灰色－馬爾科夫模型在大壩內(nèi)部變形預(yù)測中的應(yīng)用

沈哲輝，黃 騰，唐佑輝

（河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京210098）

對大壩內(nèi)部水平位移進行監(jiān)測是大壩安全監(jiān)測系統(tǒng)中的重要組成部分，因此，對壩體內(nèi)部水平位移數(shù)據(jù)進行分析，建立預(yù)測模型是十分必要的?；疑到y(tǒng)理論是研究系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測、決策和控制的理論［1］，而傳統(tǒng)的灰色 GM（1，1）理論預(yù)測模型存在精度差的問題［2］。針對大壩內(nèi)部水平位移測點之間不是相互獨立而是相互影響的，而且實際操作中樣本的等時距性要求不容易滿足，提出了一種非等時距的 MGM（1，n）－Mar kov模型。首先對原始數(shù)據(jù)進行等時距處理，再建立 MGM（1，n）模型。以灰色預(yù)測結(jié)果為基礎(chǔ)，按照馬爾科夫方法劃分狀態(tài)區(qū)間以及確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，進而求出新的預(yù)測值，提高預(yù)測精度［3］。

1 灰色－馬爾科夫模型的建立

1．1 灰色 MGM（1，n）預(yù)測模型

MGM（1，n）建模過程如下：［4－6］

其中k＝1，2，…，m。

MGM（1，n）模型為n元一階常微分方程組

記

則式（2）可記為

式（4）的連續(xù)時間響應(yīng)為

X（1）（t）＝e（At）X（1）（0）＋A－1（e（At）－I）·B．（5）

其中

這里級數(shù)求和要取多少項才合適并不能簡單地判斷出來，因此，建議在MATLAB中用exp m函數(shù)求無窮級數(shù)。

為了識別A和B，將式（2）離散化得到

記ai＝（ai1，ai2，…，ain，bi），i＝1，2，…，n。則由最小二乘法得到ai的辨識值

其中：

則得A和B的辨識值＾A 和＾B。

MGM（1，n）模型的計算值為

針對灰色模型只適用于等時距的數(shù)據(jù)，因此，把非等時距的原始觀測數(shù)列化為等時距的數(shù)列是必要的。

1．2 非等時間間隔序列的處理

MGM（1，n）模型要求樣本為等時距的，但實際過程中很難得到完全的等時距序列的樣本。對于非等時距的數(shù)列，可以通過一定的方法化為等時距的數(shù)列，具體方法如下［7］：

令Δtk＝tk＋1－tk；

則可求得平均時間間隔

各時段與平均時段的單位時段差系數(shù)為

最終求得的等時距數(shù)列為

式（14）就是上述模型所需的等時距數(shù)列。等時距化后就可以建立 MGM（1，n）模型計算各期的擬合值并且進行預(yù)測，再建立馬爾科夫模型來對實測值與擬合值之間的殘差進行修正。

1．3 馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

馬爾科夫模型建立的方法和步驟［2］如下：

1）狀態(tài)的劃分：計算出預(yù)測數(shù)值與實測數(shù)值的殘差序列，并據(jù)此劃分h個狀態(tài)區(qū)間

3）h步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣是一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的h次方，即

以上介紹了本文用到的方法和模型，下面介紹把它們結(jié)合在一起的具體過程。

1．4 Markov殘差修正的 MGM（1，n）模型建立

本文構(gòu)建大壩內(nèi)部水平位移的多變量灰色預(yù)測模型，使用Mar kov模型對殘差序列進行修正，構(gòu)建基于Mar kov殘差修正的灰色 MGM（1，n）模型的建模步驟如下：

1）選取位于大壩某高程處測房內(nèi)的3個測點從2012－03－22到2013－06－21的15期測值，按式（12）、式（13）、式（14）把它們15期的非等時距的數(shù)據(jù)化為等時距的，得到的15期數(shù)據(jù)為（k），i＝1，2，3；k＝1，2，…，15。

4）根據(jù)εi（k），k＝1，2，…，15劃分狀態(tài)，這里對每個測點的各期相對誤差統(tǒng)一劃分狀態(tài)，計算出各自的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

2 實例分析

2．1 歷史數(shù)據(jù)

本文為驗證基于Mar kov殘差修正的灰色MGM 1 n模型的正確性和可靠性，利用大壩內(nèi)部水平位移觀測數(shù)列為歷史數(shù)據(jù)進行建模分析。大壩內(nèi)部水平位移指的是大壩內(nèi)部順河向的水平位移，即沿著水流方向的位移，大壩內(nèi)部布有引張線水平位移測點，張線式水平位移計的工作原理是：在測點高程水平鋪設(shè)能自由伸縮的管路，從各測點引出線膨脹系數(shù)很小的不銹鋼銦瓦合金鋼絲，通過導向滑輪，在其終端加若干張拉平衡砝碼，測點相對觀測房固定端移動時，帶動鋼絲移動，在固定標點處用游標卡尺測出鋼絲的位移量，算出測點的相對水平位移。下面以某大壩某高程處壩內(nèi)3個水平位移測點從2012－03－22到2013－06－21的數(shù)據(jù)為歷史數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 原始監(jiān)測序列

表1中的這15期觀測數(shù)列是非等時距的，2012－03－22的觀測數(shù)據(jù)在本文中是第1期觀測數(shù)據(jù)，為方便等時距化，把2012－03－22記作觀測的第1天，2012－04－18就為觀測的第28天，依次類推，2013－06－21就為觀測的第457天。

2．2 等時間間隔化并建立 MGM（1，n）模型

2．3 馬爾科夫殘差修正

根據(jù)表2計算出各測點每期的擬合值與真實值的相對誤差，見表3。可以看出3個測點各期相對誤差在［－5．2，3．2］的區(qū)間內(nèi)，劃分4個狀態(tài)區(qū)間［－5．2，－2］，［－2，0］，［0，1．5］，［1．5，3．2］。然后對各測點劃分狀態(tài)，詳細狀態(tài)劃分見表3。

表2 等時距序列以及擬合值

表3 相對誤差狀態(tài)劃分

寫出各自的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，這里以測點1為例。狀態(tài)1出現(xiàn)2次，狀態(tài)2出現(xiàn)4次，狀態(tài)3出現(xiàn)5次，狀態(tài)4出現(xiàn)2次（去除最后一個狀態(tài)）。再根據(jù)狀態(tài)x一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)y出現(xiàn)的次數(shù)，求出一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

編制預(yù)測表格：由于將狀態(tài)劃分4個，所以選擇離預(yù)報時刻（2013－07－22）最近的4年編制預(yù)報表，其轉(zhuǎn)移步數(shù)分別定為1，2，3，4，得到新的轉(zhuǎn)移概率［8］，見表4。

表4 狀態(tài)預(yù)測

表5 測點1擬合結(jié)果比較

圖1 測點1擬合值相對誤差比較圖

從表5可以計算出測點1的MGM（1，3）擬合結(jié)果相對誤差的絕對值的平均值為1．25%，而灰色－馬爾科夫擬合結(jié)果的相對誤差的絕對值的平均值為0．43%。從圖1中可以看出，測點1的灰色－馬爾科夫擬合值相對誤差折線比灰色模型擬合值相對誤差折線平穩(wěn)，灰色－馬爾科夫擬合值相對誤差總體上比灰色模型擬合值相對誤差小。

同理，可求出測點2在2013－07－22的預(yù)測值為80．546 8 mm，用灰色馬爾科夫模型修正的值為81．150 9 mm，實測值為83．29 mm。MGM（1，3）預(yù)測值得相對誤差為3．29%，殘差修正后的相對誤差為 2．57%；測 點 3 在 2013－07－22 的 預(yù) 測 值 為97．321 5 mm，用灰色馬爾科夫模型修正的值為98．051 4 mm，實測值為99．85 mm。MGM（1，3）預(yù)測值的相對誤差為2．53%，殘差修正后的相對誤差為1．80%。

用灰色－馬爾科夫模型對測點2和測點3在2012－03－22至2013－06－21的位移量進行擬合。圖2為測點2的灰色－馬爾科夫模型擬合值相對誤差與灰色模型擬合值相對誤差比較圖；圖3為測點3的灰色－馬爾科夫模型擬合值相對誤差與灰色模型擬合值相對誤差比較圖。

圖2 測點2擬合值相對誤差比較圖

圖3 測點3擬合值相對誤差比較圖

經(jīng)計算，測點2的MGM（1，3）模型擬合結(jié)果相對誤差的絕對值的平均值為1．54%，而灰色－馬爾科夫擬合結(jié)果相對誤差的絕對值的平均值為0．37%；測點3的 MGM（1，3）模型擬合結(jié)果相對誤差的絕對值的平均值為1．22%，而灰色－馬爾科夫擬合結(jié)果相對誤差的絕對值的平均值為0．54%。從圖2和圖3可以看出，測點2和測點3的灰色－馬爾科夫擬合值相對誤差折線均比灰色模型擬合值相對誤差折線平穩(wěn)，兩點的灰色－馬爾科夫擬合值相對誤差總體上比灰色模型擬合值相對誤差小。

綜上可見，灰色－馬爾科夫模型的模型精度比灰色模型的擬合精度高。從對3個測點2013－07－22的灰色－馬爾科夫模型預(yù)測的結(jié)果和灰色模型預(yù)測的結(jié)果比較看出，灰色－馬爾科夫模型的預(yù)測精度高于灰色模型的預(yù)測精度。

3 結(jié)束語

本文通過對某大壩內(nèi)部水平位移的實測數(shù)據(jù)建立非等時距的灰色－馬爾科夫模型，解決了實際測量中樣本序列不等時距的問題，得到了灰色－馬爾科夫模型不僅比單一的灰色模型的擬合精度高，而且預(yù)測精度也比灰色模型的預(yù)測精度高，具有一定的實際應(yīng)用價值。本文中Mar kov模型建立在灰色模型之上，其狀態(tài)區(qū)間是隨機劃分的，所以預(yù)測結(jié)果會隨著狀態(tài)區(qū)間劃分的不同會有略微的差異，如何劃分狀態(tài)區(qū)間使得灰色－馬爾科夫的擬合精度和預(yù)測精度盡可能的高還有待進一步研究。

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