘差以及第二天的鐘差，根據(jù)上文提出的修正方法對預(yù)報結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償，而傳統(tǒng)GM（1，1）模型是采用第一天最后12個數(shù)據(jù)建模，預(yù)報接下來一天的衛(wèi)星鐘差。由于衛(wèi)星鐘差的預(yù)報結(jié)果與衛(wèi)星鐘的類型有較大關(guān)系，因此，選用不同類型的衛(wèi)星進(jìn)行分析，衛(wèi)星原子鐘類型和衛(wèi)星號對照表如表1所示，每個類型的原子鐘各選用2顆，分別為 PRN01、PRN27、PRN05、PRN32、PRN11、PRN18、PRN07、PRN12。

表1 GPS衛(wèi)星原子鐘類型和衛(wèi)星號對照表

圖1為衛(wèi)星PRN01與PRN07的預(yù)報結(jié)果，其中圖（a）與圖（b）分別是PRN01與PRN07衛(wèi)星的鐘差預(yù)報殘差結(jié)果。為了更加清晰地看出其前100個鐘差的預(yù)報殘差，對其進(jìn)行局部放大，其結(jié)果分別是各個子圖中的小圖。從局部放大圖中可以明顯看出，PRN01與PRN07衛(wèi)星前100個預(yù)報結(jié)果小于給定的閾值，因此不進(jìn)行補(bǔ)償，此外，這兩顆衛(wèi)星采用GM（1，1）模型預(yù)報鐘差的精度都在ns級，而影響導(dǎo)航定位精度的是預(yù)報鐘差較大的衛(wèi)星鐘，因此，提高GM（1，1）模型較大偏差的鐘差是提高導(dǎo)航定位精度的關(guān)鍵。

圖1 未進(jìn)行誤差修正的衛(wèi)星鐘差預(yù)報殘差結(jié)果

圖2是PRN32與PRN11衛(wèi)星的鐘差預(yù)報結(jié)果，限于篇幅，其他衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果本文并未給出，但其預(yù)報結(jié)果與圖2基本一致。從圖2可以看出，經(jīng)過誤差修正后的衛(wèi)星鐘差殘差小于傳統(tǒng)GM（1，1）模型的預(yù)報結(jié)果，尤其是PRN32衛(wèi)星，經(jīng)誤差修正后的預(yù)報精度基本在ns級，相對于傳統(tǒng)GM（1，1）模型的預(yù)報結(jié)果提高一個數(shù)量級。這說明本文提出的附加誤差修正的GM（1，1）模型預(yù)報衛(wèi)星鐘差是有效的。為了進(jìn)一步對比其預(yù)報效果，又分別統(tǒng)計這8顆衛(wèi)星的預(yù)報殘差的絕對值、最大值、最小值以及標(biāo)準(zhǔn)差，其結(jié)果如表2所示。從表2中可以看出，本文提出的附加誤差修正的GM（1，1）模型預(yù)報精度都優(yōu)于傳統(tǒng)的GM（1，1）模型，尤其是標(biāo)準(zhǔn)差，附加誤差修正的GM（1，1）模型預(yù)報精度有較大提高。此外，由于PRN01與PRN07衛(wèi)星并未經(jīng)誤差修正，但其預(yù)報精度仍高于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，這說明GM（1，1）模型受模型初始值影響較大。

圖2 進(jìn)行誤差修正的衛(wèi)星鐘差預(yù)報殘差結(jié)果

表2 所有衛(wèi)星鐘差預(yù)報誤差統(tǒng)計結(jié)果 ns

3 結(jié) 論

本文提出的附加誤差修正的GM（1，1）模型相對于傳統(tǒng)GM（1，1）模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報中，通過采用不同類型的衛(wèi)星進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明，本文提出的修正模型能有效提高其預(yù)測精度，相對于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，標(biāo)準(zhǔn)差最大改善精度可達(dá)90%，最小也提高30%，同時，也保證其預(yù)測結(jié)果的穩(wěn)定性，具有一定實際應(yīng)用價值。另外，本文還為衛(wèi)星鐘差長期預(yù)報提出思路，即以天為單位，進(jìn)行建模預(yù)報，并根據(jù)本文方法進(jìn)行誤差修正，最后對修正后的預(yù)報鐘差進(jìn)行內(nèi)插，以滿足其采樣要求。盡管本文提出的模型精度有較大改善，但仍存在不足：1）GM（1，1）模型預(yù)報結(jié)果受建模數(shù)據(jù)的影響；2）在表2中PRN01與PRN07衛(wèi)星本文并未進(jìn)行改進(jìn)，而是直接采用GM（1，1）模型的預(yù)報結(jié)果，盡管其預(yù)報精度仍是ns級，已滿足導(dǎo)航精度要求，但如何在其基礎(chǔ)上提高精度，仍是下一步的研究目標(biāo)。

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