紅外熱成像系統(tǒng)作用距離預測方程計算誤差探析

何 恒，白廷柱

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紅外熱成像系統(tǒng)作用距離預測方程計算誤差探析

何 恒，白廷柱

（北京理工大學光電學院 光電成像技術與系統(tǒng)教育部重點實驗室，北京 100081）

理論上討論了能量傳輸過程中輻射出射度差和溫差之間的關系，探討了紅外熱成像系統(tǒng)作用距離方程小溫差條件下近似計算的本質，分析了近似計算所產(chǎn)生的誤差受溫差大小、背景溫度和工作波長影響的情況?；贛RTD的定義和紅外熱像儀成像的原理，在前述探析的基礎上，提出更為符合紅外熱成像物理過程的作用距離方程計算方法，并實例計算了給定條件下的作用距離。計算結果表明，本文提出的計算方法更為符合輻射能量實際傳輸情況，具有更好的精度。

紅外熱成像；溫差；MRTD；計算誤差；作用距離

0 引言

紅外熱成像系統(tǒng)以其獨有的優(yōu)勢在戰(zhàn)場上得到越來越廣泛的應用，然而系統(tǒng)的戰(zhàn)術性能受著系統(tǒng)本身性能、目標特性、大氣環(huán)境等多方面因素的影響。因此，探討不同氣象條件下的紅外熱成像系統(tǒng)的作用距離性能[1]非常必要。最小可分辨溫差（MRTD）是綜合評價熱成像系統(tǒng)溫度分辨力和空間分辨力的重要參數(shù)，它不僅包含系統(tǒng)特征，也包含了觀察者的主觀因素。因此，目前對擴展源目標的作用距離進行預測均采用表征系統(tǒng)靜態(tài)性能的MRTD法[2]。

D＝D0×()≥MRTD() (1)

式中：D、D0分別為熱成像系統(tǒng)入瞳處和零視距時目標與背景的視在溫差；()為熱成像系統(tǒng)工作波段內(nèi)，沿目標方向距離行程上大氣傳輸?shù)钠骄髿馔高^率。

根據(jù)大氣透過率的定義，大氣透過率反映的是大氣對輻射能量的衰減，并不是對溫差的衰減。文獻[4]指出，在對小溫差目標圖像進行探測時，可以近似認為輻射功率差與溫差成正比，此時(1)式才是成立的；而在對大溫差目標進行探測時，隨著溫差的增大，通過(1)式計算所產(chǎn)生的誤差將逐漸變大。

很多文獻對這個問題進行了研究。白渭雄[6]等根據(jù)史蒂芬-玻爾茲曼定律中黑體輻射總功率與黑體溫度四次方成比例關系得到新的表達式。事實上，斯蒂芬-玻爾茲曼定律是針對全波段總輻射功率的關系，而實際探測器對紅外輻射的響應有一定的波段范圍。在某一特定波段(1,2)內(nèi)，黑體輻射出射度與溫度四次方很難滿足比例關系[7]。陳立學[8]通過在3～5mm、8～12mm波段和220～320K的常溫范圍內(nèi)，滿足2＞＞T，以及小溫差條件下采用微分代替差分的思想，得到了一個新的溫差衰減的表達式。但是從其近似條件可以看出，其用到了小溫差近似，這也就意味著在溫差很大或背景溫度和工作波段發(fā)生變化時，其誤差仍然會很大。金偉其[9]等在計算中設定了一個閾值，并根據(jù)溫差是否達到閾值對小溫差和大溫差分開處理，這種方法雖然可以減小大溫差情況下的計算誤差，但依然無法避免小溫差情況下計算誤差大的問題。

本文詳細分析了小溫差條件下近似計算的原理，以及這種近似計算所產(chǎn)生的誤差與溫差大小、背景溫度和工作波長影響的情況。根據(jù)MRTD的含義可知，MRTD實際上反映的是系統(tǒng)對紅外輻射能量差異的分辨能力，本文基于這一概念，提出了可以完整描述紅外輻射能量傳輸物理過程的作用距離預測方程。

1 輻射出射度差與溫差

根據(jù)大氣透過率的定義可得：

式中：0和0分別為目標發(fā)射的輻射通量和輻射出射度；和為經(jīng)大氣衰減后的數(shù)值。

由(2)式可得：

＝0() (3)

若分別以t和b來表示紅外熱成像系統(tǒng)入瞳處目標和背景的輻射出射度，則有：

式中：t0和b0分別表示零視距時目標與背景的輻射出射度。兩式相減可得：

式中：D、D0分別表示紅外熱成像系統(tǒng)入瞳處和零視距目標與背景的表觀輻射出射度差，D＝t－b，D0＝t0－b0。

當D和D滿足比例關系時，即滿足：

式中：為比例系數(shù)。將(6)式代入(5)式，即可得到(1)式。

根據(jù)普朗克公式：

式中：1為第一輻射常數(shù)，1＝2p2＝3.7418×10－16，W×m－2；2為第二輻射常數(shù)，2＝/＝1.4388×10－2，m×K；為玻爾茲曼常數(shù)；為光速?？傻茫?/p>

由(8)式可知，在波長＝4mm，背景溫度b＝300K，D＝0～50K時，D-D的關系如圖1。

由圖1可知，在所計算的溫差范圍內(nèi)，D與D之間呈非線性關系，只有在溫差比較小時，方可近似為線性關系。

圖1D-D關系曲線

Fig.1 Relation curve betweenDandD

在小溫差條件下，可以用微分代替差分：

即：

比較(10)式和(6)式可以看出，(9)式給出的恰恰是比例系數(shù)的計算方法。

考察圖1可知，曲線是經(jīng)過原點的，因此，可以考慮用D＝0K處的切線斜率作為比例系數(shù)。

由(8)式可得：

結合上述相關公式可知，在小溫差條件下，D和D近似滿足比例關系，比例系數(shù)正是D-D的關系曲線在D＝0K處切線的斜率，即：

因此，小溫差條件下的近似實際上就是用D-D關系曲線在D＝0K處的切線來近似這條曲線。下面分析這種近似計算產(chǎn)生的誤差受溫差大小、背景溫度和工作波段的影響情況。

在＝4mm，b＝300K，D＝0～50K時，D-D的關系曲線和近似直線如圖2所示。

圖2 DM-DT關系曲線和近似直線

由圖2可以看出，在溫差較小時，近似直線非常接近理論曲線；而在溫差比較大時，近似直線已經(jīng)嚴重偏離理論曲線。

誤差百分比隨溫差變化的曲線如圖3所示。

由圖3可以看出，在溫差為5K以內(nèi)時，這種近似所產(chǎn)生的誤差在10%以內(nèi)，而當溫差為50K時，誤差已經(jīng)高達55%以上。

誤差百分比隨背景溫度和波長的變化如圖4所示。

圖3 誤差百分比

(a) 背景溫度的影響

(b) 波長的影響

圖4 背景溫度與波長的影響

Fig.4 The influence of background temperature and wavelength

通過圖4可以看出，在波長一定的情況下，隨著背景溫度的降低，按照線性近似計算所產(chǎn)生的誤差越來越大；在背景溫度一定的情況下，隨著波長的減小，按照線性近似計算所產(chǎn)生的誤差越來越大，并且在3～5mm波段的誤差明顯大于8～12mm波段。這說明在3～5mm波段，輻射出射度差對溫差更敏感，利用(1)式計算所產(chǎn)生的誤差也就更大；而在8～12mm波段，溫差為10K時的誤差為5%，也就是說溫差小于10K時可以認為是小溫差，可以用(1)式來進行近似計算，這也就是文獻[9]中8～12mm波段的溫差閾值取10K的原因所在。

進一步研究發(fā)現(xiàn)，D和D滿足比例關系時，(1)式也不成立。假設零視距時背景溫度為b0，經(jīng)過大氣衰減后，入瞳處的背景溫度為b，由(12)式可知：

b是b0通過(3)式和普朗克公式計算得到的，由于大氣的衰減，兩者并不相等，故而，大氣條件越差，兩者的差值就越大。

在＝4mm，b＝220～320K時，比例系數(shù)與背景溫度的關系如圖5所示。

圖5 比例系數(shù)與背景溫度的關系

由圖5可知，比例系數(shù)與背景溫度之間是非線性關系，因此將(13)式代入(5)式并不能得到(1)式。所以，(1)式需要在小溫差條件近似的基礎上做第2次近似，即認為比例系數(shù)是相等的。

通過以上分析可知，用(1)式計算所產(chǎn)生的誤差來源于2個方面：小溫差條件下的近似和比例系數(shù)相等的近似。第1次近似的誤差隨著溫差的增大、背景溫度的降低、工作波長的減小而增大；大氣衰減越厲害，第2次近似的誤差越大。

這里需要指出的是，以上分析是定性的分析，給出的是誤差大小隨溫差大小、背景溫度和工作波長變化的影響情況，具體數(shù)值并不代表最后算得的作用距離的實際誤差大小，并且以上關于輻射的計算都是對單一波長進行的。由相關數(shù)學知識可知，取積分運算以上規(guī)律也是成立的。

2 作用距離方程的修正

根據(jù)基于MRTD的作用距離預測的基本要求可以得到以下關系式：

式(14)取等號時的即為系統(tǒng)的作用距離，第1個方程給出了空間頻率的計算方法，按照約翰遜準則，e是在50%觀測概率下得到的條帶數(shù)，在實際觀測任務中，需要根據(jù)觀測任務概率要求對條帶數(shù)進行修正；第2個方程給出了作用距離計算方法，關于該方程也需要進行一系列的修正。首先D是目標與背景的表觀溫差，文獻[9]中給出了具體的計算方法，按照這種方法可以將黑體和灰體統(tǒng)一起來；其次對于MRTD，根據(jù)目標形狀要對條帶長寬比進行修正，根據(jù)實際觀測情況要對閾值信噪比進行修正，根據(jù)工作溫度要對溫度進行修正等[4]。本文只對溫度修正進行深入探討。

MRTD綜合評價了熱成像系統(tǒng)的溫度分辨力和空間分辨力，還反映了觀察者的影響因素，其中關于溫度的分辨力是用噪聲等效溫差（NETD）來表現(xiàn)的，而MRTD對溫度的修正也是通過NETD來反映的。NETD的普遍表達式是[2]：

式中：是光學系統(tǒng)的數(shù)；Dn是噪聲等效帶寬；d是探測元面積；S是串聯(lián)元數(shù)；0是系統(tǒng)光學透過率；*()是峰值比探測率。

在NETD的推導過程中，用到了上文中小溫差條件下的近似公式，由于熱探測器的噪聲等效溫差在100mK左右，第二代光探測器在20mK左右，所以這種近似的誤差是非常小的。

對于光子型探測器，進行近似處理后可以得到[2]：

式中：p為峰值響應波長；*(p)為探測器峰值響應的歸一化探測率；2為第二輻射常數(shù)。

實驗室中測量的NETD通常是在常溫（S＝300K）下進行的，根據(jù)以上表達式，實際工作溫度為b時的NETD應為：

而MRTD的一般表達式為：

式中：SNRDT為閾值信噪比；MTFS()、MTFeye()分別為系統(tǒng)和人眼傳遞函數(shù)；、分別為水平和垂直方向的瞬時視場；d為電子積分時間；e為人眼積分時間；p為幀頻；D為噪聲等效帶寬。

所以，MRTD對溫度的修正關系為：

文獻[9]指出，當目標與背景的溫差比較大時，系統(tǒng)對目標與背景的響應輻射功率差用小溫差近似的誤差很大，必須用實際響應輻射功率差來表示，因而提出如下方法修正前述關系，即：

其中：

式中：Da是閾值溫差，對于8～14mm波段，可取為10K。

該方法的本質是對小溫差和大溫差進行分開處理：當溫差比較小時，還是采用公式(1)，并對MRTD進行溫度修正；當溫差比較大時，也用小溫差近似公式，而且這種近似的誤差不受背景溫度和溫差大小的影響。所以，文獻[9]中的方法可以有效的減小大溫差條件下的誤差，但是小溫差條件下依然有很大的誤差，并且需要對大小溫差分開處理。

結合MRTD的定義和熱成像系統(tǒng)的成像原理，MRTD對應的溫度分辨力，本質上反映的是熱成像系統(tǒng)對某一條件下的能量分辨力，也就是MRTD對應的是最小可分辨輻射出射度DMRTD，因此(14)式應改寫為下式才更符合實際的物理過程：

D和DMRTD通過下式計算：

為了估算較遠的距離，通常熱像儀的MRTD都選擇的比較小，這樣便滿足小溫差近似的條件，由(12)式和(24)式有：

因此(23)式可以近似為：

(26)

式(26)和式(20)在大溫差條件下的公式是一樣的。通過上文的分析可知，誤差的大小取決于波長和該波段下系統(tǒng)的MRTD值，MRTD越小，誤差也就越小。所以文獻[9]的方法在大溫差條件下的計算誤差與溫差大小和背景溫度無關。

3 計算實例

上文分析了文獻[9]中的方法，提出一種更符合實際物理過程的計算關系，下面通過實例計算來比較兩種方法的結果。

作用距離方程是一個超越方程，通常采用迭代的方法進行求解。首先估算出解的范圍(1,2)，再通過半分法求解出作用距離，以式(21)為例的求解流程圖如圖6。

計算中利用的是Catherine-GP紅外熱像儀，它使用的是SOFRADIR 288×4元HgCdTe探測器，其性能參數(shù)如表1所示。

觀測任務為：大氣條件為中緯度夏季海平面，能見度23km，利用Modtran進行大氣透過率的計算。目標尺寸為16m×2m（小船大?。?，溫差為10K。觀測水平遵循50%概率下的約翰遜準則（e為對應觀測水平的條帶周期數(shù)），對220～320K的常溫范圍的計算結果如表2所示（1是基于本文方法的預測距離，2是基于文獻[9]方法的預測距離）。

從表2可以看出，無論在哪種觀測水平下，背景溫度比較低的時候，文獻[9]中方法的計算結果誤差相對較大，這與上文中誤差大小隨背景溫度改變的影響規(guī)律一致。亦即，文獻[9]中的方法依然無法避免低溫背景小溫差情況下計算誤差較大的問題，本文方法則可較好地避免該問題。

圖6 作用距離求解流程圖

表1 Catherine-GP 紅外熱像儀性能參數(shù)

表2 計算結果

4 結論

本文針對以往的相關分析和預測進行了一定程度的簡化，對實際計算具有較大誤差的問題，從MRTD的含義出發(fā)，立足于MRTD實際上反映的應該是系統(tǒng)對能量差異的分辨能力，并基于此提出更為符合實際物理過程的作用距離預測方程計算方法。實例計算表明，本文方法不僅解決了文獻[9]中低溫背景小溫差條件下計算誤差較大的問題，且可以對小溫差和大溫差統(tǒng)一處理。

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Calculation Error Analysis of the Distance Equation for Infrared Imaging System

HE Heng，BAI Ting-zhu

(,,,100081,)

The paper theoretically discusses the relationship between the radiant exitance difference and temperature difference in the energy transmission, the nature of the approximate calculation under the condition of small temperature difference, and the error affected by approximate calculation influenced of the size of temperature difference, background temperature and wavelength. It also puts forward a calculation method which is more accord with the physical process of the infrared thermal imaging system adjusted by the definition of MRTD and the theory of the infrared imaging system. On this basis, the paper calculates the range of the given conditions. The results show that such method of calculation tallies more with the actuality and has better accuracy.

infrared thermal imaging，temperature difference，MRTD，calculation error，operation range

O432；TN215

A

1001-8891(2015)09-0713-06

2015-08-05；

2015-08-26.

何恒（1991-），男，湖北省鄂州人，碩士研究生，主要研究方向為紅外成像系統(tǒng)性能評價。E-mail：henryheheng@163.com。

白廷柱（1955-），男，北京人，教授，主要研究方向為光電成像技術、紅外仿真、紫外通信等。E-mail：tzhubai@bit.edu.cn。