立體幾何四解套

胡建軍

數(shù)學(xué)教學(xué)很大程度上歸結(jié)為數(shù)學(xué)解題，立體幾何特別利用幾何法對于訓(xùn)練學(xué)生的空間位置和數(shù)量關(guān)系的，在初中平面幾何的基礎(chǔ)上有了更高的思維。所謂幾何法：就是從條件出發(fā)，以定義、公理、定理為依據(jù)，通過輔助構(gòu)圖和推理，計(jì)算解決。它需要一定的空間想象力和邏輯思維能力。當(dāng)然平面幾何的知識是離不開的基礎(chǔ)。說是立體幾何，研究是空間的，但始終要轉(zhuǎn)化為平面的。能否添加合適的輔助線和進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化是解決該題的關(guān)鍵。

如何有效、高效地突破和搞定立幾這個(gè)高考必考的大題？當(dāng)然一方面需要學(xué)生能對這個(gè)空間幾何體的直觀認(rèn)識看到位，另一方面筆者從大量的題解中總結(jié)出以下四點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)。相信對讀者解決立體幾何的困惑受益匪淺。

一、立體幾何的解題策略

1.底面平面化（研究的圖形，如三角形、四邊形，拎出來平面化）

根據(jù)立體圖形的直觀圖斜二測畫法，水平放置的平面圖形跟實(shí)際有較大差異，要認(rèn)識幾何體，首先要認(rèn)清底面的平面圖，所以在認(rèn)識該幾何體之前，先畫出底面的原形（底面俯視圖），在有關(guān)數(shù)量（長度）和位置（角度）的計(jì)算時(shí)亦如此，否則很多時(shí)候?qū)W生會看“走眼”。

例1.如圖1，PO⊥平行四邊形ABCD，AC，BD交于點(diǎn)O，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=2，M為PD的中點(diǎn)。

（1）求MA與面ABCD所成角的正切值；

（2）求二面角P-AD-C的平面角的余弦值。

2.有中點(diǎn)用好中位線、有等腰三角形用好三線合一

例3.圖7，四棱錐P-ABCD，ABCD是平行四邊形，PE：ED=2：1，在棱PC上確定一點(diǎn)F，使得BF∥面AEC。

分析：我們常用線線平行來判定線面平行，怎樣在面ACE內(nèi)找一條與BF平行？若過BF的面交面ACE與OM（圖7），則應(yīng)有OM∥BF，由三角形的中位線知M為DF的中點(diǎn)，由策略1把研究的平面PCD拎出來（圖8），由平面幾何及三角形中位線不難可得F為PC的中點(diǎn)；當(dāng)然我們也常用面面平行得到線面平行，若過BF的面BFN∥面ACE，則應(yīng)有BN∥OE，F(xiàn)N∥CE同樣可得F為PC的中點(diǎn)。

點(diǎn)評：立體幾何中的研究關(guān)系，歸根結(jié)底轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，而在有關(guān)平行的問題當(dāng)中，充分利用三角形的中位線及平行線分線段成比例，往往可使有關(guān)圖形一線牽。

3.若有面面垂直，務(wù)必作出線面垂直

立體幾何中最重要的位置關(guān)系是線面垂直，可以說無（垂）線不成題，幾何體中必定會有面的垂線，或已知、或隱藏、或推證、或求作。而面面垂直的性質(zhì)定理：若兩面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另外一個(gè)平面。給了我們?nèi)绾物@現(xiàn)面的垂線的一個(gè)方法！若兩相交平面垂直于第三個(gè)平面，求證兩相交平面的交線垂直于第三個(gè)平面。必須把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直（在證明時(shí)在一面內(nèi)作交線的垂線），從而通過線線之間的垂直關(guān)系解決相關(guān)問題。

例4.見例2，如圖3，（2）求PB和面PAC所成的角的余弦值；（3）求二面角A-PD-C的平面角的余弦值。

（1）求證：PC⊥面BDE；

（2）若A-PB-C為90°，求PD與面PBC所成的角。

分析：（1）由策略1拎出來△PAC，（圖11）平面幾何知識可得OE⊥PC，而BD⊥面PAC，∴PC⊥BD，∴PC⊥面BDE。

點(diǎn)評：存在面面垂直，點(diǎn)向面作垂線轉(zhuǎn)化為點(diǎn)向兩面的交線作垂線，原則上必須給出。

4.問題總是空間的、研究總是平面的

（1）求異面直線PD與BC所成角的余弦值；

（2）求二面角P-AB-C的大??；

點(diǎn)評：通過庖丁解牛，把平面圖看透，把空間中的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的平面中去，而后無非是初中的三角形或四邊形的平面幾何知識或解三角形等問題。

二、用好四解套，考題做著笑

（1）求證：MN∥面ABCD；

（2）過點(diǎn)A作AQ⊥PC于Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。

（1）求證：PQ∥BCD；

（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求C-BM-D的大小。

分析：（1）利用線線平行證線面平行，如圖利用中位線等易證 為平行四邊形；（2）由垂線法求作C-BM-D的二面角，作CO⊥BD，OH⊥BM，連接CH，則∠BDC=60°就是C-BM-D的二面角；

（1）求證：DE⊥面ACD；

（2）求二面角B-AD-E的大小.

（2）由垂線法，由B向面ADE作垂線，直觀感知，垂足落在 外面了，但垂足一定在某條特定的線上，圖24把該幾何體“補(bǔ)完整”（把△ACD平移至外面），則作BO⊥A1E，OH⊥AD，連接BH，θ=∠BHO是二面角B-AD-E的平面角，由圖26及解套4不難求得θ=∠BHO=30°.

三、一點(diǎn)感悟

數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。當(dāng)我們碰到一個(gè)新的內(nèi)容時(shí)，總想到用熟悉的題型、知識點(diǎn)去“套”，這應(yīng)該是基于解出來的基本要求，也正是基于這基本的要求，才能提出新看法，不斷利用舊有的東西解決新問題。充分利用數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯思維優(yōu)勢，讓學(xué)生在解決問題中逐步體會某一數(shù)學(xué)內(nèi)容的思維方式，慢慢揭開學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)，挖掘這一內(nèi)容蘊(yùn)含的思想價(jià)值和處理方式，真正關(guān)注對問題本質(zhì)的透視，希望這樣的教育教學(xué)研究能成為師生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種常態(tài)。

編輯 薛直艷