低軌雙星定位中雷達(dá)信號時頻差快速估計算法

楊宇翔，夏暢雄，陳 鯨，熊瑾煜

(西南電子電信技術(shù)研究所盲信號處理重點(diǎn)實驗室 成都 610041)

低軌雙星定位中雷達(dá)信號時頻差快速估計算法

楊宇翔，夏暢雄，陳 鯨，熊瑾煜

(西南電子電信技術(shù)研究所盲信號處理重點(diǎn)實驗室 成都 610041)

針對互模糊函數(shù)進(jìn)行時頻差聯(lián)合估計時運(yùn)算量大、受采樣率和數(shù)據(jù)量限制，兩者估計精度難以同時提高的問題，結(jié)合雷達(dá)信號的周期性和低軌雙星中信號信噪比高、時頻差范圍有限等特點(diǎn)，提出了一種通過時域周期延拓計算相關(guān)函數(shù)主值區(qū)間，再利用脈內(nèi)信號計算混合積信號頻譜，最后由Chirp-Z變換完成時頻域的高效插值，獲取時頻差精確估計的分步算法。仿真結(jié)果表明該算法在降低運(yùn)算量同時，保證了估計精度。

頻差; 低軌雙星; 無源定位; 雷達(dá)信號; 時差

衛(wèi)星干擾源定位系統(tǒng)中，利用干擾源信號到達(dá)兩顆同步軌道衛(wèi)星產(chǎn)生的時差、頻差完成對干擾源的定位[1-2]。同樣利用兩顆低軌衛(wèi)星也能完成定位，并且與同步軌道衛(wèi)星相比，低軌衛(wèi)星具有軌道高度低、飛行速度快的特點(diǎn)，其定位精度更高[3-6]。文獻(xiàn)[7]分析了低軌雙星對雷達(dá)無源定位的可行性，并針對脈沖信號頻差參數(shù)估計的模糊問題，提出了分時雙時差粗定位消除頻差測量模糊，并結(jié)合了時頻差聯(lián)合定位的解決思路，但如何提取雷達(dá)信號的時頻差參數(shù)并未討論。通常均采用互模糊函數(shù)完成時頻差聯(lián)合估計[8-12]，通過時域-頻域平面上的二維搜索，得到峰值點(diǎn)，對應(yīng)時域頻域上的值即為時頻差的估計值。該方法運(yùn)算量大，同時受采樣率和數(shù)據(jù)量大小的限制，很難同時提高時差、頻差的估計精度。本文針對雷達(dá)信號的周期性、占空比小的特性，提出了一種雷達(dá)信號時頻差快速估計算法。

1 低軌雙星定位原理

低軌雙星時差/頻差定位系統(tǒng)由一主一輔兩顆低軌衛(wèi)星組成，如圖1所示。兩衛(wèi)星同軌運(yùn)行，都在信號的輻射范圍內(nèi)，由于信號距離兩顆衛(wèi)星的路徑和徑向速度不同，兩衛(wèi)星接收信號間具有時差(time difference of arrival, TDOA)和頻差(frequency difference of arrival, FDOA)，有：

式中，0f為信號頻率；c為光速；1r、2r分別為兩衛(wèi)星的位置矢量；1v，2v分別為兩衛(wèi)星的速度矢量；r為干擾源的位置矢量；兩衛(wèi)星相對于目標(biāo)的單位矢量別為

估計出時差、頻差，再結(jié)合地球球面方程，求解式(1)，便可得到干擾源的位置。

2 定位參數(shù)估計

根據(jù)定位方程式(1)，衛(wèi)星的位置、速度可以由星歷獲得，則求解目標(biāo)位置的關(guān)鍵是要估計到達(dá)兩顆衛(wèi)星的信號之間的時差和頻差。

2.1 信號模型及互模糊函數(shù)原理

設(shè)兩衛(wèi)星接收信號分別為x(t)和y(t)，包括目標(biāo)發(fā)射信號s(t)和加性高斯噪聲n1(t)和n2(t)，有：

式中，r為相對衰減系數(shù)；D0為相對時延TDOA；fd為相對多普勒頻移FDOA；ωc為信號的載波頻率；?1,?2分別為兩路信號的相位。

兩路信號的互模糊函數(shù)定義為：

2.2 雷達(dá)信號的時差估計

工程應(yīng)用中一般通過測量脈沖上升沿來計算兩路雷達(dá)信號之間的時差。該測量方法的測量精度受采樣率、信號幅度一致性的影響較大，為進(jìn)一步提高時差測量，可以采用相關(guān)的方法，信號x(t)和y(t)的相關(guān)表達(dá)式為：

將式(2)代入式(4)，則有：

式中，有：

假設(shè)噪聲間是獨(dú)立的，信號與噪聲沒有相關(guān)性，則式(5)中除了等式右邊第一項不為零，其他項都為零，求其模值，可得：

可見，相關(guān)函數(shù)的模值受到兩路信號頻差的影響，在積分時間較短時，由于雙星條件下的頻差大小有限，式(7)中指數(shù)項可以近似為常數(shù)項，對相關(guān)峰值的影響不大。

雷達(dá)信號時差估計精度下界的表達(dá)式[12]為：

式中，N為脈沖個數(shù)；τ為脈寬；Bs為噪聲帶寬；B為信號帶寬；γ為等價信噪比；BNτ為相關(guān)增益。

由式(8)可知，為獲得更高精度的時差估計，需要通過增加脈沖積累個數(shù)延長觀測時間。實際應(yīng)用中均是對采集的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，故下面的討論均采用離散表達(dá)式。此外，為方便討論，定義T為脈沖重復(fù)周期，K為脈沖重復(fù)周期對應(yīng)的采樣點(diǎn)數(shù)，M為脈內(nèi)樣點(diǎn)數(shù)，L為信號總樣點(diǎn)數(shù)，后面討論均按此定義。

此時，積分時間的增加使得式(7)中頻差造成的指數(shù)項不能近似為常數(shù)，兩信號的頻率出現(xiàn)明顯的差異，導(dǎo)致相關(guān)計算誤差較大?？紤]離散化后的兩路信號x(n)和y(n)的相關(guān)函數(shù)，可等效為3個FFT的快速計算，有：

式中，X(k)、Y(k)分別是x(n)、y(n)的傅里葉變換。

對于兩路信號頻譜共軛相乘，由于雷達(dá)信號是周期性信號，延長采樣時間時其頻譜將逐漸成為梳狀譜，譜線間的間隔頻率即為信號的重復(fù)頻率。當(dāng)兩路信號之間存在頻差時，譜線位置就不一樣，如圖2所示。圖中，“.”和“*”分別描繪了兩路雷達(dá)信號的頻譜。顯然，頻差的存在導(dǎo)致兩路信號頻譜幅度較大的譜線沒有重合，共軛相乘接近于零，能量無法積累，再通過IFFT計算相關(guān)結(jié)果，峰值無法體現(xiàn)，即頻差存在對時差估計的影響主要是雷達(dá)信號的周期性導(dǎo)致的頻譜離散化引起的。

假設(shè)雷達(dá)信號x(n)有N個脈沖，每個脈沖周期對應(yīng)的樣點(diǎn)數(shù)為K，則其長度LNK=。對x(n)以K點(diǎn)分段進(jìn)行處理，其離散傅里葉變換為：

式中，0N表示長度為N的零序列。對式(10)抽取N倍，可得：

此時求得的時差分辨率受采樣率的限制。一般通過增加IFFT的長度或?qū)ο嚓P(guān)峰進(jìn)行多項式擬和插值來提高時域的分辨率。第一種方法運(yùn)算量巨大，第二種方法插值后精度不高。本文根據(jù)CZT(Chirp-Z Transform)[14]提出一種可以任意分辨率對相關(guān)峰進(jìn)行插值的方法，由于只需在已求得的時差左右各半個采樣間隔內(nèi)計算，運(yùn)算量非常小。

上述雷達(dá)信號的時差估計方法，通過對信號延拓并剔除主值區(qū)間外的相關(guān)計算，避免了頻譜呈離散化譜線時頻差對時差估計的影響。另外，通過將長度LNK=的FFT計算轉(zhuǎn)換為N段K點(diǎn)的FFT計算，并結(jié)合高效CZT插值的方式，在保證精度的同時，降低了運(yùn)算量。

2.3 雷達(dá)信號的頻差估計

估計并補(bǔ)償時差后，還需要頻差才能定位。與時差類似，頻差范圍可根據(jù)星歷計算，因為信號信噪比較高，一般情況下的估計結(jié)果在頻差范圍內(nèi)不會出現(xiàn)重頻模糊。即使出現(xiàn)了模糊，也可通過雙時差粗定位的方法解模糊[7]，或通過多級頻率估計方法在頻差范圍內(nèi)完成解模糊[15]，頻差估計精度下界

由式(13)可知，頻差估計精度與積累時間關(guān)系最為密切，積累時間越長，估計精度越高。因此需要積累足夠多個脈沖才能提取較為精確的頻差。而脈寬遠(yuǎn)小于脈沖重復(fù)周期，即有大量的脈間無用信號，可利用這一特征，改進(jìn)互模糊函數(shù)，降低雷達(dá)信號頻差提取的運(yùn)算量。

首先，通過求得的時差將兩路信號對齊后共軛相乘得到混合積信號。脈沖對齊后，兩路信號共軛相乘時有足夠多的樣點(diǎn)不為零，混合積信號為：

此外，還有學(xué)者從契約融合的角度進(jìn)行分析.如Xiong等 [10-11]在回購契約的基礎(chǔ)上考慮了數(shù)量彈性契約，Chung等[12]將價格折扣激勵契約融入數(shù)量彈性契約之中，Lumsakul等[13]設(shè)計了一組收益共享契約與數(shù)量彈性契約的復(fù)合式契約，朱海波和胡文[14]研究了期權(quán)與數(shù)量柔性契約的融合.也有研究從不同行業(yè)為對象，如Li等[15]以化妝品行業(yè)供應(yīng)鏈為對象，構(gòu)建了數(shù)量彈性契約下的兩階段動態(tài)模型，求解零售商和制造商的最優(yōu)訂貨和定價策略.

式中，T為脈沖重復(fù)周期?？梢?，此時對頻差的估計就是對頻率fd的估計。假定采集到N個脈沖的雷達(dá)信號，則求頻差就是對式(14)的混合積信號脈沖串zi(n)作FFT，求其頻譜最大值對應(yīng)頻率，與式(11)類似，以脈沖重復(fù)周期對混合積信號進(jìn)行分段計算其傅里葉變換為：

因為可根據(jù)衛(wèi)星星歷計算其覆蓋范圍內(nèi)的頻差范圍，故式(15)中DFT計算部分采用CZT方法以分辨率fs/L直接計算頻差范圍頻譜，有：

上述雷達(dá)信號頻差提取方法利用了分段計算傅里葉變換的思想，只對脈內(nèi)信號進(jìn)行處理，同時通過CZT變換實現(xiàn)局部頻域的快速高分辨率計算，提高分辨率的同時減少了運(yùn)算量。

2.4 低軌雙星雷達(dá)信號時頻差快速估計流程

綜上所述，本文提出的低軌雙星定位中雷達(dá)信號時頻差快速估計算法，流程框圖如圖4所示。

具體步驟為：

1) 對雷達(dá)信號作自相關(guān)，求得脈沖重復(fù)周期；

2) 以脈沖重復(fù)周期對雷達(dá)信號作周期延拓；

3) 計算式(12)中第一項的相關(guān)函數(shù)主值區(qū)間，求得時差粗估值；

4) 利用CZT在粗估值附近精估時差；

5) 對其中一路雷達(dá)信號完成時差補(bǔ)償；

6) 將補(bǔ)償時差后的兩路雷達(dá)信號進(jìn)行共軛相乘；

7) 以脈沖重復(fù)周期結(jié)合CZT分段計算頻差范圍頻譜，求得頻差粗估值；

8) 利用CZT在粗估值附近精估頻差。

2.5 運(yùn)算量分析

根據(jù)圖4所示的流程框圖，統(tǒng)計每步計算包含的復(fù)乘次數(shù)，得到低軌雙星定位中雷達(dá)信號時頻差快速估計算法的運(yùn)算量分析結(jié)果，如表1所示。自相關(guān)計算求脈沖重復(fù)周期時只需兩個脈沖周期即可；計算混合積信號時只需考慮脈內(nèi)信號部分。對K點(diǎn)序列做P點(diǎn)輸出的CZT的復(fù)乘次數(shù)[16]為：

式中，Q是保證Q≥K+P?1條件下，2的整數(shù)次冪。P1,P2,P3分別表示時差精估時、分段計算頻差范圍頻譜和頻差精估時的CZT輸出點(diǎn)數(shù)。

3 仿真分析

本文將從運(yùn)算量和精度兩方面，對低軌雙星定位中雷達(dá)信號時頻差快速估計算法的性能進(jìn)行仿真分析。

仿真參數(shù)設(shè)置如下：采樣率為10 MHz，雷達(dá)信號頻率為1 GHz，信號帶寬為1 MHz，重復(fù)周期為500 μs，脈寬50 μs，時差搜索范圍為?200～200 μs，頻差搜索范圍為?2～2 kHz。

3.1 運(yùn)算量對比分析

將本文算法與傳統(tǒng)的互模糊函數(shù)方法均按照先粗估后精估的方式進(jìn)行運(yùn)算量的對比分析，且時頻差精估計的分辨率均為1 ns和1 mHz，得到如圖5所示的兩種方法運(yùn)算量隨觀測時間變化的對比圖。

由圖5可知，相比傳統(tǒng)的模糊函數(shù)方法，本文的算法的運(yùn)算量要小得多，且隨著觀測時間的增加，優(yōu)勢更為明顯，能降低兩個數(shù)量級以上?？焖俟烙嬎惴ǖ倪\(yùn)算量隨著觀測時間的增加而反降，這是因為在信號參數(shù)不變時，前6個步驟運(yùn)算量恒定，在后兩步驟中，步驟8)求頻差精估值時的運(yùn)算量又是主導(dǎo)因素。隨著觀測時間增加，原始頻率分辨率提高，需要的插值倍數(shù)減小，CZT輸出點(diǎn)數(shù)3P減少，運(yùn)算量降低。雖然觀測時間的增加導(dǎo)致步驟7)中CZT輸出點(diǎn)數(shù)2P增加，但其導(dǎo)致的運(yùn)算量的增大量卻小于步驟8)的減小量，故出現(xiàn)了運(yùn)算量隨觀測時間的增加而反降的情況，若時間無限延長，最終運(yùn)算量將趨于恒定值。這說明本文算法的運(yùn)算量受觀測時間的影響很小，對于大數(shù)據(jù)量的處理更具優(yōu)勢。

3.2 時頻差估計精度仿真分析

假定兩顆間隔80 km的低軌衛(wèi)星，其軌道根數(shù)如表2所示。

表中，a是半長徑，e是偏心率，i是傾角，ω是衛(wèi)星過近地點(diǎn)角的經(jīng)度，Ω是升交點(diǎn)赤經(jīng)，M是平近地點(diǎn)角。在兩顆衛(wèi)星共視區(qū)域內(nèi)隨機(jī)生成輻射源的位置，根據(jù)其相對于兩顆衛(wèi)星的幾何關(guān)系和星歷產(chǎn)生存在時頻差的兩路雷達(dá)信號，再添加相應(yīng)功率的高斯噪聲，利用本文方法完成100次蒙特卡洛仿真，得到如下統(tǒng)計結(jié)果。

脈寬為50 μs，積累10個脈沖時，不同信噪比條件下，本文方法和傳統(tǒng)方法的時頻差估計精度與克拉美羅下界的曲線圖如圖6所示。在脈寬和脈沖個數(shù)確定的前提下，隨著信噪比提高，時頻差估計精度相應(yīng)提高。

脈寬為50 μs，信噪比10 dB時，不同脈沖積累個數(shù)條件下，本文方法和傳統(tǒng)方法的時頻差估計精度與克拉美羅下界的曲線圖如圖7所示。當(dāng)脈寬和信噪比確定時，脈沖積累個數(shù)增加，相關(guān)增益BNτ隨之增大，時差估計精度提高，如式(8)所示；脈沖個數(shù)N和相關(guān)增益BNτ均隨之增大，頻差估計精度提高，如式(13)所示。

積累10個脈沖，信噪比10 dB時，不同脈沖寬度條件下，本文方法和傳統(tǒng)方法的時頻差估計精度與克拉美羅下界的曲線圖如圖8所示。當(dāng)脈沖積累個數(shù)和信噪比確定時，脈寬增加，相關(guān)增益BNτ增大，時頻差估計精度隨之提高，如式(8)和式(13)所示。

通過上述不同條件下的時頻差估計精度與克拉美羅下界變化曲線的對比可以看出，本文的方法在各種條件下均能夠很好地逼近克拉美羅理論下界，均能實現(xiàn)相應(yīng)條件下的最優(yōu)估計。

4 結(jié) 束 語

本文針對低軌雙星條件下雷達(dá)信號信噪比高、呈周期性的特點(diǎn)，在互模糊函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一種運(yùn)算量小、精度高的雷達(dá)信號時頻差快速估計算法。該方法避免了互模糊函數(shù)中的二維搜索，利用高效的CZT插值方法，大幅提高了時頻域上的計算分辨率，在提高計算速度的同時，保證了算法的估計精度。仿真結(jié)果表明，在觀測時間20 ms以上時，該算法的運(yùn)算量相對互模糊函數(shù)方法能降低兩個數(shù)量級以上，并在各條件下均能逼近時頻差估計的克拉美羅理論下界。故該算法可以有效地提升低軌雙星定位系統(tǒng)對雷達(dá)信號定位的時效性和準(zhǔn)確性。

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編 輯 稅 紅

Fast Algorithm of TDOA and FDOA Estimation for Radar Signals in LEO Dual-Satellite Location

YANG Yu-xiang, XIA Chang-xiong, CHEN Jing, and XIONG Jin-yu
(Science and Technology on Blind Signal Processing Laboratory, Southwest Electronics and Telecommunication Technology Research Institute Chengdu 610041)

Cross ambiguity function (CAF) in the joint estimation of time difference of arrival (TDOA) and frequency difference of arrival (FDOA) is limited by large computation load, sampling rate and data size. To solve these problems, a fast algorithm of TDOA and FDOA estimation based on the characteristics of radar signal in the situation of LEO dual-satellite passive location is proposed, which first estimates the TDOA by prolonging the signals periodically and only computes the main zone of the correlation function, then estimates the FDOA by Fourier transform of the mixed signal only with the internal signal of pulses, and finally interpolates in time domain and frequency domain effectively. The simulation results show that the proposed algorithm not only decreases the computation load but also guarantees the high estimation accuracy.

FDOA; LEO dual-satellite; passive location; radar signal; TDOA

TN911.7

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2015.03.002

2013 ? 05 ? 16;

2014 ? 12 ? 31

部級基礎(chǔ)科研項目；部級預(yù)研基金

楊宇翔(1984 ? )男，博士生，主要從事信號處理、目標(biāo)檢測定位等方面的研究.