關(guān)于亞純函數(shù)φ(z)f(z)M[f]的值分布

金 瑾, 李 里

(1.畢節(jié)學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 貴州 畢節(jié) 551700; 2.貴州電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 管理工程系, 貴陽 550003)

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關(guān)于亞純函數(shù)φ(z)f(z)M[f]的值分布

金 瑾1*, 李 里2

(1.畢節(jié)學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 貴州 畢節(jié) 551700; 2.貴州電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 管理工程系, 貴陽 550003)

設(shè)k和n0,n1,…,nk為任意的非負(fù)數(shù),函數(shù)f(z)是復(fù)平面上超越亞純函數(shù),函數(shù)φ(z)為f(z)的小函數(shù),且φ(z)≡ /0.超越函數(shù)M[f]=(f(z))n0(f′(z))n1…(f(k)(z))nk.該文討論了超越亞純函數(shù)φ(z)f(z)M[f]值分布,提出一個新的定理,并進(jìn)行了較為詳細(xì)的證明.

超越亞純函數(shù);Nevanlinna理論; 值分布

1 引言與主要結(jié)果

195 9年,Hayman證明了下面的著名定理.

定理A[1]設(shè)f(z)為超越亞純函數(shù),n為正整數(shù),如果n≥3,則fn(z)f′(z)取每一個非零有窮復(fù)數(shù)無窮多次.

Hayman在文獻(xiàn)[2]中還猜測:定理A的結(jié)論對n=1和n=2也成立.1979年,Mues在文獻(xiàn)[3]中解決了n=2的情形.1995年,Bergweiler和Eremenko[4],陳懷惠和方明亮[5]獨(dú)立地解決了n=1的情形,并得到如下定理.

定理B[4-5]設(shè)f(z)為超越亞純函數(shù),則f(z)f′(z)取每一個非零有窮復(fù)數(shù)無窮多次.

Sons,Steinmetz,楊重俊,楊樂,王躍飛等做了大量的工作并得到了許多重要的結(jié)果[6-11].

199 9年,龐學(xué)誠和Zalcman得到如下結(jié)果.

定理C[9]設(shè)f(z)為超越整函數(shù),k和n為正整數(shù),f(z)的所有零點(diǎn)的重?cái)?shù)至少為k,則fn(z)f(k)(z)取每一個非零有窮復(fù)數(shù)無窮多次.

200 4年,張占亮對函數(shù)f(k)(z)-afn(z)進(jìn)行了研究,并得到了如下結(jié)論.

定理D[15]設(shè)f(z)為平面內(nèi)的超越亞純函數(shù),a為非零有窮復(fù)數(shù),則當(dāng)n≥k+3時,函數(shù)f(k)(z)-afn(z)有無窮多個零點(diǎn).

200 6年,王建平和儀洪勛在文獻(xiàn)[16]中證明了定理E和定理F.

定理E[16]設(shè)f(z)為超越亞純函數(shù),k正整數(shù)(k≥2),f(z)的所有零點(diǎn)的重?cái)?shù)至少為n,則對每一個k(k≥2),f(z)f(k)(z)取每一個非零有窮復(fù)數(shù)無窮多次.其中,當(dāng)2≤k≤4時n=k+1;當(dāng)k=5時,n=5;當(dāng)k≥6時,n=6.

定理F[16]設(shè)f(z)為超越亞純函數(shù),f(z)的所有零點(diǎn)的重?cái)?shù)至少為n,則f(z)f(n)(z)取每一個非零有窮復(fù)數(shù)無窮多次.至多除去3個可能的例外正整數(shù)n=2,3,4.

200 6年,鄒溫林和張慶德將上述結(jié)果改進(jìn)得到下面結(jié)果.

200 7年,江秀海和高凌云得到如下結(jié)論.

定理H[18]設(shè)f(z)為平面內(nèi)的超越亞純函數(shù),a為任意非零復(fù)數(shù),對任意的正整數(shù)m,i0,i1,…,in,λ=i0+i1+…+in,Δ=i1+2i2+…+nin,則當(dāng)m≥λ+Δ+2時,

wm+awi0(w′)i1(w″)i2…(w(n))in

可取無窮多個零點(diǎn).

200 8年,方明亮又研究了f(z)+a(f′(z))n的值分布,得到下面結(jié)論.

定理I[19]設(shè)f(z)為平面內(nèi)的超越亞純函數(shù),a為非零復(fù)數(shù),對任意的正整數(shù)n≥2,函數(shù)f(z)+a(f′(z))n取每一個有窮復(fù)數(shù)無窮多次.

本文利用亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論和技巧,進(jìn)一步探討亞純函數(shù)的值分布,得到如下結(jié)論.

這個結(jié)論改進(jìn)了文獻(xiàn)[18-19,33-34]中的相關(guān)結(jié)論.

2 引理及其證明

證明因

M[f]=(f(z))n0(f′(z))n1…(f(k)(z))nk,

且n0,n1,…,nk都是正整數(shù).l=n0+n1+…+nk,所以

引理2設(shè)f(z)為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),φ(z)為f(z)的不恒為零的小函數(shù),φ(z)≡/0,M[f]=(f(z))n0(f′(z))n1…(f(k)(z))nk,k為正整數(shù),n0,n1,…,nk為全為零的非負(fù)數(shù).l=n0+n1+…+nk.則

證明首先證明φ(z)fn(z)P[f]不恒為常數(shù).

假設(shè)φ(z)f(z)M[f]為常數(shù),則可設(shè)φ(z)f(z)M[f]=C(C為常數(shù)),顯然C≡/0,且

由此可得

故

這與f(z)為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù)矛盾,即φ(z)fn(z)P[f]不恒為常數(shù).

又由引理1及

可得

因此

(1)

記

(2)

(3)

設(shè)z0為f(z)的p級零點(diǎn),為φ(z)的t級極點(diǎn),而且

則當(dāng)p≤k,則z0為(φfM[f])′的至少為p+n0-t-1級零點(diǎn);若t≥p,則z0至少為φ2(z)的極點(diǎn).故

(4)

由(1)～(4)式可得

因此

成立.

引理3[32]設(shè)f(z)為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),k為任意正整數(shù),則

引理4[32]設(shè)f(z)為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),則

引理5設(shè)f(z)為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),n和k為任意正整數(shù),則

證明由引理2、引理3和引理4可得

所以

3 定理的證明

所以

即

因此

由此得到φfM[f]取每一個非零有窮復(fù)數(shù)無窮多次.定理1證畢.

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The value distribution of the meromorphic functionφ(z)f(z)M[f]

JIN Jin1, LI Li2

(1.Department of Mathematics, Bijie University, Bijie, Guizhou 551700;2.Department of Management Engineering， Guizhou Electric Power Vocational and Technical College， Guiyang 550003)

Let kandn0,n1,…,nkbe positive integers,f(z) be a transcendental meromorphic function in the complex plane,φ(z) be small function off(z), andφ(z) ≡ /0. The transcendental meromorphicM[f]=(f(z))n0(f′(z))n1…(f(k)(z))nk. In this paper, the value distributions of transcendental meromorphic functionφ(z)f(z)M[f] are discussed, and a new theorem and the detail proof are presented.

transcendental meromorphic function; Nevanlinna theory; value distribution

2014-11-16.

貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目 (2012GZ10526);貴州省畢節(jié)地區(qū)科研基金項(xiàng)目(201102).

1000-1190(2015)04-0483-05

O174.5< class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

A

*E-mail: jinjin62530@163.com.