二次雙曲Bézier曲線曲面*

嚴(yán)蘭蘭，韓旭里，周其華

(1.東華理工大學(xué)理學(xué)院,江西 南昌 330013;2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 長沙 410083)

二次雙曲Bézier曲線曲面*

嚴(yán)蘭蘭1,2，韓旭里2，周其華1

(1.東華理工大學(xué)理學(xué)院,江西 南昌 330013;2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 長沙 410083)

為了簡化構(gòu)造組合曲線時(shí)，相鄰曲線的控制頂點(diǎn)間應(yīng)滿足的光滑拼接條件, 構(gòu)造了一種結(jié)構(gòu)類似于二次Bézier曲線的含參數(shù)的雙曲型曲線，稱之為H-Bézier曲線。該曲線具有Bézier曲線的許多基本性質(zhì), 如凸包性、對稱性、幾何不變性、端點(diǎn)插值和端邊相切性。另外，該曲線具備形狀可調(diào)性，可以精確表示雙曲線。此外, 若取特殊的參數(shù)，則當(dāng)相鄰H-Bézier曲線的控制頂點(diǎn)間滿足普通Bézier曲線的G1光滑拼接條件時(shí), 曲線在公共連接點(diǎn)處可以達(dá)到G3光滑拼接。另外, 給出了構(gòu)造與給定多邊形相切的H-Bézier曲線的方法, 該方法簡單有效, 而且整條曲線對給定的切線多邊形是保形的。運(yùn)用張量積方法，將H-Bézier曲線推廣后得到的曲面同樣具有很多良好的性質(zhì)。

曲線設(shè)計(jì);Bézier曲線; 連續(xù)性; 形狀參數(shù); 切線多邊形

1 引言

Bézier曲線是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中表示曲線的重要工具之一，它具有結(jié)構(gòu)簡單、直觀等諸多優(yōu)點(diǎn)。雖然如此，在實(shí)際應(yīng)用中，Bézier曲線依然表現(xiàn)出一些不足。例如，由于單一的Bézier曲線無法表示復(fù)雜的形狀，所以為了滿足實(shí)際工程的需求，往往需要構(gòu)造組合Bézier曲線，而為了保證組合曲線的光滑性，相鄰曲線的控制頂點(diǎn)間必須滿足一定的連續(xù)性條件，一般情況下，對光滑性的要求越高，條件會越復(fù)雜，從而難以實(shí)現(xiàn)。另外，由于Bézier曲線的形狀由其控制頂點(diǎn)唯一確定，所以若要修改曲線的形狀，必須改變控制頂點(diǎn)，重新計(jì)算曲線方程。第三，Bézier曲線不能表示工程上常用的除拋物線以外的圓錐曲線。

對于Bézier曲線的上述第二、第三個(gè)缺點(diǎn)，很多文獻(xiàn)提出了解決辦法。如文獻(xiàn)[1～7]構(gòu)造了含一個(gè)或多個(gè)參數(shù)的基函數(shù)，使得由之定義的曲線在具備Bézier曲線基本性質(zhì)的同時(shí)，還具有形狀可調(diào)性。文獻(xiàn)[8～14]在三角函數(shù)空間、雙曲函數(shù)空間等非多項(xiàng)式空間上構(gòu)造基函數(shù)，使得由之定義的曲線在具備Bézier曲線基本性質(zhì)的同時(shí)，還能表示一些圓錐曲線和超越曲線。但是，對于Bézier曲線的上述第一個(gè)不足，很少有文獻(xiàn)專門對其進(jìn)行研究。

為了同時(shí)克服Bézier曲線的上述三個(gè)不足，也就是說使曲線既具有形狀可調(diào)性，又能精確表示某種特殊曲線，還能夠在相對簡單的條件下實(shí)現(xiàn)更高階的光滑拼接，本文構(gòu)造了一種結(jié)構(gòu)類似于二次Bézier曲線的帶形狀參數(shù)的新曲線。該曲線不僅保留了普通Bézier曲線的諸多優(yōu)良性質(zhì)，而且可以通過選擇不同的形狀參數(shù)來得到由相同控制多邊形所確定的不同的曲線，無需有理形式便能精確表示雙曲線。更重要的是，選擇特定的形狀參數(shù)時(shí)，在普通Bézier曲線的G1光滑拼接條件下，該曲線可以達(dá)到G3光滑拼接。

2 基函數(shù)及其性質(zhì)

(1)

為二次雙曲Bernstein基函數(shù)，簡稱H-Bernstein基。

圖1所示為H-Bernstein基的圖形，其中實(shí)線、虛線、點(diǎn)線分別為a0(t)、a1(t)、a2(t)的圖形。圖1a中取參數(shù)λ=1，圖1b中取參數(shù)λ=2。

Figure 1 H-Bernstein bases

H-Bernstein基具有類似于Bernstein基的一些良好性質(zhì)，具體有：

(1)非負(fù)性：對任意的t∈[0,1]，有ai(t)≥0，i=0,1,2。

(3)對稱性：對任意的t∈[0,1]，有ai(t)=a2-i(1-t),i=0,1,2。

(4) 端點(diǎn)性質(zhì)：對任意的λ∈[1,2]，有:

(2)

當(dāng)λ∈[1,2)時(shí)，有:

(3)

當(dāng)λ=2時(shí)，有:

(4)

a0(0)=(coshc-1)λ=1

a2(0)=(cosh 0-1)λ=0

又由a0(0)+a1(0)+a2(0)=1得a1(0)=0，因此式(2)中結(jié)論(a)得證。再由ai(t)=a2-i(1-t),i=0,1,2知:

ai(1)=a2-i(0),i=0,1,2

(5)

由式(5)和(2)中式(a)即可得式(2)中結(jié)論(b)。

當(dāng)λ=2時(shí)，由式(1)經(jīng)過求導(dǎo)計(jì)算可得:

令上式中t=0,可得:

(6)

又由a0(t)+a1(t)+a2(t)=1可得:

(7)

由式(6)和式(7)式可得:

因此，式(4)中結(jié)論(a)、(c)、(e)得證。再由ai(t)=a2-i(c-t),i=0,1,2可知:

(8)

由式(8)和式(4)中(a)、(c)、(e)式即可得式(4)中結(jié)論(b)、(d)、(f)。

□

3 曲線及其性質(zhì)

3.1 曲線的定義與性質(zhì)

定義2 給定三個(gè)控制頂點(diǎn)Vi∈Rd(d=2,3;i=0,1,2)，稱:

(9)

為二次雙曲Bézier曲線，簡稱H-Bézier曲線。

由H-Bernstein基的性質(zhì)，易知H-Bézier曲線具有類似于Bézier曲線的一些性質(zhì)，具體有：

(1) 凸包性。由H-Bernstein基的非負(fù)性和規(guī)范性可知，H-Bézier曲線位于其控制頂點(diǎn)形成的凸包內(nèi)。

(2) 幾何不變性與仿射不變性。由H-Bernstein基的規(guī)范性可知，一方面，H-Bézier曲線的形狀僅依賴于控制頂點(diǎn)，幾何變換不改變曲線的形狀；另一方面，對控制多邊形進(jìn)行縮放或錯(cuò)切等仿射變換，所對應(yīng)的新曲線就是原曲線經(jīng)過相同仿射變換后的曲線。

(3) 對稱性。由H-Bernstein基的對稱性可知，取相同的參數(shù)λ時(shí)，由控制多邊形V0V1V2和V2V1V0所生成的曲線形狀是相同的，只是方向相反。

(4) 端點(diǎn)性質(zhì)。由H-Bernstein基的端點(diǎn)性質(zhì)和H-Bézier曲線的表達(dá)式可知，在H-Bézier曲線的端點(diǎn)處有:

a(0)=V0,a(1)=V2

(10)

當(dāng)λ∈[1,2)時(shí)，有:

(11)

當(dāng)λ=2時(shí)，有:

(12)

(5) 形狀可調(diào)性。由于H-Bernstein基的表達(dá)式中含有參數(shù)λ，選擇不同的λ值，可以得到不同的基函數(shù)，因此即使固定控制頂點(diǎn)，依然可以通過改變參數(shù)λ的值來調(diào)整曲線的形狀。

圖2所示為由相同控制頂點(diǎn)和不同參數(shù)所確定的H-Bézier曲線(實(shí)線，從上到下依次取參數(shù)λ=2,1.3,1)與普通二次Bézier曲線(虛線)。從圖2中可以看出，H-Bézier曲線對控制多邊形的逼近性優(yōu)于Bézier曲線。

Figure 2 H-Bézier curves and Bézier curves

3.2 雙曲線的表示

Figure 3 Hyperbola expressed by the H-Bézier curve

3.3 組合曲線的連續(xù)性

(13)

則當(dāng)λ1、λ2∈[1,2]且λ1、λ2不同時(shí)等于2時(shí)，兩曲線G1連續(xù)；當(dāng)λ1=λ2=2時(shí)，兩曲線G3連續(xù)。

證明 只證明λ1=λ2=2時(shí)的結(jié)論，另一種情況的結(jié)論類似可得。由式(10)和式(12)可知:

(14)

要使兩曲線G3連續(xù)，必須:

(15)

其中β1、β2、β3為參數(shù)，且β1>0(見文獻(xiàn)[15])。 將式(14)代入式(15)并整理，得到:

(16)

要使式(16)中的關(guān)系式(b)～(d)同時(shí)成立，只需取:

即可。記C=β1，故當(dāng)式(13)成立時(shí)，若λ1=λ2=2，則兩曲線G3連續(xù)。

□

對于普通Bézier曲線和大多數(shù)文獻(xiàn)中給出的擴(kuò)展Bézier曲線而言，在式(13)所給條件下，相鄰曲線間只能達(dá)到G1連續(xù)。而對于H-Bézier曲線而言，取特殊參數(shù)時(shí)卻能達(dá)到G3連續(xù)。 圖4所示為由兩條H-Bézier曲線段構(gòu)成的G3連續(xù)的組合曲線。

Figure 4 Composite H-Bézier curve of G3 continuity

3.4 曲線的應(yīng)用

給定閉多邊形P0,P1,…,Pn(P0=Pn)，下面分析如何構(gòu)造一條封閉的組合H-Bézier曲線，使之與給定閉多邊形的每一條邊都在指定點(diǎn)相切[16]。假設(shè)閉多邊形的第i條邊上的切點(diǎn)為:

Ti=(1-ki)Pi-1+kiPi

(17)

其中，ki∈(0,1)(i=1,2,…,n)為切點(diǎn)調(diào)節(jié)參數(shù)。

為了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，首先增加一個(gè)虛擬切點(diǎn)Tn+1=T1，然后在每兩個(gè)相鄰的切點(diǎn)Ti和Ti+1之間構(gòu)造一條H-Bézier曲線段ai(t)，這里i=1,2,…,n。因此，整條組合H-Bézier曲線由n條曲線段組成。取第i條曲線段:

(18)

的控制頂點(diǎn)為:

Vi0=Ti,Vi1=Pi,Vi2=Ti+1

(19)

由式(10)～式(12)和式(17)～式(19)可知:

ai(0)=Ti,ai(1)=Ti+1,

(20)

由式(20)可知，第i條H-Bézier曲線段與給定閉多邊形相切于點(diǎn)Ti和Ti+1。另外，由定理1可知，當(dāng)所有λi∈[1,2)且不同時(shí)等于2時(shí)，相鄰H-Bézier曲線段在連接點(diǎn)處G1連續(xù)；當(dāng)所有λi=2時(shí)，相鄰H-Bézier曲線段在連接點(diǎn)處G3連續(xù)。

這里提供的構(gòu)造與給定多邊形相切的曲線的方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1) 曲線的所有控制頂點(diǎn)直接由給定閉多邊形的頂點(diǎn)和切點(diǎn)確定，無需其它的計(jì)算；

(2) 相鄰曲線段在連接點(diǎn)處G1連續(xù)或G3連續(xù)，可以滿足工程上的大部分需求；

(3) 曲線中含有形狀參數(shù)，并且不同曲線段可以取不同的參數(shù)，因此曲線的形狀可以局部調(diào)整；

(4) 由于H-Bézier曲線段不存在拐點(diǎn)，且曲線的凹凸性與控制多邊形一致，所以整條曲線對給定的切線多邊形是保形的。

圖5所示為與給定多邊形相切于指定點(diǎn)的H-Bézier曲線。 圖中點(diǎn)線為給定的切線多邊形，打星號的點(diǎn)為指定的切點(diǎn)，實(shí)線為H-Bézier曲線。圖5a中所有λi=1，圖5b中所有λi=2。

Figure 5 H-Bézier curves with given tangent polygon

4 H-Bézier曲面

定義3 給定呈拓?fù)渚匦侮嚵械目刂祈旤c(diǎn)Vij∈R3(i,j=0,1,2)以及參數(shù)λu、λv∈[1,2]，稱：

為H-Bézier曲面，其中ai(u,λu)、aj(v,λv)(i,j=0,1,2)分別為含參數(shù)λu、λv的H-Bernstein基。

H-Bézier曲面具有與H-Bézier曲線類似的性質(zhì)，如凸包性、幾何不變性、對稱性等。另外，對于兩張H-Bézier曲面：

而言，當(dāng)Ri0=Vi2(i=0,1,2)時(shí)，兩曲面G0連續(xù)，當(dāng)Ri1-Ri0=C(Vi2-Vi1)(C>0)(i=0,1,2)時(shí)，若λi∈[1,2)(i=0,1,2)且不同時(shí)為2時(shí)，兩曲面G1連續(xù)；若λi=2(i=0,1,2)，則兩曲面G3連續(xù)。

圖6所示為由兩張H-Bézier曲面片構(gòu)成的組合曲面。圖6a中λi=1(i=0,1,2)，兩曲面G1連續(xù)；圖6b中λi=2(i=0,1,2)，則兩曲面G3連續(xù)。

Figure 6 Composite H-Bézier surface of G3 continuity

5 結(jié)束語

H-Bézier曲線不僅具備Bézier曲線的凸包性、幾何不變性、對稱性等基本性質(zhì)，而且具備形狀可調(diào)性，能夠精確表示雙曲線。此外，若選擇參數(shù)λ=2，則在構(gòu)造組合曲線時(shí)，只要相鄰曲線的控制頂點(diǎn)之間滿足普通Bézier曲線的G1光滑拼接條件，曲線間便可以達(dá)到G3光滑拼接。另外，用H-Bézier來構(gòu)造與給定多邊形相切的曲線，算法不僅簡單而且有效，且曲線對多邊形是保形的。下一步的目標(biāo)是對三次及三次以上的Bézier曲線進(jìn)行類似的擴(kuò)展，使曲線可以在簡單的條件下實(shí)現(xiàn)更高階的光滑拼接。

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YAN Lan-lan,born in 1982,PhD candidate,lecturer,her research interest includes computer aided geometric design.

韓旭里(1957-),男,湖南武岡人，博士，教授，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail:xlhan@csu.edu.cn

HAN Xu-li,born in 1957,PhD,professor,his research interest includes computer aided geometric design.

Quadratic hyperbolic Bézier curve and surface

YAN Lan-lan1,2，HAN Xu-li2,ZHOU Qi-hua1

(1.College of Science,East China Institute of Technology,Nanchang 330013;2.School of Mathematics and Statistics,Central South University,Changsha 410083,China)

When composite curves are constructed, the control points of the adjacent curves must meet certain conditions. In order to simplify the conditions, a kind of hyperbolic polynomial curve with parameters, called H-Bézier curve, which has a structure similar to the quadratic Bézier curve, is constructed. This curve has many basic properties of Bézier curve, such as convex hull property, symmetry, geometric invariance, endpoint interpolation and end edge tangent property. Besides, the curve has shape adjustability and can represent hyperbola. If special parameters are chosen, then when the control points of two adjacent curves satisfy the conditions for Bézier curve, they can achieve continuity. In addition, the method of constructing H-Bézier with given tangent polygon is given. This method is simple and effective, and the entire curve is conformal to the tangent polygon. Using tensor product method, the H-Bézier curve can be extended to surface, which also has many good properties.

curve design;Bézier curve;continuity;shape parameter;tangent polygon

1007-130X(2015)01-0162-06

2013-03-12;

2013-08-26基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11261003,11271376,60970097);江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ14493)

TP

A

10.3969/j.issn.1007-130X.2015.01.025

嚴(yán)蘭蘭(1982-),女,湖北浠水人,博士生，講師，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail:yxh821011@aliyun.com

通信地址：330013 江西省南昌市經(jīng)開區(qū)廣蘭大道418號東華理工大學(xué)理學(xué)院

Address:College of Science,East China Institute of Technology,418 Guanglan Avenue,Economic and Technological Development Zone,Nanchang 330013,Jiangxi,P.R.China