分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下復(fù)合期權(quán)的定價(jià)

林 漢 燕

(桂林航天工業(yè)學(xué)院 理學(xué)部, 廣西 桂林 541004)

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分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下復(fù)合期權(quán)的定價(jià)

林 漢 燕*

(桂林航天工業(yè)學(xué)院 理學(xué)部, 廣西 桂林 541004)

在市場股價(jià)滿足分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型的條件下,采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法推導(dǎo)出有紅利支付的標(biāo)的看漲期權(quán)的看跌期權(quán)及另外3種復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式,所得結(jié)果類似于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)模型下的情形.

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng); 復(fù)合期權(quán); 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)

復(fù)合期權(quán)是一類以期權(quán)為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán),其研究起源于Black和Scholes關(guān)于期權(quán)定價(jià)的工作. 復(fù)合期權(quán)主要有四種類型:標(biāo)的看跌期權(quán)的看跌期權(quán)、標(biāo)的看跌期權(quán)的看漲期權(quán)、標(biāo)的看漲期權(quán)的看跌期權(quán)、標(biāo)的看漲期權(quán)的看漲期權(quán). 復(fù)合期權(quán)有兩個(gè)到期日和兩個(gè)執(zhí)行價(jià)格. 復(fù)合期權(quán)的理論及應(yīng)用的研究一直被學(xué)者們關(guān)注.目前,復(fù)合期權(quán)理論已廣泛應(yīng)用于資產(chǎn)價(jià)值評估、企業(yè)戰(zhàn)略決策和激勵(lì)機(jī)制設(shè)計(jì)等方面.

復(fù)合期權(quán)定價(jià)一般采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法,1979年Geske提出的定價(jià)法[1]為后來復(fù)合期權(quán)定價(jià)的研究奠定了基礎(chǔ). 由于該模型基于Black-Scholes假設(shè),存在一定局限性,所以很多學(xué)者對該模型進(jìn)行了推廣,以獲得更廣泛的應(yīng)用.Buraschi等放松了標(biāo)的資產(chǎn)遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè),研究標(biāo)的資產(chǎn)遵循一般擴(kuò)散過程的復(fù)合期權(quán)定價(jià)[2]. 張學(xué)超等改變Geske定價(jià)法中利率和波動(dòng)率都是常數(shù)的情形,推導(dǎo)出具有隨機(jī)利率和波動(dòng)率的復(fù)合期權(quán)定價(jià)公式[3]. 趙建國等在跳-擴(kuò)散模型下研究復(fù)合期權(quán)的定價(jià)問題[4]. 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型由于自身具有的相似性和長期相關(guān)性,使得在描述股票的運(yùn)動(dòng)時(shí)能較好地反映運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 本文在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下,應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法推導(dǎo)復(fù)合期權(quán)的一般定價(jià)公式.

1 基本模型

設(shè)(Ω,F,Ft,P)是一個(gè)具有σ-流的概率空間,其中Ft是由Hurst參數(shù)為H的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)BH(t)生成的σ-流. 現(xiàn)假定在分?jǐn)?shù)Black-Scholes市場僅有兩種資產(chǎn),一種是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),其價(jià)格A(t)滿足

dA(t)=rA(t)dt,A(0)=1.

另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),其價(jià)格S=S(t)服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

dS(t)=(u-q)S(t)dt+σS(t)dBH(t),

S(0)=S0,

其中,t∈[0,T],標(biāo)的資產(chǎn)的瞬間期望收益率μ、無風(fēng)險(xiǎn)利率r、紅利率q和瞬間波動(dòng)率σ均為常數(shù),且σ>0,μ>r>0.

引理2[6]設(shè)函數(shù)f滿足E[f(BH(t))]<∞,則對任意t∈[0,T],

2 主要結(jié)論及證明

考慮一個(gè)標(biāo)的看漲期權(quán)的看跌期權(quán). 設(shè)T1、K1分別為復(fù)合期權(quán)的到期日和執(zhí)行價(jià)格,T(T1

定理1標(biāo)的看漲期權(quán)的看跌期權(quán)在任意時(shí)刻t∈[0,T1]的價(jià)格為:

PC(t,S)=-S(t)e-q(T-t)N2(-a1,b1;-ρ)+Ke-r(T-t)N2(-a2,b2;-ρ)+K1e-r(T1-t)N(-a2),

其中,

是相關(guān)系數(shù)為ρ的二元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積概率;這里,

a1=

b1=

證明設(shè)標(biāo)的看漲期權(quán)在t∈[0,T]時(shí)刻價(jià)格為C(t,S),由文獻(xiàn)[6]知在T1時(shí)刻有

C(T1,S(T1))=

S(T1)e-q(T-T1)N(d1)-Ke-r(T-T1)N(d2),

其中,

由引理1知在t∈[0,T1]時(shí)刻,

下面分別計(jì)算I1、I3和I2.由引理2得

I1=

K1e-r(T1-t)N(-a2)，

其中,

上式中，

所以令

得

I2=

-S(t)e-q(T-t)N2(-a1, b1;-ρ)，

其中,

定理1得證.

同理可得其它3種復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式.

定理2標(biāo)的看漲期權(quán)的看漲期權(quán)在任意時(shí)刻t∈[0, T1]的價(jià)格為:

CC(t,S)=S(t)e-q(T-t)N2(a1,b1;ρ)-

Ke-r(T-t)N2(a2,b2;ρ)-K1e-r(T1-t)N(a2).

定理3標(biāo)的看跌期權(quán)的看漲期權(quán)在任意時(shí)刻t∈[0, T1]的價(jià)格為:

CP(t,S)=-S(t)e-q(T-t)N2(-a1,-b1;ρ)+

Ke-r(T-t)N2(-a2,-b2;ρ)-

K1e-r(T1-t)N(-a2).

定理4標(biāo)的看跌期權(quán)的看跌期權(quán)在任意時(shí)刻t∈[0, T1]的價(jià)格為:

PP(t,S)=S(t)e-q(T-t)N2(a1,-b1;-ρ)-

Ke-r(T-t)N2(a2,-b2;-ρ)+

K1e-r(T1-t)N(a2).

定理2～4中T1、K1分別為復(fù)合期權(quán)的到期日和執(zhí)行價(jià)格,T (T1

[1] Geske R. The valuation of compound options[J]. Journal of Financial Economics, 1979, 7(1): 63-81.

[2] Buraschi A, Dumas B. The forward valuations of compound option[J]. Journal of Derivatives, 2001, 9(1): 8-17.

[3] 張學(xué)超,宣國良. 具有隨機(jī)利率和波動(dòng)率的復(fù)合期權(quán)定價(jià)[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 23(4): 153-156.

[4] 趙建國, 師 恪. 跳-擴(kuò)散模型下的復(fù)合期權(quán)定價(jià)公式[J]. 新疆大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2006, 23(3): 257-263, 276.

[5] Elliott R J,Van D H J. A general fractional white noise theory and applications to finance[J]. Mathematical Finance, 2003, 13(2): 301-330.

[6] Necula C. Option pricing in a fractional Brownian motion environment[J]. Pure Mathematics, 2002, 2: 63-68.

Compound option pricing in a fractional Brownian motion environment

LIN Hanyan

(Department of Science, Guilin University of Aerospace Technology, Guilin, Guangxi 541004)

Based on the underlying driven by a fractional Brownian motion, formulas of pricing put option on a call option and other three kinds of compound options paying dividend are derived by risk neutral valuation. They are similar to the results based on the standard Brownian motion model.

fractional Brownian motion; compound option; risk neutral valuation

2014-05-30.

廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(0991091);廣西教育廳科研項(xiàng)目(YB2014436).

1000-1190(2015)01-0007-04

O211.6

A

*E-mail: linhanyan2006@163.com.