大骨料混凝土率型內(nèi)時(shí)損傷本構(gòu)模型

宋玉普，王麗偉，王 浩

（大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

在實(shí)際的大體積混凝土結(jié)構(gòu)中，混凝土的骨料配比多為三級(jí)配甚至四級(jí)配，且結(jié)構(gòu)在服役期間有時(shí)會(huì)受到地震等動(dòng)荷載的作用，這說明大骨料混凝土的動(dòng)態(tài)特性問題值得考慮和研究.近年來全級(jí)配大體積混凝土的力學(xué)特性被大量學(xué)者廣泛研究［1－4］，相關(guān)理論也在逐漸成熟，但目前仍面臨很多問題.例如，針對(duì)大骨料混凝土的研究多為靜態(tài)研究，動(dòng)態(tài)研究較少，且動(dòng)態(tài)特性的試驗(yàn)研究并不全面，單軸較多，多軸較少，對(duì)于大骨料混凝土本構(gòu)關(guān)系的研究也有待深入，特別是大骨料混凝土動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系.

混凝土作為一種典型的脆性材料，在其受力之初就伴隨有不可恢復(fù)的變形發(fā)生，而且混凝土也是一種典型的率敏感性材料.在動(dòng)荷載的作用下混凝土的力學(xué)特性會(huì)發(fā)生變化，尤其由于變形反應(yīng)的滯后性，其裂縫的發(fā)展趨勢(shì)也會(huì)減慢.文獻(xiàn)［5］中就規(guī)定混凝土的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度、剛度應(yīng)較靜態(tài)有相應(yīng)幅度的提高.現(xiàn)如今，針對(duì)混凝土的力學(xué)特點(diǎn)，各國學(xué)者已經(jīng)提出了多種本構(gòu)模型，但目前沒有哪一種模型是公認(rèn)可以準(zhǔn)確描述混凝土材料本構(gòu)關(guān)系的，尤其針對(duì)大骨料混凝土動(dòng)態(tài)特性的本構(gòu)關(guān)系研究尚不成熟.

根據(jù)以上問題，本文以內(nèi)時(shí)理論和損傷理論為基本框架，同時(shí)考慮率效應(yīng)和骨料粒徑的影響，提出大骨料混凝土率型內(nèi)時(shí)損傷本構(gòu)模型，將混凝土的微裂縫發(fā)展問題分離出來用損傷演變方程來刻畫.

內(nèi)時(shí)理論最大的特點(diǎn)是在描述材料本構(gòu)關(guān)系的過程中沒有用到屈服面的概念，不用遵守流動(dòng)法則，材料的非線性行為是用內(nèi)時(shí)時(shí)間來描述的，這對(duì)于沒有屈服面的混凝土材料來說非常適用［6］.另一方面，同時(shí)考慮骨料粒徑因素和應(yīng)變率效應(yīng)的損傷演變方程，能夠很好地描述微裂縫擴(kuò)展引起的大骨料混凝土剛度退化和動(dòng)力特性；且模型形式簡單、便于計(jì)算，非常適用于非線性有限元數(shù)值分析.

1 大骨料混凝土率型內(nèi)時(shí)損傷本構(gòu)模型的建立

本文將大骨料混凝土與小骨料混凝土的力學(xué)性能差異主要體現(xiàn)在損傷變量的定義中，而在內(nèi)時(shí)變量的定義中大骨料混凝土與小骨料混凝土完全可以采用同一強(qiáng)化函數(shù).

1.1 有效應(yīng)力σnij的內(nèi)時(shí)彈塑性關(guān)系式

根據(jù)文獻(xiàn)［7］中給出的內(nèi)時(shí)時(shí)間的定義，并綜合考慮混凝土材料的特性，可得＝dξ／f（ξ），其中ξ為偏內(nèi)時(shí)時(shí)間量度，Z為偏內(nèi)時(shí)時(shí)間標(biāo)度為 偏 應(yīng) 變，a00為反映材料性質(zhì)變化及耦合效應(yīng)的函數(shù)，f＝1／為強(qiáng)化函數(shù).根據(jù)文獻(xiàn)［8］的分析結(jié)果，對(duì)混凝土材料有

式中：fc為混凝土單軸抗壓強(qiáng)度，In3為有效應(yīng)力的第三不變量為考慮循環(huán)的加、卸載系數(shù).

利用耗散材料本構(gòu)方程的形式不變定律［9］，黏塑性本構(gòu)方程dεij／dt＝Delijkmdσnkm／dt＋φ／σij可分解成體積應(yīng)變和偏應(yīng)變兩部分，并用相應(yīng)的內(nèi)時(shí)時(shí)間標(biāo)度Z來代替真實(shí)的牛頓時(shí)間t，經(jīng)簡化變換可得

式中：dSnij為偏有效應(yīng)力增量；G、k為剪切彈性模量和體積彈性模量；φ為加載函數(shù)，形式如下：

式中

1.2 大骨料混凝土動(dòng)力損傷演變方程的建立

損傷是一個(gè)逐漸累積的過程，損傷演變方程則用來刻畫其發(fā)展變化的規(guī)律.研究表明混凝土動(dòng)力損傷的演變過程既與應(yīng)變大小有關(guān)，又與應(yīng)變速率的大小相關(guān)，而且混凝土的骨料粒徑和試件尺寸也會(huì)對(duì)損傷造成一定的影響.因此，為了使大骨料混凝土的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型更真實(shí)可靠，以上因素在損傷變量的定義中應(yīng)有所體現(xiàn).

1.2.1 損傷演變方程的定義 綜合考慮混凝土損傷方程的簡潔性和定義的明確性［10］，本文采用如下形式的損傷演變方程：

當(dāng)σkk＞0時(shí)

當(dāng)σkk≤0時(shí)

表1 損傷方程參數(shù)回歸Tab.1 Regression of damage equation parameter

1.2.2 不同級(jí)配混凝土的損傷演變方程 不同骨料級(jí)配的混凝土應(yīng)力－應(yīng)變曲線形狀大致相同，所以可以采用同一形式的損傷演變方程，通過對(duì)參數(shù)取值的改變來反映骨料級(jí)配的差異.為了研究骨料級(jí)配對(duì)于損傷演變方程中待定系數(shù)的影響，在此引入骨料影響系數(shù)Val／dmax，其中l(wèi)為不同級(jí)配混凝土采用的試件最小尺寸，Va為粗骨料的體積分?jǐn)?shù)，dmax為骨料粒徑的最大尺寸，對(duì)應(yīng)各參數(shù)取值列于表2.

表2 骨料影響系數(shù)各參數(shù)取值Tab.2 The parameter selection of aggregate influence coefficient

以骨料影響系數(shù)Val／dmax為自變量，根據(jù)不同級(jí)配混凝土試驗(yàn)數(shù)據(jù)可相應(yīng)得出e、εm、ξ、D、D′，則可回歸出損傷方程中各參數(shù)值，列于表1.1.2.3 考慮率效應(yīng)的動(dòng)態(tài)損傷 混凝土的率敏感性體現(xiàn)在隨著應(yīng)變率的增加，混凝土的強(qiáng)度和剛度都會(huì)相應(yīng)提高，但應(yīng)力－應(yīng)變曲線的大致形狀不會(huì)改變.本文根據(jù)峰值點(diǎn)處動(dòng)力對(duì)靜力情況的放大關(guān)系，引入一個(gè)形狀函數(shù)來構(gòu)建動(dòng)力損傷本構(gòu)模型［11］，從而把靜態(tài)模型推廣到動(dòng)態(tài).

根據(jù)大骨料動(dòng)態(tài)試驗(yàn)擬合結(jié)果，以單軸動(dòng)態(tài)拉伸為例，取大骨料混凝土的動(dòng)態(tài)單軸拉伸強(qiáng)度、變形、剛度表達(dá)形式如下：

式中：fd、εd、E0d分別為大骨料混凝土動(dòng)態(tài)單軸拉伸強(qiáng)度、相應(yīng)于動(dòng)態(tài)單軸拉伸強(qiáng)度的拉伸應(yīng)變和彈性模量，ft、εt、E0分別為對(duì)應(yīng)的擬靜態(tài)值，為加載速率，α、β、γ可由大骨料試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到，本文取擬靜態(tài)加載速率為10－5／s.

由損傷變量的物理意義可知

式中：Eft、Efd分別表示擬靜態(tài)加載速率下和任意加載速率下的峰值割線模量.由式（11）和式（12）可得

當(dāng)E取為峰值點(diǎn)的割線模量時(shí)，對(duì)應(yīng)的損傷定義為峰值點(diǎn)損傷Df，由損傷變量的物理意義可知，Dfd＝1－Efd／E0d，Df＝1－Eft／E0，經(jīng)變換可得下式：

式（14）反映了峰值點(diǎn)處損傷隨著加載速率變化的規(guī)律.

如圖1所示，CD線為不同應(yīng)變率下混凝土峰值點(diǎn)的連線，這條曲線上的損傷值隨應(yīng)變率的變化規(guī)律如式（14）所示.根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，可認(rèn)為在不同的加載速率下單軸拉伸應(yīng)力 －應(yīng)變曲線在0.5ft以前為直線段.AB線為不同應(yīng)變率下直線和曲線相交處的連線，EF為完全破壞點(diǎn)所連成的線.從CD線與AB線之間的下降段和CD線與EF線之間的上升段，任意一點(diǎn)受應(yīng)變率變化影響的損傷，其變化規(guī)律受到曲線形狀的影響.對(duì)于這種影響假定引入一個(gè)形狀函數(shù)λ（ε，ε·，10－5）來反映曲線形狀對(duì)于非峰值點(diǎn)損傷隨應(yīng)變率變化的規(guī)律，即

將式（15）變形可得動(dòng)態(tài)受拉損傷變量的演化方程如下：

式中：Ds表示加載速率為10－5／s時(shí)的損傷度，可以近似認(rèn)為是一種靜態(tài)加載過程如式（13）所示.從圖1中可以看出，不同應(yīng)變率下的應(yīng)力 －應(yīng)變曲線的上升和下降段的形狀大致相同，因此為了簡化計(jì)算過程，形狀函數(shù)λ（ε，10－5）可參考《混凝土設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50010—2010）中給出的混凝土受拉、受壓曲線方程，在3個(gè)控制點(diǎn)處根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)做出相應(yīng)調(diào)整.

圖1 不同應(yīng)變率下應(yīng)力－應(yīng)變曲線相對(duì)位置關(guān)系Fig.1 The position relation between stress－strain curves under different strain rates

不同應(yīng)變率下的受壓應(yīng)力－應(yīng)變曲線，可認(rèn)為在0.3fc以前為直線段.根據(jù)大骨料多軸動(dòng)態(tài)強(qiáng)度試驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)，可將以上動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型推廣到單軸動(dòng)態(tài)壓縮和多軸動(dòng)態(tài)情況，其形式和推導(dǎo)過程可仿照單軸情況，本文在此不再復(fù)述.

將式（16）代入式（7）、（8）可得

當(dāng)σkk＞0時(shí)

當(dāng)σkk≤0時(shí)

其中參數(shù)a、b、s和c、x、Du前面已確定.

2 模型驗(yàn)證

運(yùn)用Fortran語言把本文提出的大骨料混凝土率型內(nèi)時(shí)損傷本構(gòu)模型編制成非線性有限元程序，并把它嵌入到有限元分析軟件ABAQUS中，數(shù)值模擬大骨料混凝土試件的受力反應(yīng)，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，來驗(yàn)證本文編制本構(gòu)模型的可靠程度.數(shù)值模擬中所有混凝土采用八節(jié)點(diǎn)等參單元，大骨料混凝土材料參數(shù)取為fc＝19.29 MPa，E＝27.6GPa，μ＝0.19.

本文選取了具有代表性的單軸拉伸、單軸壓縮、雙軸壓壓和三軸拉壓壓的應(yīng)力－應(yīng)變曲線來進(jìn)行比較［12］.其中，圖2、3分別為單軸受拉、受壓情況下試驗(yàn)數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬結(jié)果的比較；圖4為應(yīng)力比為0.25∶1的雙軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬結(jié)果的比較，這里設(shè)壓應(yīng)變?yōu)檎?，拉?yīng)變?yōu)樨?fù)；圖5為應(yīng)力比為0.2∶－1∶－1的三軸拉壓壓試驗(yàn)數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬結(jié)果的比較，由于相關(guān)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)只有極限拉應(yīng)力－應(yīng)變曲線，本文三軸數(shù)據(jù)只比較了一個(gè)方向上的曲線.

圖2 單軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果比較Fig.2 Contrast of uniaxial tension results

圖3 單軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果比較Fig.3 Contrast of uniaxial compression results

圖4 雙軸比例加載試驗(yàn)結(jié)果比較Fig.4 Contrast of biaxial proportional loading results

圖5 三軸比例加載試驗(yàn)結(jié)果比較Fig.5 Contrast of triaxial proportional loading results

由圖2、3可知無論是單軸受拉情況下還是單軸受壓情況下，本文模型與試驗(yàn)結(jié)果都吻合較好，能夠很好地反映出隨著應(yīng)變率的提高，混凝土的強(qiáng)度、彈性模量和峰值應(yīng)力處應(yīng)變也隨之略有提高的規(guī)律.由圖4和5可知，在雙軸比例加載及三軸比例加載情況下，模擬結(jié)果雖然與試驗(yàn)結(jié)果略有偏差，但誤差在允許范圍內(nèi)，能夠很好地反映出大骨料混凝土強(qiáng)度在雙軸及三軸動(dòng)態(tài)荷載作用下隨應(yīng)變率的增加而提高的特性，且在三軸拉壓壓應(yīng)力比情況下，試件所能承受的拉應(yīng)力小于單軸抗拉強(qiáng)度.

3 拱壩非線性地震反應(yīng)分析

拱壩這類大體積水工結(jié)構(gòu)，在施工過程中為了節(jié)約成本往往選用大骨料混凝土.而數(shù)值模擬分析中所建立的模型，材料參數(shù)則多采用濕篩小骨料混凝土的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并且在分析中往往沒有考慮到應(yīng)變率對(duì)于混凝土力學(xué)性能的影響這一重要因素.所以數(shù)值模擬結(jié)果和壩體在實(shí)際荷載作用下的力學(xué)響應(yīng)可能會(huì)有很大偏差，這會(huì)使結(jié)構(gòu)在正常工作時(shí)處于危險(xiǎn)狀態(tài)或者對(duì)于結(jié)構(gòu)進(jìn)行的評(píng)估設(shè)計(jì)過于保守.

本文將考慮了大骨料因素和率效應(yīng)的混凝土本構(gòu)模型用于拱壩的地震響應(yīng)分析中，并分別和不考慮大骨料因素和率效應(yīng)的模型進(jìn)行對(duì)比，來驗(yàn)證本文提出本構(gòu)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.在整個(gè)計(jì)算過程中考慮了拱壩的自重和靜水壓力的影響，動(dòng)荷載有地震荷載.建立拱壩模型如圖6所示，壩高55.5 m，為單曲等厚拱壩，共劃分為4 448個(gè)單元，有22 404個(gè)節(jié)點(diǎn).模型采用的計(jì)算參數(shù)為壩體彈性模量25×1010Pa，泊松比0.2，大骨料混凝土抗壓強(qiáng)度19.3MPa，濕篩混凝土抗壓強(qiáng)度24.5MPa，質(zhì)量密度2 500kg／m3.動(dòng)態(tài)計(jì)算時(shí)采用無質(zhì)量地基模型，質(zhì)量密度為0，地震波的輸入采用x方向的地震波，如圖7所示，輸入最大位移為0.474m 的地震動(dòng)位移.

圖6 拱壩模型Fig.6 Model of arch dam

圖7 地震波時(shí)程曲線Fig.7 History time curve of earthquake wave

本文計(jì)算了3個(gè)模型在自重、靜水壓力、地震荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)：模型1，小骨料內(nèi)時(shí)本構(gòu)率無關(guān)模型；模型2，大骨料內(nèi)時(shí)本構(gòu)率無關(guān)模型；模型3，大骨料內(nèi)時(shí)本構(gòu)率相關(guān)模型.

將各個(gè)模型的第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力列于表3中.

表3 拱壩最大主應(yīng)力Tab.3 Maximal principal stress of arch dam

對(duì)比分析模型1、2可知，模型2的第一主應(yīng)力比模型1 降低了27.82%，第三主應(yīng)力兩模型基本相同，這是由于拱壩的壓應(yīng)力具有較大的容許值，而拉應(yīng)力區(qū)進(jìn)入了塑性狀態(tài)，因而拉應(yīng)力發(fā)生了較大的重分布.由第一主應(yīng)力可以看出大骨料混凝土的強(qiáng)度要比相應(yīng)濕篩混凝土的強(qiáng)度低.在進(jìn)行大壩數(shù)值分析時(shí)，如果仍繼續(xù)采用小骨料的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，那么分析結(jié)果會(huì)偏于危險(xiǎn)，因此在對(duì)采用大骨料混凝土作為壩體材料的大壩進(jìn)行數(shù)值分析時(shí)，必須要考慮到大骨料這一骨料粒徑的影響因素，分析結(jié)果才更安全可靠.

對(duì)比分析模型2、3可知，當(dāng)考慮了混凝土的率相關(guān)性后，模型3比模型2的最大拉應(yīng)力增加了26.04%，最大壓應(yīng)力增加了1.68%，這主要是因?yàn)閴簯?yīng)力區(qū)進(jìn)入塑性的部分較少，因而應(yīng)力重分布不明顯，應(yīng)變率效應(yīng)不明顯.拉應(yīng)力區(qū)進(jìn)入塑性部分較多，應(yīng)變率效應(yīng)更加明顯，這也說明考慮率相關(guān)性后，由于混凝土的屈服強(qiáng)度增加了，混凝土的抗拉強(qiáng)度也相應(yīng)地提高了，因此在拉應(yīng)力區(qū)的應(yīng)力也隨之相應(yīng)地提高了.證明了把拉應(yīng)力作為拱壩設(shè)計(jì)和抗震安全性評(píng)價(jià)的控制應(yīng)力的結(jié)論.同時(shí)也說明了應(yīng)變率對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的影響這一因素在結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析中也應(yīng)得到充分的重視.

表3中以地震響應(yīng)的最終狀態(tài)來分析說明骨料粒徑和應(yīng)變率效應(yīng)對(duì)于大壩力學(xué)特性的影響，而在整個(gè)地震響應(yīng)過程中，某一瞬時(shí)壩體第一主應(yīng)力在同一時(shí)刻不同模型中的大小有較大的不同，本文以1.6s時(shí)刻，模型2、3的最大第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力來說明，如表4所示.

表4 最大主應(yīng)力對(duì)比Tab.4 Contrast of maximal principal stress

可以看出考慮混凝土的率相關(guān)性后，由于混凝土的強(qiáng)度增加了，模型3的壩體第一主應(yīng)力相應(yīng)減小了，第三主應(yīng)力相差不多，這是由于在承受動(dòng)荷載的瞬間，因?yàn)榇髩慰紤]率效應(yīng)后模型屈服強(qiáng)度增加了，所以在某一瞬時(shí)相同的受力情況下壓應(yīng)力區(qū)分擔(dān)的荷載增加，這樣拉應(yīng)力就相應(yīng)降低.這說明采用大骨料混凝土率型內(nèi)時(shí)本構(gòu)模型進(jìn)行的模擬中，結(jié)果與實(shí)際壩體受動(dòng)力荷載的情況更加接近，而且采用此本構(gòu)模型進(jìn)行分析設(shè)計(jì)，由于考慮率效應(yīng)后混凝土強(qiáng)度提高，能夠很好地節(jié)省混凝土材料，使工程設(shè)計(jì)更加經(jīng)濟(jì)合理.

4 結(jié) 論

（1）本文模型數(shù)值模擬結(jié)果與大骨料多軸動(dòng)態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，無論是單軸還是多軸情況，都能夠反映出大骨料混凝土的強(qiáng)度、剛度、峰值應(yīng)變隨著應(yīng)變率的提高而相應(yīng)提高的動(dòng)態(tài)特性.

（2）對(duì)拱壩進(jìn)行動(dòng)力非線性分析結(jié)果表明，考慮大骨料因素后作為控制應(yīng)力的拉應(yīng)力明顯降低，在大骨料的基礎(chǔ)上考慮率效應(yīng)后混凝土的強(qiáng)度會(huì)隨之提高，表現(xiàn)出大骨料混凝土的動(dòng)態(tài)特性，說明本文本構(gòu)模型具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值.

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