嫦娥三號軟著陸軌道的建模分析

申延成，商玉鳳，龐世春

(空軍航空大學(xué) 飛行基礎(chǔ)訓(xùn)練基地基礎(chǔ)部，長春130022)

0 引言

在進(jìn)行月面勘測時(shí)，為了保證儀器設(shè)備以及航天員的安全，登陸飛行器都是采用軟著陸的方式，所以登陸飛行器的軟著陸軌道設(shè)計(jì)至關(guān)重要。嫦娥三號于2013 年12 月2 日1 時(shí)30 分成功發(fā)射，12 月6 日抵達(dá)月球軌道。嫦娥三號的著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為6 個(gè)階段，要求滿足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)。

本文首先求出了嫦娥三號在近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度;其次，采用離散化的思想，對嫦娥三號的軟著陸過程進(jìn)行建模分析，將連續(xù)軌道離散化，根據(jù)每個(gè)階段兩個(gè)端點(diǎn)的狀態(tài)去確定階段中各個(gè)離散點(diǎn)的狀態(tài)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對飛行器軟著陸軌道的控制。經(jīng)仿真驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)本模型能較準(zhǔn)確地模擬出嫦娥三號的軟著陸軌道;最后，對模型進(jìn)行了誤差分析。

1 模型的建立與求解

以近月點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，近月點(diǎn)指向月心方向?yàn)閥 軸正方向，垂直于y 軸且與嫦娥三號在近月點(diǎn)速度方向相同的方向?yàn)閤 軸正方向，建立如圖1 所示的直角坐標(biāo)系。

由萬有引力定律可知，嫦娥三號在近月點(diǎn)所受的向心力即為月球?qū)ζ涞囊?，?

其中M 為月球的質(zhì)量，m 為嫦娥三號的質(zhì)量，r 為嫦娥三號在近月點(diǎn)與月心的距離，r'為嫦娥三號在近月點(diǎn)對橢圓軌道的曲率半徑。易得

聯(lián)立方程(1)(2)，代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)即可算出近月點(diǎn)的速度va=1692。2m/s，同理得遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度vb=1613.9m/s。

把從15km 到3km 主減速階段的軟著陸軌道用時(shí)間間隔進(jìn)行離散化，整個(gè)軌道可分割為N 個(gè)小段，每段的節(jié)點(diǎn)設(shè)一個(gè)推力方向，如圖2 所示。

在主減速階段，要使嫦娥三號獲得最好的減速效果，減少燃料消耗，應(yīng)該保持最大推力［1－2］，且使每一時(shí)刻的推力方向與當(dāng)時(shí)的速度矢量反向。當(dāng)時(shí)間間隔足夠小時(shí)，可以近似地把嫦娥三號在第i+1 時(shí)刻的位置點(diǎn)(xi+1，yi+1)指向第i 時(shí)刻的位置點(diǎn)(xi，yi)的方向作為推力的方向，即

圖1 直角坐標(biāo)系示意圖

其中θi是第i 時(shí)刻嫦娥三號運(yùn)動(dòng)方向與x 軸負(fù)向的夾角。

在間隔時(shí)間很小的情況下可以忽略質(zhì)量的變化，并且由比沖關(guān)系式可知，在一個(gè)時(shí)間間隔t 內(nèi)的燃油消耗量為

圖2 主減速階段的軟著陸軌道離散化

其中，F(xiàn) 是發(fā)動(dòng)機(jī)的推力，ve表示以米/秒為單位的比沖表示單位時(shí)間燃料消耗的公斤數(shù)。所以第i時(shí)刻末嫦娥三號質(zhì)量為

對嫦娥三號在第i 時(shí)刻至第i+1 時(shí)刻過程進(jìn)行受力分析，如圖3 所示。

由牛頓定律，容易得到

其中，F(xiàn)x、Fy分別表示合外力在x、y 軸上分量，ax、ay分別表示嫦娥三號在x、y 軸上的加速度。分析式(5)發(fā)現(xiàn):在第i 時(shí)刻至第i+1 時(shí)刻過程中，嫦娥三號沿x 軸和y 軸分別作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，于是可得到關(guān)于位移和速度的方程:

圖3 嫦娥三號的受力分析圖

其中，vXi+1、vYi+1分別為嫦娥三號第i+1 時(shí)刻速度vi+1在x、y 軸上的分量。這樣，由方程(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)便可表示出嫦娥三號在第i(i=0，1，…，N)時(shí)刻的質(zhì)量、速度和位移。

快速調(diào)整階段的分析過程與主減速階段完全類似，這里不再贅述。

在粗避障階段，首先對著陸區(qū)照片圖像進(jìn)行預(yù)處理，然后按下面的方法分步驟找出合適的懸停位置:

Step1:取一個(gè)固定點(diǎn)作為參考點(diǎn)，掃描所有的格點(diǎn)，確定每個(gè)點(diǎn)的高程值。

Step2:取適當(dāng)?shù)母叨乳g距值，并從最高的高度向下減一個(gè)間距作為起始判斷高程。

Step3:找出所有滿足該高程的點(diǎn)，判斷這些點(diǎn)是否在圖中可大致互相連接形成閉合的圈，并且在圈中存在比其高程小的閉合的圈;如果有，排除所有的在該圈內(nèi)以及所有圈上的點(diǎn)。

Step4:判斷高程再減一個(gè)間距，如果判斷高程未低于最低高程，執(zhí)行Step3。

Step5:在剩下的格點(diǎn)中選取行列相連足夠大且離中心點(diǎn)距離最短的矩形，作為最后的選擇點(diǎn)。

找到合適的懸停位置以后，采用與主減速階段同樣的分析方法來模擬這個(gè)階段嫦娥三號的運(yùn)行軌跡。只是考慮到在本階段末要求嫦娥三號水平速度為零懸停，我們分兩個(gè)階段來完成。第一個(gè)階段是移動(dòng)到懸停位置正上方，保證速度為零;第二個(gè)階段是豎直向下運(yùn)動(dòng)，直至將高度降至100m。

精避障階段采用與粗避障階段同樣的方法，首先對嫦娥三號高度為100m 時(shí)正下方的圖像照片進(jìn)行預(yù)處理，選取合適的著陸點(diǎn)。進(jìn)一步，嫦娥三號在精避障階段的狀態(tài)改變量較小，其軌跡可以近似成一條指向月心的軌道。

2 仿真計(jì)算

在主減速階段，已知嫦娥三號初始狀態(tài)為m=2400kg，θ0=0，x0=0，y0=0，vX0=va，vY0=0。代入初始狀態(tài)進(jìn)行遞歸就可以得到嫦娥三號主減速階段的運(yùn)動(dòng)軌跡。通過MATLAB 編程［3］，最終可以得出嫦娥三號在主減速階段的運(yùn)動(dòng)軌道，如圖4 所示。

圖4 嫦娥三號在主減速階段的的運(yùn)動(dòng)軌道

圖5 嫦娥三號在快速調(diào)整階段下運(yùn)動(dòng)軌跡

主減速階段共用時(shí)425.5 秒，本階段結(jié)束時(shí)，嫦娥三號高度為3km，距離近月點(diǎn)的高度差為11996m，水平距離為409.84km，使用燃料1084.9kg，嫦娥三號此時(shí)質(zhì)量為1315.1kg，沿x 軸正方向的速度49.75m/s，軸正方向的速度26.84m/s，合速度大小為56.53m/s，合速度方向跟x 軸正方向的夾角為28.2°.由高度差和合速度可以看出此模型具有較好的合理性。

快速調(diào)整階段的初始狀態(tài)為m=1315.1kg，θ0=0.49，vX0=49.75m/s，vY0=26.84m/s。代入初始狀態(tài)值進(jìn)行遞歸，使用MATLAB 編程便可得出嫦娥三號在快速調(diào)整階段沿坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖5 所示。

由圖5 可得，此軌跡與實(shí)際要求達(dá)到的狀態(tài)較為符合。在快速調(diào)整階段嫦娥三號高度下降了600m，水平運(yùn)動(dòng)了274.97m，使用的時(shí)間為10.8s，使用燃料質(zhì)量為27.8kg，嫦娥三號此時(shí)質(zhì)量為1287.2kg，沿x 軸正方向的速度為0.36m/s，y 軸正方向的速度為83.32m/s。

在粗避障階段，對照片處理得到圖6。然后，根據(jù)我們的搜索算法，很快就將像A、D、E 這樣的大坑中的點(diǎn)全部排除，最后留下B—C 走廊，其中B 是中心點(diǎn)的位置。顯然B 點(diǎn)周圍沒有較大的矩形以滿足于降落，所以沿著B 周圍遍歷，最后找到C 這個(gè)最佳懸停點(diǎn)，其位置坐標(biāo)為(950，1250)。在該階段嫦娥三號應(yīng)移動(dòng)距離為223.6m。通過MATLAB 仿真，此階段嫦娥三號的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7 所示。

圖6 距2400m 處的月球表面等高線圖

圖7 嫦娥三號粗避障階段的模擬軌跡

在精避障階段，對100m 處獲得的月面著陸區(qū)照片進(jìn)行處理得到圖8。然后，根據(jù)粗避障階段的算法，很容易得到A、B、C、D、E、F 處可能存在較大的坑，在選取著陸點(diǎn)時(shí)先把這幾塊矩形所包圍的面積剔除。為了節(jié)省油料，可選取與中心點(diǎn)距離最短的點(diǎn)為著陸點(diǎn)。用窮舉法，發(fā)現(xiàn)(54.33，38.64)滿足可行域，且離中心較近。

圖8 距100m 處的月球表面等高線圖

圖9 嫦娥三號的整個(gè)軟著陸軌道模擬圖

精避障階段與粗避障階段過程相似，并且嫦娥三號的狀態(tài)改變量較小，其軌跡可以近似成一條指向月心的軌道。在緩速下降階段和自由落體階段嫦娥三號只是垂直下落，沒有橫向的位移。于是，從粗避障過程的第三階段開始到著陸都是一條指向月心的軌道。結(jié)合前面幾個(gè)階段的運(yùn)行軌跡，可以得到整個(gè)過程的著陸軌跡，如圖9 所示。

3 誤差分析

在著陸軌道的確定上，因?yàn)榻馕龇y以求解，所以本文采用將軌道離散化分段控制的方法，來計(jì)算著陸軌道。通過列出第i 時(shí)刻至第i+1 時(shí)刻過程中各個(gè)量之間的關(guān)系，由初始狀態(tài)去遞推出各個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)。也就是說，在本模型中只能知道每個(gè)時(shí)間區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的狀態(tài)，若想知道區(qū)間中某個(gè)點(diǎn)的狀態(tài)，只能用區(qū)間端點(diǎn)的狀態(tài)去替代。進(jìn)一步，在對著陸軌跡曲線的處理過程中，采用了以直代曲的思想，如圖10 所示。

綜合以上分析，在本模型中，控制的時(shí)間間隔t 越大，誤差越大。

4 結(jié)語

月球軟著陸是月球探測中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，如何實(shí)施軟著陸以及如何更好地實(shí)現(xiàn)對其控制并在過程中盡量減少燃料的消耗，已成為月球探測研究工作中的重中之重。本文建模思想簡單，操作性強(qiáng)，對探測器的軟著陸軌道設(shè)計(jì)具有一定的參考意義。

圖10 以直線長代替弧線長示意圖

［1］ 孫軍偉，喬棟，崔平遠(yuǎn).基于SQP 方法的常推力月球軟著陸軌道優(yōu)化方法［J］.宇航學(xué)報(bào)，2006(1):99－102.

［2］ 趙吉松，谷良賢，潘雷.月球最有軟著陸兩點(diǎn)邊值問題的數(shù)值解法［J］，中國空間科學(xué)技術(shù)，2009(4):21－27.

［3］ 金明，阮沈勇.MATLAB 實(shí)用教程［M］.2 版.北京:電子工業(yè)出版社，2008.